一個(gè)涉及多重可變上限函數(shù)的半離散Hardy-Mulholland型不等式

吳善和， 黃先勇， 楊必成

(1. 龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)系， 龍巖 364012； 2. 廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系, 廣州 510303)

(1)

有趣的是，在類似于式(1)的條件下，有如下具有相同最佳常數(shù)因子的Hardy-Mulholland不等式[1]:

(2)

2006年,應(yīng)用Euler-Maclaurin求和公式,KRNIC和PECARIC[2]建立了式(1)的如下推廣式:

(3)

其中,λi(0,2](i=1,2),λ1+λ2=λ(0,4],常數(shù)因子B(λ1,λ2)是最佳值,其中為Beta函數(shù)。當(dāng)p=q=2,λ1=λ2=λ/2,由式(3)可導(dǎo)出楊必成[3]關(guān)于Hilbert不等式推廣的一個(gè)結(jié)果。2019年,應(yīng)用式(2)及Abel求和公式, ADIYASUREN等[4]給出了核為1/(m+n)λ且級數(shù)的項(xiàng)中涉及部分和的Hardy-Hilbert型不等式。眾所周知，式(1)和式(2)及其積分形式在分析學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域有重要的應(yīng)用[5-12]。

2020年，黃啟亮等[13]給出一個(gè)一般齊次核Hardy-Mulholland型不等式,推廣了Hardy-Mulholland不等式,即:

(4)

作為對離散型不等式和積分型不等式的拓展研究，1934年，HARDY等[1]給出了如下半離散Hardy-Hilbert型不等式:

(5)

有關(guān)式(5)的一些推廣及應(yīng)用可見文獻(xiàn)[14-18]。

2016年,洪勇和溫雅敏[19]給出式(1)的推廣式中最佳常數(shù)因子聯(lián)系參數(shù)的一個(gè)等價(jià)條件。該結(jié)果引起許多學(xué)者的興趣，相關(guān)的一些研究成果可見文獻(xiàn)[20-26]。2019年,YANG等[27]建立了逆向的半離散Hardy-Hilbert型不等式。2021年,HUANG等[28]利用積分上限函數(shù)和級數(shù)的部分和給出了一些新的半離散Hardy-Hilbert型不等式。

黃啟亮等[13]通過引入多個(gè)參數(shù)和齊次核函數(shù)推廣Hardy-Mulholland不等式，建立了形如式(4)的離散型Hardy-Mulholland不等式。本文從研究半離散不等式的視角，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)和權(quán)函數(shù)建立含無窮積分和級數(shù)混合形式的Hardy-Mulholland型不等式：首先，通過引入核函數(shù)1/(lnnex)λ和權(quán)函數(shù)來建立一個(gè)涉及參數(shù)和多重可變上限函數(shù)的半離散Hardy-Mulholland型不等式；然后，探討該不等式的常數(shù)因子為最佳值時(shí)各參數(shù)之間的相關(guān)性及等價(jià)陳述，建立其等價(jià)不等式，刻畫一類具有最佳常數(shù)因子的Hardy-Mulholland型不等式的結(jié)構(gòu)特征。

1 若干引理

引理1設(shè)s(0,∞),s2(0,1]∩(0,s),ks(s2)∶=B(s2,s-s2)。定義如下權(quán)函數(shù):

(6)

則有如下不等式:

(7)

(8)

再由式(8),有

故式(7)成立。證畢。

引理2在引理1的條件下,對于s1(0,s),若

則有如下推廣的半離散Hardy-Mulholland不等式:

(9)

證明作變換v=x/lnn,可得到另一權(quán)函數(shù)表示式:

ks(s1) (n+{1})。

(10)

利用H?lder不等式[29],有

(11)

下證式(11)取嚴(yán)格不等號。若式(11)取等號,則由文獻(xiàn)[29]知：有不全為零的常數(shù)A和B,使得

a.e.于+×+{1}。

不妨設(shè)A≠0，則對于n+{1},有

xp[1-((s-s2)/p+s1/q)]-1fp(x)=

(12)

注1在式(9)中,置換f(x)為Fm(x),并設(shè)s=λ+m(m,∞),s1=λ1+m(m,s),s2=λ2(0,1]∩(0,λ),則有s(0,∞),s1(0,s),s2(0,1]∩(0,s)。于是,得到如下含新參數(shù)的半離散Hardy-Mulholland不等式:

(13)

引理3對于t>0,有如下表示式:

(14)

證明對于m=0,因F0(x)=f(x),式(14)自然成立;對于m+,由分部積分法及條件Fi(0)=0,Fi(x)=o(etx)(t>0;i=1,2,…,m;x→∞),可得

依次代入i=1,2,…,m,即得式(14)。證畢。

2 主要結(jié)果

(15)

特別地,若λ1+λ2=λ(λ1(0,λ),λ2(0,1]∩(0,λ)),則有

及

(16)

證明運(yùn)用換元積分及Gamma函數(shù)表示,得

由Lebesgue逐項(xiàng)積分定理[30]及式(11),得到

再由式(13),可得到式(15)。證畢。

定理2若λ1+λ2=λ,則式(15)的常數(shù)因子必為最佳值。

證明若λ1+λ2=λ,則式(15)變?yōu)槭?16)。任給0<ε

對于i{1,2,…,m},設(shè)

(17)

從而有

令ε→0+,由Beta函數(shù)的連續(xù)性,有

(18)

由H?lder不等式,可得

(kλ+m(λ2))1/p(kλ+m(λ1+m))1/q。

(19)

Auλ-λ2+m-1=Buλ1+m-1a.e. 于+。

不妨設(shè)A≠0, 則有uλ-λ2-λ1=B/Aa.e. 于+,于是λ-λ2-λ1=0,因而有λ1+λ2=λ。證畢。

3 等價(jià)形式

定理4在滿足定理1條件下,有如下與式(15)等價(jià)的半離散Hardy-Mulholland不等式:

(20)

特別地,當(dāng)λ1+λ2=λ(0,∞),λ1(0,λ),λ2(0,1]∩(0,λ)時(shí),有如下式(16)的等價(jià)式:

(21)

證明假定式(20)成立。由H?lder不等式,有

(22)

則由式(20)可得式(15)。若式(15)成立,置

若J=0,則式(20)顯然成立。下設(shè)0

(23)

即式(20)成立。綜上,式(20)等價(jià)于式(15)。證畢。

證明若λ1+λ2=λ,則由定理2知,式(16)的常數(shù)因子是最佳值,從而得到式(21)(即式(20)取λ1+λ2=λ時(shí))的常數(shù)因子是最佳值(注：倘若式(21)的常數(shù)因子不是最佳值,則由式(22)可推導(dǎo)出式(16)的常數(shù)因子也不是最佳值,從而導(dǎo)出矛盾)。