浮沉子運(yùn)動(dòng)規(guī)律探究及對(duì)不可逆現(xiàn)象的解釋

李 昊

（中國(guó)地質(zhì)大學(xué)，北京 100083）

1 浮沉子簡(jiǎn)介

浮沉子模型最早于17世紀(jì)被笛卡爾提出，其可以視為下端有開(kāi)口的小瓶在內(nèi)部保持有一定量的空氣后倒置放入水中，改變外部水的壓力，可以實(shí)現(xiàn)小瓶的下沉與上浮.

2 浮沉子運(yùn)動(dòng)情況分析

2.1 視浮沉子（包括內(nèi)部空氣）質(zhì)量不變

以圖1中浮沉子為例，將浮沉子放置于裝滿(mǎn)水的量筒中，并用橡皮膜封口.通過(guò)對(duì)橡皮膜施加壓力使得量筒內(nèi)水壓增大，進(jìn)而壓縮浮沉子內(nèi)空氣，使得浮力與重力差值改變，從而達(dá)到浮沉子上浮與下沉的目的.

圖1 浮沉子模型

設(shè)浮沉子初始質(zhì)量為m0，重力為G，浮沉子內(nèi)初始空氣體積為V0氣，浮沉子體積為V物，水的密度為ρ，浮沉子下沉深度為Δh，浮沉子內(nèi)空氣初始?jí)簭?qiáng)為p1.

圖2 浮沉子受力

未施加外力時(shí)，浮沉子懸浮于水面此時(shí)F?。綠，但由于頂部橡皮膜使得浮沉子靜止于量筒頂部.施加外力產(chǎn)生壓強(qiáng)p外，則由帕斯卡原理，水的各處壓強(qiáng)均增加p外.未施壓前，浮沉子內(nèi)空氣壓強(qiáng)為p1，與水的壓強(qiáng)相等.施加外力后，浮沉子所受水壓增大為

此時(shí)浮沉子內(nèi)空氣壓強(qiáng)小于浮沉子所受水壓，浮沉子內(nèi)部空氣被壓縮.則由浮力定律

浮沉子（包括內(nèi)部空氣）排開(kāi)水的體積減小，浮力減小.但浮沉子質(zhì)量不變，此時(shí)浮沉子重力大于浮力，浮沉子開(kāi)始下沉.

當(dāng)浮沉子下沉深度Δh時(shí)撤去外力，由于深度增加水壓進(jìn)一步加大變?yōu)?/p>

撤去外力，水壓變?yōu)?/p>

在浮沉子下沉過(guò)程中，內(nèi)部空氣被壓縮，設(shè)在撤去外力時(shí)浮沉子內(nèi)空氣壓強(qiáng)增量Δp，則此時(shí)浮沉子內(nèi)空氣壓強(qiáng)變?yōu)?/p>

則當(dāng)Δp＞ρgΔh時(shí)，空氣壓強(qiáng)大于外部水壓，氣體膨脹，浮沉子浮力增大，當(dāng)浮力大于重力，浮沉子上浮.在下降Δh后，浮沉子重力不變，所受水壓增大，內(nèi)部空氣壓強(qiáng)增大Δp，則在此過(guò)程由理想氣體狀態(tài)方程

可以得出空氣體積的變化量

即由于浮沉子內(nèi)空氣被壓縮，體積減小了ΔV，則浮力減小量為

以上即為視浮沉子質(zhì)量不變時(shí)的分析，其結(jié)果即為浮力減小ΔF浮從而改變了重力與浮力的差值導(dǎo)致浮沉子下沉.

2.2 視浮沉子浮力不變

在視浮沉子質(zhì)量不變時(shí)，分析的對(duì)象是包括小瓶和瓶?jī)?nèi)氣體為整體，但在視浮沉子浮力不變時(shí)，分析的對(duì)象取為浮沉子小瓶所占據(jù)的圓柱體整體（包括內(nèi)部空氣以及進(jìn)入浮沉子內(nèi)的水）.

