基于動態(tài)規(guī)劃理論的艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化研究?

朱傳偉 黃 敏 付哲泉

（海軍大連艦艇學(xué)院 大連 116018）

1 引言

艦空導(dǎo)彈裝備作為水面艦艇的主戰(zhàn)防空武器，是水面艦艇對空防御作戰(zhàn)中硬武器抗擊的首道防線，對水面艦艇防空作戰(zhàn)的效果起到舉足輕重的作用。為進(jìn)一步提高艦空導(dǎo)彈的射擊指揮效率，艦空導(dǎo)彈射擊指揮員需結(jié)合射擊指揮決策輔助系統(tǒng)科學(xué)合理地制定艦空導(dǎo)彈射擊方案，以便達(dá)到合理利用作戰(zhàn)資源，提高整體作戰(zhàn)效能的目的。由于目標(biāo)空襲戰(zhàn)術(shù)不斷變化，空襲環(huán)境越來越復(fù)雜，來襲目標(biāo)數(shù)量不斷增加，給艦空導(dǎo)彈防空反導(dǎo)作戰(zhàn)帶來嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，艦空導(dǎo)彈射擊方案籌劃制定與實際運(yùn)用不匹配的矛盾日益突出。因此，必須要對艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化問題進(jìn)行深入分析與研究，提高艦空導(dǎo)彈的射擊效能，以滿足艦空導(dǎo)彈防空反導(dǎo)作戰(zhàn)的需要［1］。

射擊方案優(yōu)化目的是在艦空導(dǎo)彈防空反導(dǎo)作戰(zhàn)過程中合理使用艦空導(dǎo)彈資源，并實現(xiàn)以較高的毀傷概率殺傷目標(biāo)，達(dá)到有效保衛(wèi)本艦及海上其他艦船的目標(biāo)。顯然該模型優(yōu)化是一個多目標(biāo)多階段的優(yōu)化問題。而傳統(tǒng)的優(yōu)化模型均是對空中來襲目標(biāo)的一次防御過程分解成若干獨立交戰(zhàn)過程，依據(jù)上次交戰(zhàn)觀效結(jié)果制定下次攔截計劃的控制模式已難以適應(yīng)現(xiàn)代防空作戰(zhàn)模式下艦空導(dǎo)彈資源綜合調(diào)度的需要。為了避免上述傳統(tǒng)模式下產(chǎn)生的弊端，迫切需要一種綜合考慮多次射擊的艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化方法，將艦空導(dǎo)彈多次射擊過程作為整體進(jìn)行衡量，有利于進(jìn)一步優(yōu)化艦空導(dǎo)彈射擊指揮決策方案，減少火力通道占用時間，正確選擇導(dǎo)彈發(fā)射時機(jī)，提高毀傷目標(biāo)概率，達(dá)到提高整體作戰(zhàn)效能的目的。

2 艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化的影響因素

艦空導(dǎo)彈射擊方案是指在防空反導(dǎo)作戰(zhàn)中，針對不同的空襲目標(biāo)態(tài)勢，射擊指揮員使用艦空導(dǎo)彈對來襲目標(biāo)進(jìn)行攔截的組織實施方法［2］。艦空導(dǎo)彈射擊方案主要內(nèi)容包括明確需要攔截哪些目標(biāo)，確定對來襲目標(biāo)的抗擊采用幾發(fā)導(dǎo)彈，合理利用火力通道資源執(zhí)行發(fā)射任務(wù)，權(quán)衡導(dǎo)彈的發(fā)射時機(jī)和毀傷目標(biāo)概率，預(yù)測對來襲目標(biāo)的最大可攔截次數(shù)等。艦空導(dǎo)彈防空反導(dǎo)作戰(zhàn)涉及的環(huán)節(jié)多、情況復(fù)雜，空襲目標(biāo)戰(zhàn)術(shù)攻擊方式復(fù)雜，其射擊方案優(yōu)化的影響因素眾多，優(yōu)化艦空導(dǎo)彈射擊方案必須綜合考慮這些影響因素，為客觀系統(tǒng)地評價射擊方案打下良好的基礎(chǔ)。依據(jù)艦空導(dǎo)彈防空反導(dǎo)作戰(zhàn)的特點，結(jié)合咨詢專家意見，歸納起來，影響艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化的因素主要包括以下四個方面。

