電磁感應(yīng)電路在不同慣性系中消耗的電功率

汪金花 李普年

（江蘇省邳州市運(yùn)河中學(xué)，江蘇 邳州 221300）

2007年高考上海卷和2017年高考江蘇卷中，均出現(xiàn)了由于磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電磁感應(yīng)問題，試題（兩次高考題目相似）中關(guān)于電路消耗的電功率，很值得深入分析和思考.

1 高考真題回放

例1.（2007年高考上海卷）如圖1所示，光滑的平行長直金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi)，間距為L、導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直跨接在導(dǎo)軌上.導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì)，且接觸良好.在導(dǎo)軌平面上有一矩形區(qū)域內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.開始時(shí)，導(dǎo)體棒靜止于磁場區(qū)域的右端，當(dāng)磁場（區(qū)域）以速度v1勻速向右移動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒隨之開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達(dá)到穩(wěn)定速度，此時(shí)導(dǎo)體棒仍處于磁場區(qū)域內(nèi).

圖1

（1）求導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v2；

（2）為使導(dǎo)體棒能隨磁場運(yùn)動(dòng)，阻力最大不能超過多少？

（3）導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功和電路消耗的電功率各為多大？

顯然，題設(shè)中磁場區(qū)域和導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的速度是以固定導(dǎo)軌的地面為參考系的，但題目第（3）問中電路消耗的電功率問題，并沒有明確指出在哪個(gè)參考系中計(jì)算.那么，電磁感應(yīng)電路在不同慣性系中消耗的電功率一樣嗎？

2 電磁感應(yīng)回路總電動(dòng)勢(shì)大小與參考系無關(guān)

由于題目導(dǎo)體棒所在處磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B不變，無論是地面慣性系K，還是產(chǎn)生磁場的“源”（磁體或載流線圈）為參考系K′，經(jīng)過時(shí)間Δt，穿過回路的磁通量的有效面積均減小ΔS＝L（v1－v2）Δt，應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律就能簡潔地得出回路總電動(dòng)勢(shì)E＝BL（v1－v2），即題目回路總電動(dòng)勢(shì)與參考系無關(guān).

該題條件下，回路中究竟只有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)？還是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)都存在？以及是否存在反電動(dòng)勢(shì)呢？下面的深入研究發(fā)現(xiàn)，這些問題其實(shí)跟觀察者所處的參考系有關(guān).

3 電磁感應(yīng)電路消耗的電功率與參考系有關(guān)

3.1 以固定導(dǎo)軌的地面為參考系K中分析

由于題設(shè)中沒有明確指出參考系，一般默認(rèn)是地面參考系.在K系的觀察者觀測(cè)到的不是靜磁場，而是運(yùn)動(dòng)的磁場產(chǎn)生的電磁場；在產(chǎn)生磁場的“源”（磁體或載流線圈）為K′系的觀察者觀測(cè)到的只是靜磁場.如圖2所示，由電磁場變換公式，K系和K′系中的電磁場存在以下變換關(guān)系［1］

圖2 不同參考系中的電磁場變換

K′系 中：而題目中磁場的運(yùn)動(dòng)速度v＝v1遠(yuǎn)小于真空中的光速c，則洛倫茲變換膨脹因子γ＝因此K系中的觀察者認(rèn)為，同時(shí)存在沿z軸正方向的電場Ez＝v1B和沿y軸負(fù)方向的磁場By＝－B.

因此，觀察者在K系中觀測(cè)，圖1中導(dǎo)體棒中的自由電子受到的非靜電力是沿棒向上的感生電場力eEz＝ev1B和沿棒向下的洛倫茲力f洛＝ev2B的矢量和，即F非靜電力＝eEz－ev2B，由電動(dòng)勢(shì)的定義得回路總電動(dòng)勢(shì)

由（1）式中非靜電力起源的認(rèn)識(shí)可知，在K系的觀察者觀測(cè)到的回路總電動(dòng)勢(shì)有兩部分組成：一個(gè)是自由電子所受的沿棒向上的非靜電力（感生電場力eEz）產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)E1＝BLv1，其方向在圖1中沿導(dǎo)體棒向下（與電路中電流方向一致，體現(xiàn)了導(dǎo)體棒的“發(fā)電機(jī)”角色）；另一個(gè)是自由電子所受的沿棒向下的非靜電力（洛倫茲力ev2B）產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E2＝BLv2，其方向在圖1中沿棒向上（與電路中的電流方向相反，是反電動(dòng)勢(shì)，體現(xiàn)了導(dǎo)體棒的“電動(dòng)機(jī)”角色）.回路總電動(dòng)勢(shì)是感生電動(dòng)勢(shì)E1和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E2（這兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)方向相反）的差，即總電動(dòng)勢(shì)E＝E1－E2＝BL（v1－v2）.因此，圖1回路的等效電路如圖3所示.