圖3 所選取分析對(duì)象

在視浮力不變的條件下，未施加外力時(shí)受力情況與之前一致.當(dāng)施加外力時(shí)，由于分析對(duì)象其體積是一定的，故在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物體浮力不變.設(shè)其體積為V1，則其所受浮力為

施加外力，浮沉子所受外水壓變大，水進(jìn)入到浮沉子中，但此時(shí)所選取的分析對(duì)象為包含浮沉子內(nèi)水的整體，故當(dāng)水進(jìn)入后，整體質(zhì)量增大，重力增大，重力大于浮力時(shí)浮沉子下沉.在下沉過(guò)程中，內(nèi)部空氣壓強(qiáng)變化以及所受外水壓變化與之前分析相一致.下沉到一定深度時(shí)，撤去外力，此時(shí)空氣壓強(qiáng)與外水壓差同之前分析相同，但此時(shí)所選分析對(duì)象體積不變，故浮力仍不變.由于水被壓出浮沉子，使得浮沉子損失了這一部分水的質(zhì)量，導(dǎo)致重力減小，重力小于浮力時(shí)浮沉子上浮.在下沉過(guò)程中浮沉子內(nèi)部氣體壓強(qiáng)同之前一致

則同樣用理想氣體狀態(tài)方程可以得出氣體體積變化量仍為

此時(shí)浮沉子內(nèi)空氣體積減小了ΔV，則同時(shí)會(huì)有ΔV體積的水進(jìn)入到浮沉子，使浮沉子重力增大，其重力增量即為流入水的重力

當(dāng)視浮沉子浮力不變時(shí)，其結(jié)果為浮沉子的重力會(huì)改變?chǔ)，從而改變了重力與浮力的差值.

3 兩種分析方法的一致性

可以看出兩種方法在未施加外力時(shí)浮沉子的狀態(tài)都是一致的.在施加外力后，浮沉子開(kāi)始下降，在下沉過(guò)程中浮沉子內(nèi)空氣壓強(qiáng)的增量在兩種方法中也是一致的，壓強(qiáng)均為

則在同外力，同下沉深度下2種方法的Δp也一致.故在2種方法下浮沉子在起始與下沉過(guò)程中內(nèi)部空氣的狀態(tài)都是一致的，從而浮沉子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也是一致的.

撤去外力后，2種方法下浮沉子受力改變分別為浮力減小ΔF浮和重力增大ΔG，由式（9）和式（13）可得，兩者的變化量相同均為

綜上，2種不同的分析方法所得結(jié)果在浮沉子運(yùn)動(dòng)的各個(gè)階段都是相同的，只不過(guò)一個(gè)是視物體浮力不變，重力增大；另一個(gè)是重力不變，浮力減小.而兩者變化力的變化量都是相同的，最終使得在撤去外力后浮沉子的重力與浮力的差值均一致，即2種不同分析方法所得結(jié)果都是一致的.

4 浮沉子的不可逆現(xiàn)象

浮沉子不可逆的現(xiàn)象即是在撤去外力后浮沉子依舊保持下沉而無(wú)法上浮的現(xiàn)象.

根據(jù)之前的分析，當(dāng)浮沉子下沉到一定深度撤去外力時(shí)，浮沉子內(nèi)空氣壓強(qiáng)變?yōu)?/p>

浮沉子所受外水壓變?yōu)?/p>

浮沉子下沉一定深度Δh后，撤去外力，浮沉子上浮原因在于此時(shí)浮沉子內(nèi)部空氣壓強(qiáng)大于浮沉子所受水的壓強(qiáng)，則若外部水壓大于浮沉子內(nèi)部氣壓，則浮沉子內(nèi)空氣不會(huì)膨脹，從而使得浮沉子保持下沉的狀態(tài).即浮沉子不可逆需滿(mǎn)足

即

考慮臨界情況，即當(dāng)上式等號(hào)成立時(shí).