2.1 目標(biāo)威脅等級判斷

在艦空導(dǎo)彈射擊過程中，目標(biāo)的威脅判斷結(jié)果是艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化的基本依據(jù)。從對空防御的角度看，對水面艦艇構(gòu)成威脅的主要空襲目標(biāo)包括三大類，即飛機(jī)類目標(biāo)、飛航導(dǎo)彈類目標(biāo)、戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈目標(biāo)。不同的來襲目標(biāo)在不同的作戰(zhàn)態(tài)勢下對水面艦艇的威脅程度不同，針對不同的威脅等級，在進(jìn)行艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化時需要側(cè)重于不同的指標(biāo)，例如對威脅程度較大的反艦導(dǎo)彈來講，需要著重考察對空作戰(zhàn)反應(yīng)時間與毀傷概率等方面的情況。依據(jù)威脅評估的結(jié)果，便于指揮員明確需要攔截哪些目標(biāo)，并迅速、正確地定下火力分配和艦艇機(jī)動指揮決策，對空襲目標(biāo)威脅程度的評估及排序的結(jié)果直接影響著艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化的整體效果［3］。

2.2 防空導(dǎo)彈攔截能力

艦空導(dǎo)彈的攔截能力主要表現(xiàn)在艦空導(dǎo)彈對目標(biāo)的最大可攔截次數(shù)，受限于可供發(fā)射的導(dǎo)彈數(shù)量。根據(jù)可攔截目標(biāo)次數(shù)和可供發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)量的關(guān)系，又可分為多種情況制定與優(yōu)化艦空導(dǎo)彈射擊方案，在不同的攔截階段，合理確定射擊種類，選擇火力通道，力爭最佳時機(jī)發(fā)射，達(dá)到期望的作戰(zhàn)效果。

2.3 防空導(dǎo)彈火力分配

艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化中，確定由哪些火力通道采取不同發(fā)射配置模式和導(dǎo)彈發(fā)射時間間隔的射擊方式組合是方案優(yōu)化決策的關(guān)鍵和核心內(nèi)容，而該問題集中反映了艦空導(dǎo)彈防空作戰(zhàn)中的火力分配效果［4～5］。因此，火力分配是艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其初始條件是空中目標(biāo)的威脅程度和艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)能夠?qū)ζ溥M(jìn)行攔截的次數(shù)，約束條件是艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的火力通道數(shù)量、通道的轉(zhuǎn)火射擊能力和毀傷目標(biāo)概率等。

2.4 艦空導(dǎo)彈發(fā)射時機(jī)

正確靈活地選擇導(dǎo)彈的發(fā)射時機(jī)，可提高艦空導(dǎo)彈的射擊效果，是研究艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化的關(guān)鍵問題之一［6］。在艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化中，發(fā)射時機(jī)確定的基本原則為盡遠(yuǎn)發(fā)射，為艦空導(dǎo)彈實施連續(xù)射擊和轉(zhuǎn)火射擊創(chuàng)造條件。但從典型艦空導(dǎo)彈毀傷目標(biāo)特性分析，其發(fā)射時機(jī)與毀傷目標(biāo)概率存在著非線性關(guān)系，在盡遠(yuǎn)發(fā)射艦空導(dǎo)彈的基本原則下，也要保證達(dá)到毀傷目標(biāo)概率的預(yù)期值。因此，在艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化過程中，要定量給出艦空導(dǎo)彈發(fā)射時機(jī)的計算方法及指標(biāo)參數(shù)，在毀傷目標(biāo)概率和發(fā)射時機(jī)之間取得較好的平衡，既保證對來襲目標(biāo)的攔截效果，又能夠為艦空導(dǎo)彈進(jìn)行連續(xù)射擊和轉(zhuǎn)火射擊創(chuàng)造有利戰(zhàn)機(jī)，進(jìn)一步提升艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化的快速性和靈活性。

