基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)模態(tài)參數(shù)自動識別算法研究

焦恒昌

（中國電子科技集團公司第二十二研究所，山東青島，266100）

結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)用于表征結(jié)構(gòu)的固有動態(tài)特性，試驗模態(tài)分析主要通過控制系統(tǒng)激勵，對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的輸入時域信號和輸出時域信號進行同步測量，通過時域或者頻域的數(shù)學算法處理得到系統(tǒng)頻響函數(shù)(頻域)或者傳遞函數(shù)(時域)，利用曲線擬合等方法識別出系統(tǒng)的頻率、阻尼和振型[1]。多參考點最小二乘復頻域法（PRLSCF）是國際近年發(fā)展并流行的基于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的模態(tài)分析方法，該方法對系統(tǒng)模態(tài)的頻率、阻尼和振型都有很好的識別精度[2]。而在實際的工程應用中，輸入輸出信號的測量、傳輸中會有環(huán)境噪聲的影響，得到的數(shù)據(jù)質(zhì)量是有區(qū)別的，數(shù)據(jù)的有效性也參差不齊。一方面多參考點最小二乘復頻域法處理過程中對不同質(zhì)量數(shù)據(jù)做了同等對待，影響模態(tài)識別精度；另一方面，目前人工手段借用穩(wěn)定圖進行的模態(tài)參數(shù)識別，對操作者個人素質(zhì)要求較高，影響方法便捷應用。

本文針對PRLSCF算法中對不同質(zhì)量數(shù)據(jù)缺少有針對的區(qū)別合理對待利用，以及人工拾取穩(wěn)定圖中物理模態(tài)自動化程度低，研究了基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)模態(tài)參數(shù)自動識別算法。

1 理論分析

1.1 加權(quán)綜合頻響函數(shù)

PRLSCF算法模態(tài)參數(shù)識別技術(shù)利用系統(tǒng)輸入輸出得到多個頻響函數(shù),構(gòu)造頻響函數(shù)矩陣。在頻域中，系統(tǒng)輸出和輸入的關系可用右矩陣分式模型（RΜF(xiàn)D）來描述[2]，右矩陣分式模型的表達式為：

且Uo(ω)和D(ω)可以表示成如下形式：

式中：N—多項式階次

其中:

對于參數(shù)矩陣θ做非線性最小二乘（NLS）目標函數(shù)為：

式中：?H：矩陣的復共扼轉(zhuǎn)置；

tr(?)：矩陣的跡，即矩陣的主對角元素之和。

利用數(shù)學方法求上式極小值，便得到θ矩陣的估計值。

因此通過試驗測量輸入輸出數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)質(zhì)量高低，直接影響結(jié)構(gòu)系統(tǒng)測量頻響函數(shù)逼近真實系統(tǒng)頻響函數(shù)程度，進而對最終模態(tài)參數(shù)識別精度產(chǎn)生直接影響。

定義加權(quán)綜合頻響函數(shù)：

其中：

加權(quán)綜合頻響函數(shù)不再是多次試驗結(jié)果頻響函數(shù)的簡單平均，而是充分考慮每次試驗的頻響函數(shù)質(zhì)量，即每次輸入與輸出的相干函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)，當頻響函數(shù)質(zhì)量較高則在加權(quán)頻響函數(shù)中具有較高的權(quán)值，頻響函數(shù)數(shù)據(jù)質(zhì)量劣質(zhì)時則在加權(quán)函數(shù)中權(quán)值較低。這樣即達到提高優(yōu)質(zhì)數(shù)據(jù)在計算過程中的權(quán)重，提高模態(tài)參數(shù)識別精度。

