《空間向量及其運算》(第1課時)教學(xué)設(shè)計

陳坤美

(云南省昆明市云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650500)

1 內(nèi)容解析

《空間向量及其運算》是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(選擇性必修)》第一冊(以下簡稱“教科書”)第一章《空間向量與立體幾何》的第一節(jié)內(nèi)容，包括“空間向量及其線性運算”和“空間向量的數(shù)量積運算”兩小節(jié)內(nèi)容，其中第1課時“空間向量及其線性運算”要學(xué)習(xí)的核心知識有：空間向量的概念；零向量、單位向量、相等向量、相反向量、共線向量、共面向量；空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運算.這些核心知識是后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量基本定理、空間向量運算的坐標(biāo)表示、應(yīng)用空間向量解決立體幾何圖形位置關(guān)系與度量關(guān)系的基石.

本節(jié)課的重點是：空間向量及其相關(guān)概念，空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運算.

本節(jié)課的難點是：空間向量加法結(jié)合律的證明，用向量方法解決立體幾何問題.

2 學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，學(xué)生已在人教A版必修第二冊中學(xué)習(xí)了《平面向量及其應(yīng)用》和《立體幾何初步》內(nèi)容.熟悉了平面向量的基本研究思路與框架即“實際背景→基本概念→向量運算(線性運算、數(shù)量積)→向量基本定理及坐標(biāo)表示→向量的應(yīng)用”，這也是研究和學(xué)習(xí)空間向量的基本路線.

3 教學(xué)目標(biāo)

(1)了解空間向量的實際背景；理解空間向量及相關(guān)概念；掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算.

(2)經(jīng)歷由平面向量的概念、運算推廣到空間向量的過程；通過空間向量加法結(jié)合律的證明體會維數(shù)增加對向量推廣帶來的變化；在證明空間四點共面的過程中明析立體幾何中向量方法的“三步曲”：用空間向量表示立體幾何圖形→向量運算→對運算結(jié)果進行幾何解釋.

(3)在借助幾何圖形解釋空間向量相關(guān)概念中進一步發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想方法；結(jié)合空間向量的概念、運算與運算律證明四點共面的過程中提升數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力；從平面向量推廣得到空間向量、空間向量問題轉(zhuǎn)化為平面向量問題的過程中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，領(lǐng)悟類比、特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸等思想.

4 教學(xué)策略

本節(jié)課采用創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)置問題鏈引導(dǎo)學(xué)生類比平面向量層層深入學(xué)習(xí)空間向量的概念、線性運算、運算律和位置關(guān)系等內(nèi)容.學(xué)生通過自主探究、生生交流、師生互動等教學(xué)活動參與學(xué)習(xí)過程，突破學(xué)習(xí)中的難點和疑點.利用幾何畫板、PPT等教學(xué)軟件繪制圖形、平移圖形、展示圖片，借助幾何直觀圖形幫助學(xué)生分析和理解概念.

5 教學(xué)過程

5.1 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題1 圖1是靜止在水平地面上重達20噸的集裝箱，對其進行受力分析并判斷這些力是否在一個平面上.

圖1 圖2

生：受到的力有重力和支持力，這兩個力在同一平面.

師：現(xiàn)用塔吊將集裝箱轉(zhuǎn)運(如圖2)，此時集裝箱可能受到的力有哪些？

生：重力、四條繩子的拉力、風(fēng)力等.

追問：這些力都在同一個平面上嗎？

師：請同學(xué)們閱讀本章的章前言，再結(jié)合章頭圖仔細閱讀本節(jié)的節(jié)前言.

師：通過閱讀我們知道無論是研究滑翔運動還是塔吊物體都需要利用空間向量，其實在解決很多現(xiàn)實問題的過程中都需要利用到空間向量如對橋梁、建筑的鋼架等的研究.本節(jié)課我們主要類比平面向量學(xué)習(xí)空間向量的概念以及線性運算(板書課題).

【設(shè)計意圖】從現(xiàn)實問題出發(fā)，引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的空間向量，學(xué)生能從中體會平面向量推廣到空間向量的必要性.同時，引導(dǎo)學(xué)生閱讀章前言與節(jié)前言，明確本章以及本節(jié)的主要研究問題，成為整體內(nèi)容的“先行組織者”.

5.2 類比平面，獲取概念

問題2在必修教科書中是如何定義和表示平面向量的？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平面向量的定義、表示法等概念，填寫表1“平面”列，學(xué)生再獨立類比完成“空間”列的填寫，最后師生共同總結(jié)空間向量的相關(guān)概念.

表1 空間向量概念

問題3 根據(jù)向量大小或方向的不同，可以分類得到哪些特殊向量？

師生活動：教師與學(xué)生一起回顧平面中學(xué)習(xí)過的特殊向量并填寫表2“平面”列，學(xué)生類比填寫“空間”列.觀察發(fā)現(xiàn)相等向量和相反向量都是特殊的平行向量.最后，強調(diào)在空間中我們?nèi)砸?guī)定：零向量與任意向量平行.

表2 空間中的特殊向量

問題4 空間中兩條直線的位置關(guān)系有哪些？

生：共面(相交、平行)和異面.