圖3 K系中的等效電路

由圖3可知，K系的觀察者觀測(cè)到的是：電源E1提供電能，電源E2和電阻R均消耗電能，則K系中電路消耗的電功率為

回路電流

由導(dǎo)體棒的平衡條件F安＝BIL＝f及（3）式，易得導(dǎo)體棒的恒定速度為

由（1）－（4）式得，K系中電路消耗的電功率為

3.2 以產(chǎn)生磁場的“源”（磁體或載流線圈）為參考系K′中分析

在K′系的觀察者觀測(cè)到的只是靜磁場，圖1的導(dǎo)體棒相對(duì)于磁源向左以速度v相對(duì)＝v1－v2運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒中隨棒運(yùn)動(dòng)的自由電子受到沿棒向上方向的洛倫茲力f洛＝eB（v1－v2），f洛是產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力，即F非靜電力＝f洛，電路中只存在動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，由電動(dòng)勢(shì)的定義得回路總電動(dòng)勢(shì)

K系和K′系中根據(jù)電動(dòng)勢(shì)定義分別計(jì)算出的回路總電動(dòng)勢(shì)（6）式和（1）式數(shù)值相等（但非靜電力的起源不同），與前面用法拉第電磁感應(yīng)定律計(jì)算的回路總電動(dòng)勢(shì)一致，又一次證明了回路總電動(dòng)勢(shì)與參考系無關(guān).

由于K′系的觀察者只觀測(cè)到一個(gè)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，其方向與電路中電流方向一致，因此該觀察者認(rèn)為導(dǎo)體棒只是一個(gè)提供電能的發(fā)電機(jī)，圖1回路的等效電路如圖4所示.顯然，K系和K′系中圖1回路的等效電路圖3和圖4明顯不一樣.

圖4 K′系中的等效電路

根據(jù)等效電路圖4，K′系中電路消耗的電功率為

顯然，K系和K′系中分別計(jì)算出的電路消耗的電功率（5）式與（7）式不同.這表明：電磁感應(yīng)電路在不同慣性系中消耗的電功率不同.

4 文獻(xiàn)中常見解析的參考系是什么

關(guān)于題目第（3）問中電路消耗的電功率，文獻(xiàn)中有以下3種常見的解析.

回路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E＝BL（v1－v2），回路感應(yīng)電流導(dǎo)體棒所受磁場的安培力F安＝ILB＝

當(dāng)導(dǎo)體棒的速度恒定時(shí)有F安＝f，可得v2＝

方法1：當(dāng)導(dǎo)體棒的速度達(dá)到恒定速度v2時(shí)，電路消耗的電功率［2］

方法2：克服安培力做功的功率是相對(duì)于磁場靜止的觀察者的功率，導(dǎo)體棒相對(duì)于磁場的速度大小v＝（v1－v2），則電路消耗的電功率［3－4］

方法3：在導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)的過程中，安培力對(duì)導(dǎo)體棒做正功W1＝F安v2t，安培力的反作用力對(duì)磁場做負(fù)功W2＝－F安v1t.這個(gè)發(fā)電系統(tǒng)產(chǎn)生的電能就是安培力和安培力的反作用力分別對(duì)導(dǎo)體棒和磁場系統(tǒng)所做功的總功的絕對(duì)值（類似于一對(duì)相互作用的摩擦力的總功的絕對(duì)值是摩擦生熱的量度）.所以電路消耗的電功率［5］

這3種方法的結(jié)果相同，且與當(dāng)年高考參考答案的結(jié)果一致.對(duì)比上述K系和K′系中的分析可知，文獻(xiàn)常見解析的上述3種方法計(jì)算的結(jié)果，應(yīng)該是以產(chǎn)生磁場的“源”（磁體或載流線圈）為參考系K′中的電路消耗的電功率.

5 結(jié)束語

綜上所述，在宏觀低速的條件下，電磁感應(yīng)回路的總電動(dòng)勢(shì)與參考系無關(guān).但電磁感應(yīng)電路在不同慣性系中消耗的電功率不同，這是由于不同慣性系中的觀察者觀測(cè)到的場不同，因此不同參考系中電動(dòng)勢(shì)的本質(zhì)非靜電力的起源不同、回路中的等效電源不同、等效電路不同導(dǎo)致的.

由于該題題設(shè)中沒有明確指出參考系，一般默認(rèn)是地面參考系，因此該題第（3）問中電路消耗的電功率的正確結(jié)果應(yīng)該是地面參考系中計(jì)算的P電＝fv1.而高考參考答案和文獻(xiàn)［2－5］計(jì)算出的電路消耗的電功率是以產(chǎn)生磁場的“源”（磁體或載流線圈）為參考系時(shí)電路消耗的功率.