3 艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化的指標(biāo)體系

3.1 優(yōu)化指標(biāo)體系設(shè)計

鑒于艦空導(dǎo)彈射擊方案問題涉及影響因素較多，且相關(guān)影響因素又可細(xì)化分為多種因素。為有效降低艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化指標(biāo)選擇的主觀性，提高優(yōu)化指標(biāo)體系的實用性和針對性，依據(jù)艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化的影響因素、理論內(nèi)涵和指標(biāo)體系建立的原則，經(jīng)過分析與歸納，最終建立艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化指標(biāo)體系，一級指標(biāo)包含4個指標(biāo)，二級指標(biāo)包含9個指標(biāo)，見圖1。

圖1 艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化指標(biāo)體系

3.2 指標(biāo)體系各項指標(biāo)說明

1）目標(biāo)威脅程度

對于艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化關(guān)鍵問題研究，其前提條件是對來襲目標(biāo)進(jìn)行威脅評估，對指揮員準(zhǔn)確地判斷敵情起著至關(guān)重要的作用，也是艦空導(dǎo)彈進(jìn)行火力分配的基本依據(jù)。在射擊方案優(yōu)化研究中，對威脅程度較大的空中目標(biāo)賦予較大的權(quán)值，并以此權(quán)值作為權(quán)重對射擊方案進(jìn)行加權(quán)。加權(quán)射擊方案準(zhǔn)則的有效性和準(zhǔn)確性取決于目標(biāo)威脅大小的判斷和權(quán)值的確定。

2）最多可攔截來襲目標(biāo)次數(shù)

艦空導(dǎo)彈能夠?qū)δ繕?biāo)進(jìn)行攔截的次數(shù)決定著射擊方案優(yōu)化問題的最終實現(xiàn)，是在艦空導(dǎo)彈最大攔截能力的基礎(chǔ)之上進(jìn)行優(yōu)化的。從對空防御的整體性進(jìn)行考慮，艦空導(dǎo)彈對單目標(biāo)的最多可攔截次數(shù)與系統(tǒng)的作戰(zhàn)反應(yīng)時間、導(dǎo)彈的作戰(zhàn)空域、系統(tǒng)的發(fā)射準(zhǔn)備時間等因素有關(guān)［7］。

3）多次攔截可供發(fā)射的艦空導(dǎo)彈數(shù)量

經(jīng)計算，艦空導(dǎo)彈可以對來襲目標(biāo)實施多次攔截，假設(shè)某次攔截可供發(fā)射的艦空導(dǎo)彈數(shù)量為某一隨機(jī)變量，艦空導(dǎo)彈射擊方案的某次射擊使用導(dǎo)彈數(shù)量不能超過可供發(fā)射的艦空導(dǎo)彈數(shù)量。

4）艦空導(dǎo)彈射擊通道占用時間

艦空導(dǎo)彈射擊通道占用時間主要由導(dǎo)彈發(fā)射時間間隔、導(dǎo)彈與目標(biāo)遭遇的飛行時間、為提高射擊效果而進(jìn)行的必要延時、射擊效果評估和指揮員進(jìn)行決策時間等部分組成。艦空導(dǎo)彈射擊通道占用時間對于艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)連續(xù)射擊和轉(zhuǎn)火射擊的組織實施起到至關(guān)重要的作用，為能抗擊空中來襲的多批次目標(biāo)，需要盡快釋放艦空導(dǎo)彈射擊通道資源。

5）艦空導(dǎo)彈消耗量

艦空導(dǎo)彈發(fā)射數(shù)量是艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化的關(guān)鍵指標(biāo)。隨著來襲反艦導(dǎo)彈數(shù)量的不斷增多、空襲體系的不斷完善，如何利用好有限的艦空導(dǎo)彈數(shù)量來進(jìn)行防空反導(dǎo)作戰(zhàn)是射擊方案優(yōu)化過程中需要解決的難題。

