激光追蹤系統(tǒng)機械結構拓撲優(yōu)化輕量化方法

陳洪芳， 韓夢蕊， 孫若水， 石照耀

(北京工業(yè)大學 北京市精密測控技術與儀器工程技術研究中心， 北京 100124)

隨著裝備制造業(yè)的發(fā)展，在大型工件檢測、工件對齊、機床校準等領域，對測量精度的要求越來越高，激光跟蹤測量技術作為公認最具有潛力的可進行大范圍、高精度動態(tài)現(xiàn)場實時測量技術，近年來受到廣泛關注[1]。激光追蹤儀由于其基準球的創(chuàng)新設計，使激光跟蹤技術的空間距離的測量精度得到了大幅提高，解決了坐標測量機標定效率和精度提高難度大的問題。激光追蹤測量系統(tǒng)采用類杠桿結構實現(xiàn)俯仰運動[2]，利用配重塊實現(xiàn)俯仰平臺的平衡。在有限的激光追蹤測量系統(tǒng)機械整體結構內，激光追蹤測量系統(tǒng)俯仰平臺配重塊存在體積與質量的矛盾，極大影響了部分零件的使用壽命、測量系統(tǒng)精度及系統(tǒng)安全性能等。采用拓撲優(yōu)化的方法進行機械結構的輕量化，克服了傳統(tǒng)設計中對人的主觀依賴性[3]，特別是在工業(yè)部件輕量化中應用廣泛。拓撲描述方法較為常用的是均勻化方法和密度法材料插值模型[4-5]。其中密度法材料插值模型在工程領域應用最為廣泛。對于密度插值方法，不同插值模式會導致不同的計算模型，如SIMP材料插值模型、RAMP材料插值模型及Voigt上邊界材料插值模型及等在工程中較為常用的為SIMP材料插值模型[6-8]。國內外學者對材料插值理論和拓撲結構優(yōu)化方法及其應用進行了深入研究。如Nguyen等[9]提出將拓撲優(yōu)化作為增材制造(3D打印)設計方法在保證產品的機械性能前提下，幫助設計者用最少的材料創(chuàng)造出最優(yōu)的產品結構；李所軍等[10]基于變密度法分別對搖臂和擺桿進行了多工況結構拓撲優(yōu)化設計；張聰?shù)萚11]設計了7 個三體船結構強度校核工況并應用變密度拓撲優(yōu)化方法分別計算了不同結構在不同工況下的應力分布，實現(xiàn)了部分結構的輕量化設計；Liang等[12]對變速箱在多工況下的拓撲優(yōu)化進行了研究；Otomo等[13]提出了一種基于歸一化高斯函數(shù)方法的新型兩步拓撲優(yōu)化方法，可有效地改善爪極式交流發(fā)電機的性能；Chen等[14]介紹了一種在拓撲優(yōu)化敏感性過程中使用工程約束的啟發(fā)式方法，使拓撲優(yōu)化結果可以滿足結構設計的要求；Cai等[15]提出了一種考慮載荷不確定性的魯棒連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化問題的求解方法，采用的比例拓撲優(yōu)化方法避免了計算目標靈敏度，并證明了所提方法的有效性。目前關于拓撲優(yōu)化在機械機構輕量化設計的相關理論及應用較為完善[16]。但在激光追蹤測量系統(tǒng)中應用相對較少。

本文基于三維拓撲優(yōu)化算法[17]，使用變密度法的SIMP材料插值模型[18]，對激光追蹤測量系統(tǒng)俯仰平臺進行拓撲優(yōu)化，根據優(yōu)化結果在Inventor中進行模型重構，對重構模型進行應力分析，并計算配重進行驗證。在不改變原有機械結構條件下，實現(xiàn)激光追蹤測量系統(tǒng)的機械結構輕量化。

1 激光追蹤測量系統(tǒng)機械結構的輕量化

1.1 激光追蹤測量原理

將貓眼放置于被測目標上，當貓眼處于靜止狀態(tài)時，激光束入射到位置敏感探測器(position sensitive detector，PSD)的中心，PSD輸出電壓信號為零，電機無控制信號輸入；在追蹤測量過程中，貓眼運動，被貓眼反射回的激光束偏離PSD的中心，PSD輸出偏移量信號反饋至電機，電機通過機械系統(tǒng)控制光學系統(tǒng)跟蹤貓眼運動，保證光學系統(tǒng)發(fā)出的光始終入射到貓眼的中心，實現(xiàn)系統(tǒng)的跟蹤測量[19]。激光追蹤測量系統(tǒng)工作原理示意圖如圖1所示。

