穩(wěn)健協(xié)方差矩陣重構(gòu)波束形成算法

陸家威，童 暉，許偉杰

(1. 中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所東海研究站，上海 201815；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

0 引 言

自適應(yīng)波束形成的方法具有良好的穩(wěn)健性，廣泛地應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、探測(cè)、通信等領(lǐng)域。當(dāng)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣以及信號(hào)導(dǎo)向向量精確已知時(shí)，最小方差無(wú)失真(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)波束形成具有理論最優(yōu)性能。當(dāng)協(xié)方差矩陣中包含目標(biāo)信號(hào)或信號(hào)導(dǎo)向向量存在誤差時(shí)，MVDR波束形成的性能將嚴(yán)重受限。文獻(xiàn)[1]通過(guò)引入不確定集的方法，給定真實(shí)導(dǎo)向向量與假設(shè)導(dǎo)向向量之間的誤差向量的上限。利用目標(biāo)函數(shù)的旋轉(zhuǎn)不變性以及三角不等式的性質(zhì)，可將文獻(xiàn)[1]中的不確定集約束方法等價(jià)轉(zhuǎn)換為凸問(wèn)題，通過(guò)推導(dǎo)可知不確定集方法屬于對(duì)角加載類(lèi)方法。

然而實(shí)際上，不確定集的約束范圍往往過(guò)于保守，即存在冗余度，通過(guò)假設(shè)誤差向量服從于給定概率密度函數(shù)[2]，可將不確定集約束與概率問(wèn)題相結(jié)合。但上述基于不確定集約束的導(dǎo)向向量誤差的改進(jìn)方法均需要預(yù)先設(shè)定參數(shù)，同時(shí)算法的性能取決于參數(shù)的設(shè)定。針對(duì)該問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]中通過(guò)推導(dǎo)給出了不確定集參數(shù)的合理設(shè)置范圍。文獻(xiàn)[4]中利用目標(biāo)信號(hào)子空間與誤差信號(hào)子空間的正交性對(duì)誤差向量進(jìn)行估計(jì)，并通過(guò)shrinkage方法[5]對(duì)接收信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)，該方法無(wú)需進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定。

文獻(xiàn)[6]通過(guò) Capon譜估計(jì)的方法重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，該方法需要對(duì)目標(biāo)信號(hào)的來(lái)波方向進(jìn)行假設(shè)，并通過(guò)低分辨率的方法大致確定干擾信號(hào)的來(lái)波角度范圍。結(jié)合Capon譜重構(gòu)方法積分區(qū)間的稀疏性，文獻(xiàn)[7]通過(guò)使用環(huán)積分的方法替代Capon譜重構(gòu)方法中的離散求和，但該算法的計(jì)算量相對(duì)較大。利用導(dǎo)向向量之間的采樣特性，文獻(xiàn)[8]結(jié)合協(xié)方差矩陣衰減(Covariance Matrix Taper,CMT)方法對(duì)干擾信源協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)，但該方法在陣元數(shù)較少的情況下性能受限。文獻(xiàn)[9]通過(guò)利用接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征向量與目標(biāo)信號(hào)導(dǎo)向向量之間的相關(guān)性，對(duì)信源導(dǎo)向向量進(jìn)行估計(jì)。

本文首先通過(guò)Capon譜重構(gòu)的方法得出重構(gòu)信源協(xié)方差矩陣，然后通過(guò)對(duì)重構(gòu)信源協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，得出信源導(dǎo)向向量的估計(jì)，根據(jù)所得信源導(dǎo)向向量，估算出干擾信號(hào)的功率。噪聲功率通過(guò)對(duì)除目標(biāo)信號(hào)以及干擾信源以外的觀測(cè)區(qū)間進(jìn)行Capon譜估計(jì)獲得，從而得到干擾加噪聲的重構(gòu)協(xié)方差矩陣。最后，結(jié)合Capon譜重構(gòu)中估計(jì)所得目標(biāo)信號(hào)導(dǎo)向向量，可得最優(yōu)加權(quán)向量。仿真結(jié)果顯示，與其他方法相比較，本文所提算法在來(lái)波角度存在誤差，陣元位置存在誤差以及陣元幅度相位存在誤差的情況下，均展現(xiàn)出良好的穩(wěn)健性和收斂性。

1 信號(hào)模型

2 基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法

2.1 信源導(dǎo)向向量重構(gòu)

為Ci的特征值。，特征值按降序方式排列，vi為與λi對(duì)應(yīng)的特征向量。由子空間性質(zhì)可知，最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量包含信源i的主要信息，因此取信源i最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為導(dǎo)向向量的估計(jì)：

2.2 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)