6）艦空導(dǎo)彈發(fā)射時刻

合理選擇艦空導(dǎo)彈的發(fā)射時刻能夠優(yōu)化多目標(biāo)通道艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的通道占用時間，提高其轉(zhuǎn)火射擊能力，是實現(xiàn)最優(yōu)火力分配的基礎(chǔ)［8］。從艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)彈道特性上分析，發(fā)射時刻的選擇應(yīng)與艦空導(dǎo)彈毀傷目標(biāo)概率結(jié)合進(jìn)行考慮，單純強(qiáng)調(diào)盡早發(fā)射可能會使艦空導(dǎo)彈毀傷目標(biāo)概率降低，而一味強(qiáng)調(diào)毀傷目標(biāo)概率問題，又可能使艦空導(dǎo)彈射擊時貽誤戰(zhàn)機(jī)。

7）艦空導(dǎo)彈毀傷目標(biāo)概率

艦空導(dǎo)彈毀傷目標(biāo)的概率與單發(fā)殺傷概率、導(dǎo)彈發(fā)射數(shù)量、導(dǎo)彈的發(fā)射時機(jī)等因素有關(guān)。艦空導(dǎo)彈單發(fā)殺傷概率屬于武器系統(tǒng)的固有能力，導(dǎo)彈的發(fā)射數(shù)量與指揮員采取的發(fā)射種類有關(guān)，發(fā)射時機(jī)是指按下導(dǎo)彈發(fā)射按鈕的時刻，需要根據(jù)戰(zhàn)場態(tài)勢及艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的射界，合理進(jìn)行選擇，盡量以較高的毀傷概率攔截目標(biāo)。

4 艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化的理論模型

4.1 目標(biāo)函數(shù)

1）艦空導(dǎo)彈消耗量

式中：M為艦空導(dǎo)彈射擊時的消耗量；n為艦空導(dǎo)彈的攔截次數(shù)；m1,m2,......,mn為每次射擊發(fā)射的艦空導(dǎo)彈數(shù)量。

2）艦空導(dǎo)彈毀傷目標(biāo)概率

式中：Pk為艦空導(dǎo)彈在第k種狀態(tài)時毀傷目標(biāo)的概率，Cdk為艦空導(dǎo)彈在狀態(tài)k時對單目標(biāo)發(fā)射導(dǎo)彈的數(shù)量，Pdki為艦空導(dǎo)彈在狀態(tài)k時對目標(biāo)發(fā)射第i發(fā)導(dǎo)彈對目標(biāo)的單發(fā)殺傷概率。

3）艦空導(dǎo)彈發(fā)射時機(jī)［9］

艦空導(dǎo)彈發(fā)射時機(jī)可用射擊提前系數(shù)指標(biāo)來進(jìn)行度量。式中：αi為艦空導(dǎo)彈第i次射擊的射擊提前系數(shù)；tsmax為最大毀傷瞬時，來襲目標(biāo)到達(dá)該點，艦空導(dǎo)彈毀傷概率最大；tsy為來襲目標(biāo)到達(dá)艦空導(dǎo)彈殺傷區(qū)遠(yuǎn)界的時刻，稱為最早毀傷瞬時；ths為第i次射擊的毀傷瞬時。

在艦空導(dǎo)彈任意射擊瞬時t，一旦求得艦空導(dǎo)彈的毀傷瞬時ths，即可求得該艦空導(dǎo)彈的射擊瞬時。由式（3）可知，射擊提前系數(shù)取值范圍α?[0,1]，且α的取值能夠反映艦空導(dǎo)彈對目標(biāo)的毀傷時機(jī)和毀傷概率。

艦空導(dǎo)彈攔截空襲目標(biāo)的發(fā)射時機(jī)可用α的取值來定量描述，α的取值在0～1之間。在左邊界時刻發(fā)射艦空導(dǎo)彈，其毀傷目標(biāo)概率最高，發(fā)射時機(jī)最晚；在右邊界時刻發(fā)射艦空導(dǎo)彈，其發(fā)射時機(jī)最早，毀傷目標(biāo)概率最低。