1.2 基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)模態(tài)參數(shù)自動提取

在模態(tài)分析中，穩(wěn)定圖是分離結(jié)構(gòu)物理極點和數(shù)學極點（虛假極點）的有力工具[3]。穩(wěn)定圖的建立方式為：坐標軸橫坐標為頻率，單位Hz，坐標軸縱坐標為的階次值，圖上標注特定文字符號。由于利用穩(wěn)定圖模態(tài)識別需要對模型階次假設，且假設階次要高于系統(tǒng)固有階次，通過計算得到物理模態(tài)及計算虛假模態(tài)。但是一般實際情況是隨模型假設階次遞增，物理模態(tài)作為真實模態(tài)，始終保持穩(wěn)定在一條軸上；而通過計算出現(xiàn)虛假模態(tài)則隨機離散出現(xiàn)，散布于穩(wěn)定圖上，不會出現(xiàn)類似于真實模態(tài)穩(wěn)定軸。根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)這個性質(zhì)，便比較直觀在穩(wěn)定圖上區(qū)別開物理模態(tài)和虛假模態(tài)。根據(jù)工程經(jīng)驗，系統(tǒng)假設的階次取值越大，在穩(wěn)態(tài)圖上反映的極點信息越全面，防止出現(xiàn)漏掉的穩(wěn)定極點，也便于出現(xiàn)穩(wěn)定軸；但是階次估值提高也帶入了許多虛假的極點信息，這樣會給極點分離帶來困難。這就要需要權(quán)衡估計階次高低的優(yōu)劣，選取合適估計階次。

穩(wěn)定圖上不同估計階次情況下極點分布，在同一模態(tài)軸上，相鄰階次模態(tài)參數(shù)相比較，若相鄰階次模態(tài)參數(shù)差值不高于容差設定值，則該極點為穩(wěn)定極點，得到的模態(tài)參數(shù)為穩(wěn)定模態(tài)參數(shù)。假定特征頻率容差為f? ，阻尼比容差為 ξ?，則穩(wěn)定點的條件為：

其中j表示系統(tǒng)模型階數(shù)，f、ξ表示不同估值階次下的模態(tài)頻率、阻尼比。

通過專家人工對模態(tài)極點篩選的步驟，可將模態(tài)識別過程劃分為：首先選擇理想的極點列，然后在列中選擇比較好的極點，進而對系統(tǒng)進行模態(tài)參數(shù)識別。因而進行自動化模態(tài)參數(shù)識別的基礎是按照專家篩選過程對每一步的標準進行量化。主要分為以下幾個步驟：

①基于加權(quán)的最優(yōu)極點列提取

根據(jù)不同模態(tài)參數(shù)識別方法，假定不同模型固有階次，得到的所有計算極點（即虛假極點）將散布于整個穩(wěn)定圖上。系統(tǒng)固有模態(tài)并不會隨著模型階次的提高而大的改變，而計算的虛假模態(tài)則會隨著模型階次提高而變化較大。

在整個需要分析頻帶內(nèi)分成若干頻帶組，一般是每組帶寬為整個分析頻帶的0.5%~1.0%，若是模態(tài)更為密集，則可根據(jù)具體情況相應提高分組組數(shù)，得到標準組列。但存在邊界與固有頻率重合情況，利用標準分組再偏移半個標準組帶寬得到新的偏移組列，統(tǒng)稱為極點列，如圖1所示。

圖1 穩(wěn)定圖頻帶組分組示意圖

將每個標準組列及偏移組列中的極點通過加權(quán)計算該組總分值，其中“s”類權(quán)分ws，“d”類權(quán)分wd，“v”類權(quán)分wv，“f”類權(quán)分wf，得到每一組的極點列加權(quán)分值：

根據(jù)最終加權(quán)分值的大小，得到前N個基于加權(quán)的最優(yōu)極點列 {Si}。

②加權(quán)最優(yōu)極點簇選擇

得到最優(yōu)極點列后，需要選擇最優(yōu)極點列 }{iS中的最優(yōu)極點作為模態(tài)極點。但是極點列中有很多極點，為了減少虛擬極點混入，首先將每極點列分成若干極點簇，選擇最優(yōu)極點簇，整個流程如圖2所示。

圖2 加權(quán)最優(yōu)極點極點簇選擇流程圖

③最優(yōu)穩(wěn)定極點選擇

在最優(yōu)極點簇選擇平均阻尼比相差最小的極點作為最優(yōu)穩(wěn)定點。

因此，整個基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)自動提取過程為：首先根據(jù)多次測量的數(shù)數(shù)輸出采集數(shù)據(jù)計算實測頻響函數(shù)矩陣，利用相干函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)構(gòu)造加權(quán)的綜合頻響函數(shù)矩陣，然后根據(jù)實際分析頻帶設定出最高假定階次，利用多參考最小二乘復頻域法構(gòu)造穩(wěn)定圖，最后利用基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)自動拾取最優(yōu)穩(wěn)定極點，對系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)進行計算。整個過程流程圖如圖3所示。

