從中考題探索初高中數(shù)學(xué)知識的銜接
——從2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試題談起

陳曉嵐

(廣東省佛山市順德區(qū)龍江豐華初級中學(xué) 528000)

1 引言

2021年廣東省數(shù)學(xué)中考試題公布之后，引起了教研人員、一線教師及數(shù)學(xué)愛好者的熱議.2021年中考與高中銜接的內(nèi)容非常多，筆者認為，中考數(shù)學(xué)試題撇去偏、難、題量大等問題，更重要的是給我們一個明確的方向——中考將與高中有更緊密的銜接.本文選取2021年廣東省中考題第9題、第10題、第23題，從解題思路、與高中數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系及教學(xué)啟示等方面來進行剖析.

2 典例分析

2.1 試題分析

本題考查的是利用消元思想和二次函數(shù)知識求最值，但是因為考查的形式比較新穎，是以“海倫公式”為切入點，先入為主地給學(xué)生心理壓力，學(xué)生會因為不認熟悉這個公式而慌神，導(dǎo)致一下子沒有思路.再者，這道題難在沒有直接給出二次函數(shù)，需要學(xué)生代入消元才在根式中出現(xiàn)二次函數(shù)，所以消元與根式也給學(xué)生造成了解題阻礙.

2.2 與高中數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系

例2 (2021年廣東省卷第10題)設(shè)O為坐標(biāo)原點，點A、B為拋物線y=x2上的兩個動點，且OA⊥OB.連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值( ).

2.3 試題分析

以下兩種解法是初中階段的解答方法，都是在函數(shù)背景中，利用相似三角形和隱圓的知識找到滿足條件的點C位置，從而解決本題.根據(jù)初中知識本題考查學(xué)生的作圖能力、數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)和幾何的綜合運用能力.

圖1 圖2

如果跳出初中知識的限制，這道題還有兩種解法，分別涉及基本不等式和對勾函數(shù).而且這兩種方法會更加直接，不需要結(jié)合圖形，用純代數(shù)的方法即可解出.

解法3由解法1和解法2，均可以得到AB：

y=kx+1

①

②

解法4由解法1和解法2，均可以得到

AB：y=kx+1

①

②

圖3

2.4 與高中數(shù)學(xué)知識聯(lián)銜接分析

基本不等式的解法(解法三)是高中數(shù)學(xué)研究函數(shù)最值時常用的方法之一.筆者認為解答此題時利用解法三思路清晰，不過要涉及基本不等式和分類討論，對于初中生的要求較高，初中階段還沒有接觸基本不等式.另外，本解法涉及的分類討論，雖然在初中學(xué)生已經(jīng)有接觸和體驗，但是學(xué)生對分類討論的掌握仍然有困難.更多的初中生未必會選擇這樣的解法來求解.相反地，在高中階段更多地使用這種接法.因此，從解法三中我們感受到初高中在思維層面銜接上還有一些差距.

例3 (2021年廣東省卷23)如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點.連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長.

2.5 試題分析

解法一如圖5，延長BF交CD于H，連接EH.

本題解法一主要考查初中階段翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出DH，CH，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

圖4 圖5 圖6

設(shè)BG=5x，BH=3x，GH=4x

2.6 與高中數(shù)學(xué)知識銜接分析

根據(jù)上述的題目分析，明顯可以看出，解法二比解法一所作的輔助線少、思維更加直接、所需的知識點少、證明過程簡潔等諸多好處，但是二倍角公式是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的知識，初中只是接觸了簡單的銳角三角函數(shù)及簡單的誘導(dǎo)公式如cosα=sin(90°-α)，而且對于這個公式的使用也不多，僅僅處于了解的程度.所以，學(xué)生進入高中之后，一下子接觸眾多的二倍角公式、半角公式等，會明顯感到吃力.這也體現(xiàn)了初中和高中階段之間的知識層次及學(xué)習(xí)能力方面的的差距.