3 數(shù)值仿真與結(jié)果分析

本節(jié)將第2節(jié)所提算法與其他算法做比較，驗(yàn)證算法的性能。假設(shè)陣列為由 10個(gè)半波長(zhǎng)間距的各向同性陣元組成的直線陣。目標(biāo)信號(hào)的來(lái)波方向θs為2°，干擾信號(hào)的來(lái)波方向分別為θ1= 3 0°，假設(shè)干擾信號(hào)的干噪比(Interference to Noise Ratio, INR)為30 dB。目標(biāo)信號(hào)的來(lái)波角度范圍為[θs- 5°,θs+5°]，兩個(gè)干擾信號(hào)的來(lái)波角度范圍分別為[θ1-5°,θ1+5°]和[θ2-5°,θ2+5°]，對(duì)應(yīng)的離散Capon譜求和中，采樣間隔為1°。

基于不確定集約束的最差性能最優(yōu)(Worst Case Probability Optimize, WCPO)波束形成[1]，概率約束(Probability constrained, PROC)波束形成[2]，基于shrinkage方法重構(gòu)協(xié)方差矩陣并通過(guò)約束優(yōu)化方法求解誤差向量(Shrinkage Reconstructed Quadratic Constrained, SRQC)波束形成方法[4]，經(jīng)典Capon譜重構(gòu)波束形成方法(Capon Reconstructed, CR)[6]以及基于最大相似系數(shù)重構(gòu)導(dǎo)向向量(Correlation Coefficient Matrix Reconstructed, CCMR)波束形成方法[9]將用作與本文所提算法進(jìn)行比較。在WCPO波束形成中，ε= 0 .3M；在概率約束波束形成(PROC)中，概率p= 0 .95。相似系數(shù)重構(gòu)(CCMR)中，離散求和的角度范圍為Θ1′ =[ - 9 0°,θs-5°]， Θ2′=[θs+ 5°,9 0°]。下列不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比變化仿真實(shí)驗(yàn)中，接收數(shù)據(jù)的快拍數(shù)固定為60；不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化仿真實(shí)驗(yàn)中，輸入信噪比固定為 20 dB。下列三組仿真中的曲線分別代表不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線；不同波束形成算法的輸出信干噪比隨數(shù)據(jù)快拍變化曲線以及不同波束形成算法的算法性能與理論最優(yōu)值之間的差值隨輸入信噪比變化曲線。所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果均由200次蒙特卡洛仿真結(jié)果取平均所得。

3.1 角度誤差條件下算法性能分析

假設(shè)目標(biāo)信號(hào)和干擾信號(hào)的來(lái)波方向誤差服從[- 4°,4°]均勻分布，即滿(mǎn)足

圖1表示不同波束形成算法的輸信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線，其中快拍數(shù)K=60。

圖1 存在波入射角誤差時(shí)不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比變化曲線Fig.1 Variations of output SINR with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in the angle of incidence

基于Capon譜重構(gòu)的方法CR[6]，CCMR[9]以及所提算法性能均優(yōu)于SRQC[4]，WCPO[1]以及PROC[2]波束形成方法。基于Capon譜重構(gòu)的方法在低輸入信噪比以及高輸入信噪比的情況下，其算法性能均與理論最優(yōu)值接近，圖2給出了接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)對(duì)輸出信干噪比的影響，在來(lái)波角度存在誤差的情況下，且數(shù)據(jù)快拍較少時(shí)，所提算法仍能快速收斂。

圖2 存在波入射角誤差時(shí)不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化曲線Fig.2 Variations of output SINR with snapshots for different beamforming algorithms when there is an error in the angle of incidence

圖3則補(bǔ)充說(shuō)明了不同算法性能上的差異。本文所提算法對(duì)CR[6]和CCMR[9]波束形成方法中離散求和區(qū)間進(jìn)行了改進(jìn)?；诟餍旁吹牟ㄟ_(dá)方向的角度信息，將Capon譜估計(jì)的區(qū)間冗余度降低，減少空間噪聲對(duì)信源協(xié)方差矩陣估計(jì)的影響。得益于對(duì)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣以及目標(biāo)信號(hào)導(dǎo)向向量的準(zhǔn)確估計(jì)，所提算法展現(xiàn)出良好的性能。圖1中，proposed表示本文所提算法，optimal表示理論最優(yōu)值，下同。

圖3 存在波入射角誤差時(shí)不同波束形成算法的輸出信干噪比與最優(yōu)值的差值隨輸入信噪比變化曲線Fig.3 Variations of the deviation of output SINR from the optimal value with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in the angle of incidence