4）艦空導(dǎo)彈射擊通道占用時間

式中：tjg為艦空導(dǎo)彈進(jìn)行齊射時導(dǎo)彈的發(fā)射間隔時間；tfx為艦空導(dǎo)彈的飛行時間；tzh包括進(jìn)行觀察射效和下達(dá)轉(zhuǎn)火射擊命令所需時間。

4.2 約束條件

1）目標(biāo)威脅程度

式中：W為空中目標(biāo)威脅度，Mwy為目標(biāo)情況判斷威脅強(qiáng)弱程度，Mwk為目標(biāo)攻擊可能性概率，Mwn為目標(biāo)攻擊能力。

2）最多可攔截來襲目標(biāo)次數(shù)

式中：k1為想定態(tài)勢條件下的艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)攔截次數(shù)；ns為依據(jù)艦艇載彈量，艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)所允許的攔截次數(shù)。

3）多次攔截可供發(fā)射的艦空導(dǎo)彈數(shù)量

對艦空導(dǎo)彈發(fā)射數(shù)量的約束包括兩個方面：一是艦空導(dǎo)彈的第i次射擊發(fā)射的導(dǎo)彈數(shù)量不可超過系統(tǒng)允許發(fā)射的導(dǎo)彈數(shù)量；二是在滿足期望毀傷效果的前提下，多次攔截過程中的消耗導(dǎo)彈數(shù)量的最大約束。

式中：ηi為第i次攔截可供發(fā)射的艦空導(dǎo)彈數(shù)量的隨機(jī)變量；mi為第i次射擊使用導(dǎo)彈數(shù)量；kd為艦空導(dǎo)彈的最多攔截次數(shù)；nmax為滿足預(yù)期毀傷概率的艦空導(dǎo)彈最大發(fā)射數(shù)量。

4.3 確定方案集指標(biāo)相對隸屬度矩陣

在艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化研究中，衡量一個方案的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)往往不止一個，通常要將上述模型中的各個目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行綜合考慮。為便于優(yōu)化分析，將待選方案集X的n個方案的指標(biāo)值經(jīng)歸一化得到相對隸屬度矩陣：R4×n=(rij)4×n。

其中：方案的射擊時機(jī)可用射擊提前系數(shù)指標(biāo)來進(jìn)行度量，其為越大越優(yōu)型指標(biāo)，則r1j=αj；

執(zhí)行該方案的艦空導(dǎo)彈毀傷目標(biāo)概率為越大越優(yōu)型指標(biāo)，則r2j=Pj；

在確定射擊方案優(yōu)化指標(biāo)權(quán)重系數(shù)的基礎(chǔ)上，針對待選方案的優(yōu)化指標(biāo)值，結(jié)合最優(yōu)化理論，采取不同的優(yōu)化理論和方法，并找到一套行之有效的算法，通過對模型的求解進(jìn)行艦空導(dǎo)彈射擊方案的相關(guān)分析與比較。

5 基于動態(tài)規(guī)劃理論的射擊方案模糊優(yōu)選

5.1 動態(tài)規(guī)劃理論

動態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策過程最優(yōu)化問題的一種方法，其核心思想是以連續(xù)遞推的方式對多階段決策問題進(jìn)行最優(yōu)化，以分段的方式從終點向始點方向?qū)ふ易顑?yōu)策略，直至滿足全局最優(yōu)為止。由艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化影響因素分析可知，射擊方案優(yōu)化屬于多目標(biāo)多階段優(yōu)化問題，且屬于典型的模糊優(yōu)化決策問題，可利用動態(tài)規(guī)劃理論與多目標(biāo)模糊識別優(yōu)化理論結(jié)合，以便于達(dá)到有效求解多階段多目標(biāo)決策問題［9］。

5.2 基于動態(tài)規(guī)劃的射擊方案優(yōu)化實現(xiàn)

