二階再生張量空間與再生張量的性質(zhì)

殷洪才，全玉錦

(1．廣東外語外貿(mào)大學(xué)；2．遼東學(xué)院)

0 引言

張量是數(shù)學(xué)的一個重要分支，近代物理和力學(xué)的發(fā)展促進了它的充實與完善.它的應(yīng)用也越來越廣泛.在文獻[1]中作者在光學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用張量研究了反射線；在文獻[2]中作者在材料力學(xué)中應(yīng)用張量研究了彈性問題；在文獻[3]中作者在Dirac場的重正化提出了張量和Casimir效應(yīng)；還有核物理等方面的應(yīng)用[4].

該文將張量以線性空間來描述，進而建立泛函分析相應(yīng)結(jié)構(gòu)，尤其是將再生核概念引入到張量中去.再生核本是泛函分析中一種正定的積分核[5]，從某種意義上看，它是Riesz表現(xiàn)定理的實現(xiàn)[6].近年來，再生核在物理模型計算中有著積極的貢獻[7-15].該文就是在將這些積極的因素引入到張量分析中，擴大再生核計算優(yōu)勢，相信這將對物理領(lǐng)域中的研究、尤其是在計算物理中開辟一種新的計算方法來.

1 一些預(yù)備知識與符號

(2)協(xié)(逆)變基矢量新老轉(zhuǎn)化關(guān)系

(4)兩個張量(階數(shù)≥2)的雙點內(nèi)積

設(shè)張量

2 二階張量空間

基于張量的一些已有運算從公理化角度嚴(yán)格敘述，使得二階張量構(gòu)成一個賦范空間.為再生引入奠定基礎(chǔ).

定理2.1 假設(shè)gij是正定矩陣，則Ω在張量加法、數(shù)乘和雙點內(nèi)積下構(gòu)成內(nèi)積空間、賦范空間.

證明僅檢驗內(nèi)積公理.也僅對張量協(xié)變型式檢驗，

(1)內(nèi)積正定性

和

(2)交換性

(3)數(shù)因子結(jié)合性

(4)分配率

3 二階再生張量空間與再生張量的性質(zhì)

再生性質(zhì)本是Riesz表現(xiàn)定理[6]對線性泛函理論表示提出來的，即對任意空間H上的連續(xù)泛函f(x)，必存在H唯一的元y，使得f(x)=.近年來國內(nèi)外一些學(xué)者將定理中的y在一定空間下給出來的具體表達式Rs(t)，得到x(s)=[5]，這在應(yīng)用中起到了關(guān)鍵.該文就是在這種思想引導(dǎo)下，來完成張量分析中的再生基概念.

(1)

定理3.1 二階張量空間Ω是再生張量空間.

證明取四階張量：

(2)

定理3.2 張量空間Ω是再生張量空間的再生張量(2)是唯一的.

而

(3)

是Ω的一組基.

4 結(jié)束語