3.2 陣元位置誤差下算法性能分析

假設(shè)陣元位置誤差服從[-0.05λ,0.05λ]的均勻分布，其中λ為波長(zhǎng)。圖4表示不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線，其中快拍數(shù) K=60?；?Capon譜估計(jì)的波束形成方法CR[6]，CCMR[9]以及所提算法輸出信干噪比幾乎一致，與圖1對(duì)應(yīng)的角度誤差情況相較，算法性能波動(dòng)增大。

圖4 存在陣元位置誤差時(shí)不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比變化曲線Fig.4 Variations of output SINR with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in array positions

圖5為不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數(shù)的變化曲線，其中輸入信噪比SNR為20 dB。結(jié)果表明，對(duì)基于Capon譜重構(gòu)的波束形成方法而言，快拍數(shù)并不會(huì)對(duì)其算法性能造成嚴(yán)重的影響。

圖5 存在陣元位置誤差誤差時(shí)不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化曲線Fig.5 Variations of output SINR with snapshots for different beamforming algorithms when there is an error in array positions

圖6為不同波束形成算法的輸出信干噪比與理論最優(yōu)值之間的差值曲線。與CR[6]波束形成方法相比較，所提算法利用Capon譜的空間分布，降低了離散求和的區(qū)間冗余度。此外，基于信號(hào)子空間的特性，對(duì)目標(biāo)信號(hào)導(dǎo)向向量進(jìn)行估計(jì)，避免了CR[6]中約束優(yōu)化方程的求解過(guò)程，降低了運(yùn)算復(fù)雜度。

圖6 存在陣元位置誤差誤差時(shí)不同波束形成算法的輸出信干噪比與最優(yōu)值的差值隨輸入信噪比變化曲線Fig.6 Variations of the deviation of output SINR from the optimal value with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in array positions

3.3 幅相誤差下算法性能分析

考慮基陣陣元之間存在幅相誤差。假設(shè)陣元幅度誤差以及相位誤差分別服從正態(tài)分布N( 1 , 0.05)和 N ( 1 , 0.25π)。

圖7為不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線，其中快拍數(shù) K=60。在此仿真設(shè)置下，所提算法無(wú)論是高輸入信噪比或是低輸入信噪比，均表現(xiàn)出良好性能。圖8為不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化曲線，其中輸入信噪比SNR為20 dB。圖9為陣元之間存在幅相誤差時(shí)不同波束形成算法的輸出信干噪比與最優(yōu)值的差值隨輸入信噪比變化曲線。從圖9可以看出，當(dāng)SNR小 于0 dB時(shí)，WCPO[1]和PROC[2]波束形成算法優(yōu)于基Capon譜重構(gòu)的波束形成方法?；诓ㄟ_(dá)方向的先驗(yàn)信息，所提算法能夠起到將目標(biāo)信號(hào)分離的作用。

圖7 陣元之間存在幅相誤差時(shí)不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比變化曲線Fig.7 Variations of output SINR with input SNR for different beamforming algorithms when there are errors between amplitudes and phases of array elements

圖8 陣元之間存在幅相誤差時(shí)不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化曲線Fig.8 Variations of output SINR with snapshots for different beamforming algorithms when there are errors between amplitudes and phases of array elements

圖9 陣元之間存在幅相誤差時(shí)不同波束形成算法的輸出信干噪比與最優(yōu)值的差值隨輸入信噪比變化曲線Fig.9 Variations of the deviation of output SINR from the optimal value with input SNR for different beamforming algorithms when there are errors between amplitudes and phases of array elements

綜上，在本文設(shè)置的各種誤差情況下，Capon譜重構(gòu)類(lèi)算法的性能及其收斂性均優(yōu)于基于不確定集約束的算法(WCPO[1]與 PROC[2])，以及基于Shrinkage方法重構(gòu)協(xié)方差矩陣的波束形成方法。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法。該算法首先利用Capon譜重構(gòu)的方法估計(jì)出信源的導(dǎo)向向量，通過(guò)所得導(dǎo)向向量計(jì)算出信源的功率，噪聲功率由目標(biāo)信號(hào)以及干擾信源以外的觀測(cè)區(qū)間通過(guò)Capon譜估計(jì)計(jì)算得到，從而得出重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，進(jìn)而得到最優(yōu)加權(quán)向量。仿真結(jié)果表明，在信源來(lái)波角度，陣元位置存在誤差以及陣元存在幅相誤差時(shí)，所提算法的性能均與理論最優(yōu)值接近。從輸出信干噪比隨數(shù)據(jù)快拍的變化曲線中可以看出，算法在快拍數(shù)較低時(shí)便能快速收斂，證明了算法具備良好的收斂性。