根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程可以得出當(dāng)上式等號(hào)成立時(shí)，浮沉子內(nèi)空氣體積改變量為

將該式寫(xiě)為

可見(jiàn)浮沉子內(nèi)空氣最終撤去外力后體積變化與浮沉子下沉深度有關(guān)，隨Δh增大，空氣被壓縮越多，最終達(dá)到臨界值，浮沉子內(nèi)空氣無(wú)法膨脹.

但浮沉子不可逆的條件除了下沉一定深度后浮沉子無(wú)法通過(guò)空氣膨脹改變重力與浮力的差值外，還有一點(diǎn)就是在空氣無(wú)法膨脹的深度時(shí)浮沉子的浮力小于重力.只有這2個(gè)條件同時(shí)滿(mǎn)足浮沉子才會(huì)出現(xiàn)不可逆的現(xiàn)象.再考慮臨界，即當(dāng)浮沉子下沉深度到達(dá)空氣無(wú)法膨脹的深度時(shí)，此時(shí)浮沉子的浮力剛好等于重力.（此處我們視浮沉子重力不變）

將此時(shí)的ΔV代入得出浮沉子下沉深度為

則當(dāng)撤去外力時(shí)浮沉子下沉深度大于Δh臨界時(shí)，浮沉子內(nèi)部空氣無(wú)法再次膨脹，且此時(shí)浮沉子重力大于浮力，浮沉子保持下沉，即出現(xiàn)了浮沉子撤去外力也無(wú)法上浮的不可逆現(xiàn)象.

可以看出浮沉子不可逆臨界深度與以下因素有關(guān)：浮沉子初始質(zhì)量m0，浮沉子初始空氣體積V0氣，浮沉子小瓶體積V物.由式（23）可得出，m0越大則Δh臨界越小，m0越大則浮沉子重力越大，能實(shí)現(xiàn)重力大于浮力的深度也就越淺；當(dāng)V物增大時(shí)Δh臨界也隨之增大，V物越大則浮沉子體積越大，在水中的浮力也就越大，達(dá)到不可逆狀態(tài)所需的臨界深度也就越深.

綜上，浮沉子出現(xiàn)不可逆現(xiàn)象的原因?yàn)槠湎鲁恋揭欢ㄉ疃群?，外部水壓?dǎo)致內(nèi)部空氣無(wú)法膨脹，并且此時(shí)由于空氣被壓縮，浮沉子重力大于浮力，從而使浮沉子保持下沉的狀態(tài).浮沉子出現(xiàn)不可逆的臨界深度與浮沉子初始質(zhì)量、初始空氣體積、浮沉子小瓶體積等因素有關(guān).

5 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

依據(jù)式（23），浮沉子下沉出現(xiàn)不可逆現(xiàn)象的臨界深度與浮沉子內(nèi)初始空氣體積、浮沉子（不含空氣）質(zhì)量與體積、等因素有關(guān).據(jù)此對(duì)于不同影響因素進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究.實(shí)驗(yàn)所用浮沉子為圓柱形小瓶，外容器選用容積為1000mL的量筒，頂部有橡皮膜密封.

5.1 不同初始空氣體積下沉所需壓力大小

將浮沉子內(nèi)水位高度從2.6cm增加至3.6cm（以0.2cm為梯度），分別測(cè)量不同空氣體積下浮沉子下沉所需最小壓力（壓力變化梯度為100g）.（圖4）浮沉子內(nèi)初始空氣體積越大，浮沉子下沉所需壓力越大.（以施加重物的形式來(lái)達(dá)到控制外力的目的）

圖4 不同初始空氣體積所需最小壓力

5.2 不同空氣體積下不可逆臨界下沉深度

隨著浮沉子內(nèi)水位由2.6cm增至3.6cm，浮沉子下沉所需臨界深度由11.3cm減小至7.6cm.（圖5）即浮沉子內(nèi)空氣體積越大，所需下沉臨界深度越深.