圖3 基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)模態(tài)參數(shù)自動提取流程圖

2 實驗論證與分析

為了驗證方法的有效性，以一個三自由度線性時不變系統(tǒng)作為仿真結(jié)構(gòu)[4]，如圖4所示。

圖4 三自由度線性時不變振動系統(tǒng)

表1 系統(tǒng)的頻率和阻尼比理論值

對系統(tǒng)中m1激勵，激勵類型為脈沖激勵，力大小f1=1kN，同步對3個質(zhì)量塊時域位移響應信號采集，設置采樣頻率40Hz，采樣時長150s。得到各點位移響應如圖5所示。由圖5看出各測點位移響應已經(jīng)得到很好的衰減，不需要加窗函數(shù)處理。

圖5 三自由度系統(tǒng)位移響應時域圖

對輸入輸出響應分別加1%，5%，10%的隨機噪聲作為模擬三次采樣數(shù)據(jù)，并根據(jù)輸入輸出并做頻率響應函數(shù)，以m1為例如圖6所示。

圖6 m1不同噪聲下頻響函數(shù)曲線

對不同加噪處理后的輸入輸出信號處理，分別計算系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣和相干函數(shù)矩陣，進而可計算平均頻響函數(shù)和本文方法的加權(quán)綜合頻響函數(shù)。利用以上數(shù)據(jù)對系統(tǒng)分別采用PRLSCF和改進PRLSCF進行模態(tài)分析，假設模型最高階數(shù)為64，分別得到系統(tǒng)穩(wěn)定圖如圖7、圖8所示。

結(jié)合圖7和表1看出，穩(wěn)定圖上在系統(tǒng)固有頻率處出現(xiàn)了由穩(wěn)定點（s）所構(gòu)成的清晰穩(wěn)定軸，但在非固有頻率出也出現(xiàn)了穩(wěn)定軸，即計算出的虛假穩(wěn)定軸。因此這些虛假穩(wěn)定軸在模態(tài)拾取就會被誤拾取，計算出多余錯誤的模態(tài)識別結(jié)果。在圖7，圖8穩(wěn)定圖中虛假穩(wěn)定極點明顯減少，在系統(tǒng)固有頻率處的穩(wěn)定軸更加明顯清晰，使得拾取穩(wěn)定軸變得更加容易，模態(tài)參數(shù)識別可操作性更強，減少結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別中誤判率。

圖7 PRLSCF方法構(gòu)造的穩(wěn)定圖

圖8 改進PRLSCF方法構(gòu)造的穩(wěn)定圖

最后基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)自動提取識別結(jié)果如表2所示。可以看出，多參考最小二乘復頻域法和本文的方法都可以得到系統(tǒng)的三階固有模態(tài)參數(shù)，但是在阻尼比和固有頻率識別的精度上，本文方法比原有的多參考最小二乘復頻域法誤差更小，更接近于理論值。

表2 兩種方法識別結(jié)果對比

3 結(jié)束語

對現(xiàn)有PRLSCF模態(tài)參數(shù)識別算法進行優(yōu)化并提出基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)模態(tài)自動識別算法。對PRLSCF模態(tài)識別算法進行優(yōu)化，提出加權(quán)的多參考最小二乘復頻域法模態(tài)參數(shù)識別，以輸入輸出相干函數(shù)為加權(quán)函數(shù)得到綜合頻響函數(shù)，通過增加高質(zhì)量采集數(shù)據(jù)的權(quán)重，更加有效利用高質(zhì)量采集數(shù)據(jù)，提高系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別精度；提出了基于穩(wěn)定圖分組加權(quán)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)自動識別，根據(jù)穩(wěn)定圖中計算模態(tài)的頻率、阻尼比等分組加權(quán)，自動拾取最優(yōu)物理極點并進行模態(tài)參數(shù)計算，提高了模態(tài)分析自動化程度。最后通過仿真的三階物理模型進行系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別，本文方法比原PRLSCF法構(gòu)造出的穩(wěn)定圖更加清晰，可實現(xiàn)自動識別模態(tài)參數(shù)，驗證了本文方法的可行性與正確性。