艦空導(dǎo)彈對空中來襲目標(biāo)進(jìn)行第一次射擊后，如目標(biāo)未被殺傷，且仍在艦空導(dǎo)彈的發(fā)射區(qū)內(nèi)，依據(jù)艦空導(dǎo)彈戰(zhàn)斗使用基本原則，應(yīng)首先采用連續(xù)射擊的方式繼續(xù)對目標(biāo)進(jìn)行攔截，直至將目標(biāo)擊毀?；趧討B(tài)規(guī)劃理論和艦空導(dǎo)彈攔截目標(biāo)方式特點的分析，對于多次射擊階段的艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化選擇問題可以嘗試采用多目標(biāo)多階段動態(tài)規(guī)劃進(jìn)行實時決策。

1）階段

對于艦空導(dǎo)彈射擊方案問題研究，可將多次攔截過程作為A個階段，第幾次射擊數(shù)作為階段變量a。

2）狀態(tài)

對于艦空導(dǎo)彈射擊方案問題研究，毀傷目標(biāo)概率、射擊通道占用時間均為狀態(tài)變量。

3）決策

對于艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化問題研究，各階段發(fā)射的艦空導(dǎo)彈數(shù)量、火力單元的選擇、導(dǎo)彈發(fā)射間隔時間、系統(tǒng)的可靠性為決策變量。本文暫不考慮系統(tǒng)兼容性的影響。

4）策略

對于艦空導(dǎo)彈射擊方案問題研究，對于不同的射擊階段會有多個在一定范圍內(nèi)可供選擇的允許策略。在問題優(yōu)化過程中，可以利用基于動態(tài)規(guī)劃的相關(guān)理論求得各不同射擊階段的最優(yōu)策略。

5）狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

在第a階段某狀態(tài)xa下所做得出的決策ua(xa)，其整個過程反映在第a階段的狀態(tài)xa向第a+1階段的狀態(tài)xa+1進(jìn)行轉(zhuǎn)移，可用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程來描述整個的轉(zhuǎn)移過程［10］。對于艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化問題研究，由一個射擊階段向另外一個射擊階段的轉(zhuǎn)變過程可由前向或后向遞推方程進(jìn)行求解和計算。

6）指標(biāo)函數(shù)

對于艦空導(dǎo)彈射擊方案問題研究，指標(biāo)函數(shù)包括：毀傷目標(biāo)概率和系統(tǒng)可靠性為越大越優(yōu)型指標(biāo)，可直接作為優(yōu)屬度函數(shù)；通道占用時間和發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)量為越小越優(yōu)型指標(biāo)，需進(jìn)行歸一化處理。

5.3 基于級別特征值最小法的方案優(yōu)化

設(shè)決策者確定階段a的指標(biāo)權(quán)重為ω(a)=(w1(a),w2(a),…,wm(a))，可得階段a狀態(tài)sa-1作出決策j的相對優(yōu)屬度［9］：

應(yīng)用級別特征值向量式，得到階段a方案集級別特征值向量：

aH由階段a的起始狀態(tài)ca-1與該階段所選的決策da決定，因此aH為ca-1與da的函數(shù)，

則多目標(biāo)決策系統(tǒng)模糊優(yōu)選動態(tài)規(guī)劃后向遞推的方程形式為

根據(jù)式（9），在已知狀態(tài)cA為界限的前提下，能夠計算在各個cA-1狀態(tài)下，第A階段的方案級別特征值最小值為

依次后向推進(jìn)對A-1階段進(jìn)行求解：

依次后向推進(jìn)直至第1階段，經(jīng)計算可得：

類似地，可以給出模糊優(yōu)選動態(tài)規(guī)劃前向遞推的基本方程為

此時，即可在邊界條件為應(yīng)用起點為c0的狀態(tài)下，由式（13）可計算在不同的c1狀態(tài)時，第1階段的決策級別特征值最小值。

按此前向遞推進(jìn)行第2階段計算，得

依次遞推計算至第A階段，得

根據(jù)終點的邊界條件，求得第A階段的最優(yōu)策略根據(jù)多目標(biāo)決策系統(tǒng)模糊優(yōu)選動態(tài)規(guī)劃前向遞推的方程，在解算得到第A階段最優(yōu)決策的基礎(chǔ)上，依次求解其余各個階段的最優(yōu)方案，最終可求得多目標(biāo)規(guī)劃各個階段的最優(yōu)策略