探究1 任意兩個空間向量a、b都可以通過平移成為同一平面內(nèi)的兩個向量嗎？

師生活動：師生結(jié)合教科書“圖1.1-3”畫圖分析，同時利用幾何畫板做向量平移過程的動態(tài)演示.說明其中的依據(jù)和本質(zhì)是“兩條相交直線確定一個平面，故起點重合的兩個不共線向量可以確定一個平面”.

【設(shè)計意圖】立足立體幾何知識，為學(xué)生學(xué)習(xí)空間向量找到知識生長點；利用信息技術(shù)實現(xiàn)師生更深入的交流互動，課堂內(nèi)容更加生動直觀.

5.3 類比運算，證運算律

師：在學(xué)習(xí)了平面向量的概念之后，我們類比數(shù)的運算學(xué)習(xí)了它的線性運算，現(xiàn)在又知道空間向量的運算可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運算，那能否把平面向量的線性運算推廣到空間呢？

師生活動：結(jié)合教科書中“圖1.1-4”和“圖1.1-5”對空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算的運算法則進行直觀理解.

問題5 平面向量加法運算和數(shù)乘運算滿足的運算律有哪些？

生：平面向量的加法運算滿足交換律和結(jié)合律，數(shù)乘運算滿足結(jié)合律和分配律.

追問1：這些運算律對空間向量成立嗎？

探究2 如何證明空間向量加法的結(jié)合律？這與證明平面向量的結(jié)合律有何不同？

圖4 圖5

對于空間向量，若三個向量在同一平面則轉(zhuǎn)化為平面情形用圖4證明；若三個向量不在同一平面則類比平面畫出圖5來證明，同時結(jié)合圖5歸納總結(jié)得到以下結(jié)論：

(1)首尾相接的若干向量之和等于第一個向量的起點指向最后一個向量的終點所表示的向量.

(2)當(dāng)首尾相接的若干向量圍成一個封閉圖形時，它們的和為零向量.

(3)兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.

【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)平面向量加法結(jié)合律的證明為空間中的證明給予一定的啟發(fā).由于維數(shù)的增加，三個向量可能在同一個平面也可能不在，因此要分類討論進行證明，畫圖分析能幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點.

5.4 交流互動，共探關(guān)系

5.4.1 空間向量共線的充要條件

探究3 任意兩個空間向量a(a≠0)與b,a∥b的充要條件是什么？

問題6a與λa有什么位置關(guān)系？

問題7 若b=λa,a與b有什么位置關(guān)系？

問題8 平面中，向量a(a≠0)與b共線的充要條件是什么？

【設(shè)計意圖】基于向量數(shù)乘的定義和平面向量共線的充要條件，設(shè)置三個問題引導(dǎo)學(xué)生得到兩個空間向量共線的充要條件.

圖6 圖7

生：它們互為相反向量、共線(平行)向量.

師：也就是說它們的主要差異是方向相反，那方向相反對直線l有什么影響？

生：這說明直線l有兩個方向.

圖8 圖9

師：如圖9，O為方向向量a的起點，P為直線l上的任意一點，結(jié)合向量共線的充要條件你能得到什么？

師生總結(jié)：直線可以由其上一點和它的方向向量決定.

【設(shè)計意圖】在師生的一問一答和交流互動中有序推進課堂，緊扣直線的定義將向量知識串聯(lián)，學(xué)生在參與分析、回答、解決問題的過程中實現(xiàn)對知識的深化理解.同時，注重符號語言、向量語言、圖形語言三種語言的互補和轉(zhuǎn)化.

5.4.2 空間向量共面的充要條件

師：在前面練習(xí)1中，部分同學(xué)找出的三個向量從圖中看似乎是不在同一平面，但老師告訴大家它們實際是在同一平面的，現(xiàn)在就作出合理的解釋.

師：任意兩個空間向量總是共面，三個向量可能共面也可能不共面，那么什么情況下三個向量共面呢？

探究4 對于任意兩個不共線的空間向量a，b，向量p與向量a，b共面的充要條件是什么？

問題9 當(dāng)向量p與向量a，b共面時，它們之間有怎樣的關(guān)系？(提示學(xué)生結(jié)合平面向量基本定理思考)

生：存在唯一的一對實數(shù)x，y，使p=xa+yb.

圖10

5.5 反思回顧，自主總結(jié)

(1)這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？與平面向量相關(guān)概念有何聯(lián)系與區(qū)別？

(2)空間向量的線性運算滿足哪些運算律？如何證明加法的結(jié)合律？

(3)空間向量共線、共面的充要條件分別是什么？

(4)用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”是什么？

(5)本節(jié)課主要涉及了哪幾種數(shù)學(xué)思想？

【設(shè)計意圖】圍繞本節(jié)課的重點、難點、思想方法進行總結(jié)反思，促進學(xué)生把握本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu).

5.6 布置作業(yè)，達標(biāo)檢測

(1)教科書第5頁練習(xí)2、4、5.

【設(shè)計意圖】考查空間向量的線性運算.

(2)下列命題中不正確命題的序號為

①若空間向量a、b滿足|a|=|b|，則a=b.

②兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同.

④如果a∥b,b∥c,則a∥c.

【設(shè)計意圖】辨析空間向量的相關(guān)概念.

【設(shè)計意圖】考查空間向量共線的充要條件及其運算.

【設(shè)計意圖】此題是對練習(xí)4的變式訓(xùn)練，加深學(xué)生對空間向量共面的理解，滿足部分學(xué)生想多學(xué)一點數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需求.