概周期驅(qū)動(dòng)的二維分段線性范式系統(tǒng)的奇異非混沌吸引子

徐 震，沈云柱

(濟(jì)南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022)

奇異非混沌吸引子(SNAs)是在幾何上表現(xiàn)為奇異，但最大李雅普諾夫指數(shù)非正且不具備對初值條件的敏感性的吸引子。1984年Grebogi等[1]發(fā)現(xiàn)在某些動(dòng)力系統(tǒng)中可能存在SNAs，并以連續(xù)時(shí)間非線性振蕩器為例，首次驗(yàn)證了SNAs的存在。在過去幾十年中，學(xué)者們進(jìn)行大量有關(guān)SNAs的實(shí)驗(yàn)并取得了許多研究成果[2-8]，在各種動(dòng)力系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了不同類型的分岔，并研究這些分岔中的SNAs，例如霍普夫分岔[9]、邊界碰撞分岔[10-11]、擦邊分岔[12]和爆裂分岔[13]等。隨著電子科學(xué)的不斷發(fā)展，學(xué)者們探究了電子電路中的SNAs。Paul等[14]通過相空間分析、龐加萊界面和李雅普諾夫指數(shù)等，分析由2個(gè)正弦驅(qū)動(dòng)的具有共同分段的非線性LCR(電感-電容-電阻)電路耗散振子組成模型中的SNAs，并運(yùn)用實(shí)時(shí)電子電路為驗(yàn)證系統(tǒng)中SNAs的存在性提供了實(shí)驗(yàn)證據(jù)。張永祥等[15]研究了一種新的概周期驅(qū)動(dòng)電路系統(tǒng)中多種類型的SNAs及其不同生成機(jī)理，結(jié)果表明，系統(tǒng)中存在一種新的由環(huán)面分岔形成的類似輪胎形或管道形的SNAs。謝帆等[16]利用電流反饋形降壓變換器(Buck變換器)，研究2個(gè)三段式分段光滑系統(tǒng)的邊界碰撞和分岔，得到了在離散模型中該系統(tǒng)關(guān)于邊界碰撞和分岔的理論。隨著SNAs在通信安全[17-18]、氣候變化[19]等領(lǐng)域中應(yīng)用前景的不斷擴(kuò)大，SNAs逐漸成為國際非線性動(dòng)力學(xué)研究的重點(diǎn)之一。隨著近幾年光滑系統(tǒng)的SNAs理論的不斷完善，國內(nèi)外學(xué)者們開始研究分段光滑(非光滑)系統(tǒng)的SNAs，并取得了許多成果[20-23]，但相應(yīng)的理論還不夠完善，有待進(jìn)一步研究和驗(yàn)證。

本文中以概周期驅(qū)動(dòng)二維分段線性范式系統(tǒng)為研究對象，探討系統(tǒng)中是否存在SNAs。首先通過相軌跡圖尋找奇異吸引子，并利用最大李雅普諾夫指數(shù)驗(yàn)證奇異吸引子是否是混沌的；然后通過有理逼近加以驗(yàn)證；最后利用功率譜、相敏感函數(shù)和回歸圖對吸引子進(jìn)行進(jìn)一步分析。

1 系統(tǒng)模型建立

二維分段線性范式模型[24]為

(1)

式中：n∈為系統(tǒng)的迭代次數(shù)；xn、yn分別為系統(tǒng)第n次迭代時(shí)的輸入、輸出變量；τm、τr、δm、δr為固定的系統(tǒng)參數(shù)；u為分岔參數(shù)。方程(1)加入概周期驅(qū)動(dòng)力后變?yōu)?/p>

(2)

φn+1=mod(φn+ω, 1),

(3)

為了描述概周期驅(qū)動(dòng)二維分段線性范式系統(tǒng)的SNAs，給出x軸方向上的最大李雅普諾夫指數(shù)λx的計(jì)算公式，即

(4)

式中xi為系統(tǒng)第i次迭代時(shí)的輸入變量。

2 系統(tǒng)的SNAs

SNAs的識(shí)別與檢驗(yàn)過程如下。首先固定系統(tǒng)參數(shù)為τm=0.86，τr=-1.6，δm=0.3，δr=0.3，取激振動(dòng)力幅值b=0.4，概周期驅(qū)動(dòng)的二維分段線性范式系統(tǒng)在不同控制參數(shù)a時(shí)的相軌跡圖如圖1所示。由圖1(a)可知，當(dāng)a=-0.094時(shí)，系統(tǒng)(2)中的吸引子是光滑的且系統(tǒng)圖像在相軌跡圖中表現(xiàn)為第1個(gè)周期內(nèi)的概周期環(huán)面。由圖1(b)可知，當(dāng)a=-0.023時(shí)，相軌跡圖中開始出現(xiàn)不連續(xù)點(diǎn)，光滑的概周期環(huán)面變?yōu)榉枪饣h(huán)面。由圖1(c)可知，當(dāng)a=-0.022時(shí)，非光滑環(huán)面出現(xiàn)分形，通過計(jì)算可得，最大李雅普諾夫指數(shù)約為-0.102 9，此時(shí)吸引子為SNAs。由圖1(d)可知，當(dāng)a=0.135時(shí)，奇異非混沌現(xiàn)象變得非常明顯，此時(shí)最大李雅普諾夫指數(shù)約為-0.032 6。當(dāng)a>0.135時(shí)，系統(tǒng)開始進(jìn)行混沌運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入混沌區(qū)域。