圖5 不同初始空氣體積下臨界深度

5.3 浮沉子不同質(zhì)量對(duì)下沉臨界深度影響

隨著浮沉子質(zhì)量由8.00g增至10.10g（以0.3g為梯度），浮沉子下沉臨界深度由8.7cm降至5.2cm.（圖6）即浮沉子質(zhì)量越大，浮沉子下沉臨界深度越小.（通過(guò)對(duì)同一浮沉子纏繞細(xì)銅絲改變質(zhì)量）

圖6 不同初始質(zhì)量下臨界深度

5.4 不同浮沉子體積對(duì)臨界深度的影響

浮沉子體積分別為10.49cm3、9.72cm3、8.83cm3、6.81cm3，相同空氣體積下測(cè)得臨界深度分別為7.8cm、7.4cm、6.9cm、6.7cm.（圖7）即浮沉子體積（不含空氣）越大，下沉臨界深度越深.（纏繞細(xì)銅絲達(dá)到質(zhì)量保持相同的目的.）

圖7 不同浮沉子體積下臨界深度

5.5 不同壓力下浮沉子下沉速度情況

對(duì)浮沉子施加的外力從2.5kg增加至3.2kg，浮沉子平均速度從5.5cm/s增加至8.7cm/s.（圖8）施加外力越大，浮沉子下沉平均速度越大.

圖8 外力大小對(duì)下沉速率的影響

實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比式（23）我們可以看出各參量對(duì)于浮沉子臨界深度的影響情況理論與實(shí)驗(yàn)相一致，如圖9－12.

圖9 不同初始空氣體積結(jié)果對(duì)比圖

圖10 不同浮沉子質(zhì)量結(jié)果對(duì)比圖

圖11 不同浮沉子體積結(jié)果對(duì)比圖

圖12 修正結(jié)果（以浮沉子質(zhì)量為例）

圖中顯示理論值與實(shí)驗(yàn)值其結(jié)果趨勢(shì)一致，但在誤差范圍外仍有一定誤差.且實(shí)驗(yàn)值都較理論值高，探究其原因?yàn)樵诶碚摲治鰰r(shí)忽略了浮沉子因慣性而產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)（撤去外力后因慣性會(huì)繼續(xù)向下移動(dòng)微小位移），考慮到此因素，將（23）式加入修正因子：

取k＝1.045此時(shí)理論與實(shí)驗(yàn)值附合較好.

6 結(jié)論

根據(jù)理論分析及實(shí)驗(yàn)探究，對(duì)于浮沉子運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以得出以下結(jié)論：（1）浮沉子下沉與上浮是通過(guò)改變自身重力與浮力差值來(lái)實(shí)現(xiàn)的，在浮沉子受外力作用并到達(dá)一定深度時(shí)，產(chǎn)生的壓強(qiáng)差使其重力大于浮力，撤去外力后浮沉子不會(huì)上浮，從而造成了浮沉子不可逆轉(zhuǎn)的現(xiàn)象.（2）其他條件不變，浮沉子內(nèi)空氣體積越大下沉所需外力越大.（3）其他條件不變，浮沉子內(nèi)空氣體積越大不可逆現(xiàn)象所需臨界深度越深.（4）其他條件不變，浮沉子質(zhì)量越大，浮沉子不可逆現(xiàn)象所需臨界深度越小.（5）其他條件不變，浮沉子初始體積越大，浮沉子不可逆所需臨界深度越大.

浮沉子模型在浮力的教學(xué)以及模擬情況中都有較好的應(yīng)該用，此外它也可以視作潛水艇的簡(jiǎn)化模型.本實(shí)驗(yàn)通過(guò)理論分析浮沉子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將目前兩種主要分析方法指出了其一致性，解釋了浮沉子不可逆現(xiàn)象的出現(xiàn)原因及所需條件，實(shí)驗(yàn)探究了浮沉子質(zhì)量、體積、初始空氣體積等因素對(duì)浮沉子不可逆現(xiàn)象的影響.為對(duì)于浮力、潛水艇原理的物理教學(xué)、科普推廣的工作提供了理論基礎(chǔ)及實(shí)驗(yàn)依據(jù).