6 算例分析

6.1 情節(jié)設(shè)定

假設(shè)空中來襲反艦導(dǎo)彈以速度300m/s對水面艦艇編隊中單艘艦艇實施攻擊，目標(biāo)航路捷徑為0，飛行高度為5m，艦空導(dǎo)彈對該目標(biāo)的殺傷區(qū)遠(yuǎn)界為12km，近界為4km，單發(fā)殺傷概率為0.5～0.7。艦艇所裝載艦空導(dǎo)彈的火力通道劃分區(qū)域如圖2所示。

圖2 空襲目標(biāo)來襲態(tài)勢

設(shè)空襲態(tài)勢為多方向單目標(biāo)來襲，目標(biāo)威脅程度由高到低依次為 1001、1002、1003、1004。由來襲目標(biāo)的基本參數(shù)和艦空導(dǎo)彈殺傷區(qū)范圍，經(jīng)計算，艦空導(dǎo)彈對1001批目標(biāo)最多可進(jìn)行兩次攔截，對1002、1003、1004批目標(biāo)最多可進(jìn)行3次攔截。本文以對1003批目標(biāo)進(jìn)行攔截為例，要求艦空導(dǎo)彈以確保毀傷概率不低于0.9毀傷目標(biāo)，已知艦空導(dǎo)彈的單發(fā)殺傷概率值為0.5～0.7，如果不考慮對目標(biāo)的毀傷積累，并且各發(fā)導(dǎo)彈對目標(biāo)的殺傷概率相等時，由式（2）可計算得到一次攔截所需要艦空導(dǎo)彈數(shù)量為2發(fā)～4發(fā)。

對于1003批目標(biāo)最多可實施3次攔截，假設(shè)前兩次攔截均沒有殺傷目標(biāo)，艦空導(dǎo)彈需要完成3次射擊的組織實施過程，可將3次射擊過程作為3個射擊階段，依據(jù)理論模型優(yōu)化不同階段的射擊方案。對于圖2給出的空襲目標(biāo)態(tài)勢下，1003批目標(biāo)處于艦空導(dǎo)彈的2號火力通道與4號火力通道的抗擊區(qū)域，而且2號火力通道與4號火力通道還要兼顧對1002批目標(biāo)和1004批目標(biāo)的攔截。那么指揮員對于1003批目標(biāo)射擊方案的優(yōu)化時要根據(jù)目標(biāo)空襲態(tài)勢的變化，優(yōu)化其發(fā)射時機(jī)、選擇發(fā)射數(shù)量，既要保證對1003批目標(biāo)的可靠攔截，又要兼顧考慮火力通道占用、毀傷目標(biāo)概率等指標(biāo)，保證對1002批、1004批目標(biāo)的預(yù)期毀傷效果。

6.2 待選方案確定

假設(shè)艦空導(dǎo)彈的發(fā)射種類可選擇單射和2發(fā)連射，2發(fā)連射的間隔時間為1s或1.5s。按照給定艦空導(dǎo)彈單發(fā)殺傷概率數(shù)值、預(yù)期毀傷概率及所需要艦空導(dǎo)彈數(shù)量2發(fā)～4發(fā)，依據(jù)不同火力通道導(dǎo)彈發(fā)射數(shù)量的選取、火力通道的選擇、導(dǎo)彈發(fā)射間隔時間的不同，通過優(yōu)化組合排列，可確定艦空導(dǎo)彈的9種候選射擊方案，見表1。

表1 待選射擊方案

6.3 射擊方案優(yōu)選

1）確定滿足毀傷預(yù)期的待選射擊方案集

根據(jù)艦空導(dǎo)彈射擊待選方案的確定，依次對每個射擊方案進(jìn)行計算，找出滿足毀傷預(yù)期的預(yù)期最早毀傷瞬時射擊方案和最大毀傷概率射擊方案作為備選方案列入待選方案集。則可得到n個滿足毀傷預(yù)期的待選射擊方案集X={X1,X2...,Xn}?R4，每個方案均可以計算得到該方案的射擊提前系數(shù)、毀傷目標(biāo)概率、通道占用時間、發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)量4項指標(biāo)值。