2.1 有理逼近

概周期驅(qū)動(dòng)的二維分段線性范式系統(tǒng)的頻率ω為黃金分割值，運(yùn)用Fibonacci數(shù)列的特性對ω進(jìn)行有理逼近，得到有理逼近頻率ωk=Fk-1/Fk，k∈，F(xiàn)k∈K，滿足Fk+1=Fk+Fk-1，K={1,1,2,3,5,8,13,21,…}。當(dāng)k→∞時(shí)，系統(tǒng)的相軌跡圖出現(xiàn)SNAs。在ωk=10 946/17 711且激振動(dòng)力幅值b=0.4的條件下，概周期驅(qū)動(dòng)的二維分段線性范式系統(tǒng)在不同參數(shù)a時(shí)的有理逼近圖如圖2所示。對比圖2(a)、圖1(c)以及圖2(b)、圖1(d)可以發(fā)現(xiàn)，相同參數(shù)時(shí)的相軌跡圖與有理逼近圖具有相同的奇異特性，證明在參數(shù)a=-0.022，b=0.4和a=0.135，b=0.4時(shí)的吸引子為SNAs。

2.2 功率譜

功率譜是驗(yàn)證吸引子是否為SNAs重要手段之一。SNAs的功率譜有奇異連續(xù)的特性，在功率譜圖像中表現(xiàn)為有許多自相似的峰，而周期吸引子不具備這種特性。

由傅里葉變換

(5)

得到功率譜為

(6)

式中：X(ωc,n)為傅里葉級數(shù)；ωc∈[0,1]為功率譜頻率；r為傅里葉變換的迭代次數(shù)；xr為系統(tǒng)第r次迭代時(shí)的輸入變量；|·|為模運(yùn)算。

圖3所示為概周期驅(qū)動(dòng)的二維分段線性范式系統(tǒng)在不同控制參數(shù)a時(shí)的環(huán)面功率譜。由圖3(a)可知，當(dāng)a=-0.094時(shí)，光滑環(huán)面的功率譜沒有表現(xiàn)出奇異連續(xù)的特性。由圖3(b)可知，當(dāng)a=0.135時(shí)，環(huán)面的功率譜既表現(xiàn)出奇異連續(xù)的特性，又具有很多自相似的峰，證明此時(shí)吸引子為SNAs。

(a)a=-0.094

2.3 相敏感函數(shù)

相敏感指數(shù)也是驗(yàn)證吸引子是否為SNAs的重要手段之一。SNAs的相敏感函數(shù)Fn=nμ滿足冪律關(guān)系，μ為SNAs的相敏感指數(shù)。Fn隨著n的增大而無限增大。對于環(huán)面，相敏感函數(shù)則具有有界性。相敏感函數(shù)計(jì)算公式為

(7)

式中：x0為系統(tǒng)的初始輸入量；φ0為系統(tǒng)的初始相位；

(8)

其中φi為系統(tǒng)第i次迭代時(shí)的相位。

圖4所示為概周期驅(qū)動(dòng)的二維分段線性范式系統(tǒng)在不同控制參數(shù)時(shí)的相敏感函數(shù)。從圖中可以看出，環(huán)面的相敏感函數(shù)表現(xiàn)出明顯的有界性，而與nμ滿足冪律關(guān)系的SNAs的相敏感函數(shù)則表現(xiàn)出無限增長趨勢，通過計(jì)算可得，SNAs的相敏感指數(shù)為μ≈0.475。

Fn—相敏感函數(shù)；n—系統(tǒng)的迭代次數(shù)，n∈；SNAs—奇異非混沌吸引子。

2.4 回歸圖

引入回歸圖可視化動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)反復(fù)出現(xiàn)的時(shí)間。利用遞推矩陣跟蹤不同的結(jié)構(gòu)，可以區(qū)分下劃線軌跡的各種動(dòng)力學(xué)狀態(tài)。通過觀察回歸圖可以明確系統(tǒng)在固定時(shí)間段上的狀態(tài)。回歸圖中的重現(xiàn)是系統(tǒng)的軌跡回到它曾經(jīng)訪問的位置的時(shí)間，而回歸圖則是系統(tǒng)的軌跡在相同位置的時(shí)間對的集合。周期軌道的回歸圖將出現(xiàn)重復(fù)、連續(xù)的紋理，時(shí)間對產(chǎn)生倍數(shù)分隔并形成對角線。系統(tǒng)的回歸圖矩陣計(jì)算公式為

(9)

圖5所示為激振動(dòng)力幅值b=0.4條件下概周期驅(qū)動(dòng)的二維分段線性范式系統(tǒng)在不同控制參數(shù)a時(shí)的回歸圖。由圖5(a)可知，當(dāng)a=-0.094時(shí)，回歸圖出現(xiàn)重復(fù)且不間斷的紋理，并且時(shí)間對會(huì)形成對角線紋理，證明吸引子位于概周期軌道上。由圖5(b)可知，當(dāng)a=0.135時(shí)，回歸圖中出現(xiàn)大量的孤立點(diǎn)和一些較短的對角線，說明系統(tǒng)的重現(xiàn)過程是復(fù)雜的，證明吸引子為奇異吸引子，但是此時(shí)最大Lyapunov指數(shù)是負(fù)的，因此證明吸引子是SNAs。

(a)a=-0.094

3 結(jié)語

本文中以一類概周期驅(qū)動(dòng)分段線性范式系統(tǒng)為模型，研究系統(tǒng)中是否存在SNAs。通過觀察相軌跡圖并計(jì)算最大李雅普諾夫函數(shù)，發(fā)現(xiàn)了該系統(tǒng)中存在的SNAs，并運(yùn)用有理逼近、功率譜和回歸圖，對系統(tǒng)中的SNAs進(jìn)行了深入分析。研究結(jié)果表明，概周期驅(qū)動(dòng)分段線性范式系統(tǒng)中存在SNAs。不同的概周期驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中是否存在SNAs，存在的SNAs的類型是否相同，還有待進(jìn)一步研究。