2）指標(biāo)值的獲取

當(dāng)采用射擊方案1時，經(jīng)計算得最早毀傷瞬時射擊方案，其指標(biāo)為［0.72，0.90，18.0，2.00］，最大毀傷概率射擊方案，其指標(biāo)為［0.60，0.91，16.5，2.00］。

同理，采用方案2～方案9，經(jīng)計算得到最早毀傷瞬時方案、最大毀傷概率射擊方案。

綜合可得到滿足毀傷預(yù)期的待選射擊方案集合為

依據(jù)方案集指標(biāo)隸屬度矩陣的確定方法，將9種方案的4個指標(biāo)值分別進(jìn)行歸一化處理，可得18個待選射擊方案的指標(biāo)隸屬度矩陣：

同理可得，艦空導(dǎo)彈第二次射擊和第三次射擊的待選射擊方案的指標(biāo)隸屬度矩陣：

3）指標(biāo)權(quán)重確定

指標(biāo)權(quán)重需要根據(jù)戰(zhàn)場態(tài)勢、指揮員經(jīng)驗和偏好進(jìn)行調(diào)整，如何確定權(quán)重本文不予討論。假設(shè)第一次射擊指標(biāo)權(quán)重ω1=(0.35,0.4,0.1,0.15)，第二次射擊指標(biāo)權(quán)重ω2=(0.25,0.45,0.1,0.2)，第三次射擊的指標(biāo)權(quán)重ω3=(0.15,0.55,0.05,0.25)。

6.4 計算結(jié)果及分析

對艦空導(dǎo)彈射擊方案待選方案的優(yōu)化與選擇，可以采用多目標(biāo)多階段模糊優(yōu)選動態(tài)規(guī)劃求解方法中的最大優(yōu)屬度方法。

利用文中給出的優(yōu)屬度算法，以級別特征值的大小為依據(jù)，對方案集中各方案進(jìn)行排序，得到三個階段的射擊方案優(yōu)化排序結(jié)果為：第一階段的最優(yōu)決策方案為方案1（即待選射擊方案1中最早毀傷瞬時射擊方案）；第二階段為射擊方案10（即待選射擊方案5中最大毀傷概率射擊方案）；第三階段為射擊方案16（即待選射擊方案8中最大毀傷概率射擊方案）。各階段方案優(yōu)屬度計算結(jié)果見表2。

表2 三個射擊階段的方案級別特征值

7 結(jié)語

艦空導(dǎo)彈射擊方案研究是有關(guān)艦空導(dǎo)彈作戰(zhàn)使用研究的一項重要內(nèi)容，也是提高武器裝備作戰(zhàn)能力的重要途徑和手段，科學(xué)、合理的作戰(zhàn)使用和指揮決策需要射擊方案優(yōu)化的定量依據(jù)和理論支撐［11～12］。艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化問題可以表示成一類結(jié)構(gòu)性決策問題，從而可用評價與優(yōu)化方法進(jìn)行求解。根據(jù)艦空導(dǎo)彈射擊方案優(yōu)化指標(biāo)體系分析，艦空導(dǎo)彈射擊方案決策影響因素很多，且存在很大的隨機(jī)性和不可預(yù)知性。本文只是選取若干關(guān)鍵指標(biāo)討論了艦空導(dǎo)彈射擊方案的優(yōu)化與選擇問題，在典型戰(zhàn)術(shù)背景條件下，運(yùn)用基于動態(tài)規(guī)劃理論的射擊方案模糊優(yōu)選理論，結(jié)合艦空導(dǎo)彈消耗量、艦空導(dǎo)彈毀傷目標(biāo)概率、艦空導(dǎo)彈發(fā)射時機(jī)、射擊通道占用時間四項指標(biāo)，以每次射擊過程作為動態(tài)規(guī)劃的一個階段，指揮員可以根據(jù)空襲目標(biāo)態(tài)勢變化和偏好采用分三步優(yōu)選的方式尋求最佳的射擊方案。