圖1 激光追蹤測量系統(tǒng)工作原理示意Fig.1 Light path diagram of Laser tracking measurement system

1.2 激光追蹤測量系統(tǒng)機械結構

激光追蹤測量系統(tǒng)整體結構[20]主要由4個部分組成：激光頭部分，由光學元件及干涉光路等組成；俯仰平臺，由激光頭、防塵蓋、連接板、俯仰架及配重組成；旋轉平臺，主要由俯仰電機及俯仰平臺支撐架等組成；底座，主要由標準球、支撐座及旋轉電機等組成，如圖2所示。其中標準球球心位于兩電機軸線交點處。

圖2 激光追蹤測量系統(tǒng)機械結構Fig.2 Mechanical structure of laser tracking measurement system

1.3 機械結構輕量化的拓撲優(yōu)化理論

對于靜力學，常用優(yōu)化模型主要有：在體積或質量約束下求最小柔度(最大剛度)[21]；或在剛度約束下求最小體積或質量[22]。本文采用約束體積，目標函數(shù)為最小柔度進行模型建立。

首先，將離散模型轉化為連續(xù)體進行拓撲優(yōu)化，建立目標函數(shù)，設置約束條件等，目標是讓柔度最小化，表達為：

(1)

式中：U為整體位移；F為力矢量；K為整體stiffness矩陣(單元剛度矩陣，表示單元體的受力與變形關系)；e為元素；xe為元素密度；ue為單元位移矢量；k0為單元楊氏模量的單元stiffness矩陣；ke為stiffness矩陣；x為設計變量矢量；xmin為最小相對密度矢量；N為用于離散設計域的元素數(shù)；p為懲罰冪(通常p=3)；V(x)為材料體積；V0為設計域體積；f為規(guī)定的體積分數(shù)。

對連續(xù)體問題，可使用最優(yōu)化準則(OC)法進行求解。OC優(yōu)化方案可表達為[18]：

(2)

式中：m是正的移動極限；η(=1/2)是數(shù)值阻尼系數(shù)；Be可從最優(yōu)性條件中得到。

根據OC優(yōu)化準則可以計算出目標函數(shù)c的靈敏度。公式表達為：

(3)

式中：λ為拉格朗日乘子；Be為相對靈敏度。拉格朗日乘子可采用雙分段算法求得，要使用過濾器對靈敏度進行優(yōu)化迭代。

2 激光追蹤測量系統(tǒng)機械結構的三維拓撲優(yōu)化方法

表格的設基于激光追蹤測量系統(tǒng)整體機械機構，若俯仰平臺與激光頭連接后的重心不在標準球中心，會導致俯仰電機和旋轉電機軸向受力不平衡、系統(tǒng)精度下降等問題，需要在俯仰架后端增加配重。配重由于質量與體積之間的矛盾，因此要對俯仰平臺前半段機械結構進行減重優(yōu)化。如圖3所示為激光追蹤測量系統(tǒng)俯仰平臺機械結構圖，在俯仰平臺中除配重外，質量最大的零件為連接板及俯仰架，本文將針對連接板及俯仰進行輕量化研究。

圖3 激光追蹤測量系統(tǒng)俯仰平臺機械結構圖Fig.3 Mechanical structure diagram of the pitch platform of the laser tracking measurement system

利用三維拓撲優(yōu)化算法對連接板和俯仰架的機械結構進行優(yōu)化，根據優(yōu)化結果及實際情況進行俯仰平臺的模型重構，并對重構模型進行力學分析，根據重構模型仿真出質量進行配重的重新計算，激光追蹤測量系統(tǒng)機械結構的三維拓撲優(yōu)化方法流程如圖4 所示。

圖4 激光追蹤測量系統(tǒng)機械結構優(yōu)化流程圖Fig.4 Flow chart of mechanical structure optimization of laser tracking measurement system

首先提取俯仰平臺中的俯仰架與連接板的相關模型參數(shù)。并指定俯仰平臺連接板、俯仰架前半部分作為優(yōu)化域。根據參數(shù)及模型受力情況，調整三維拓撲優(yōu)化代碼，對模型進行優(yōu)化。為了實現(xiàn)三維板狀結構的優(yōu)化，將俯仰架拆分成前板、安裝電機側側板及未安裝電機側側板三部分進行優(yōu)化。按照優(yōu)化結果進行模型重構，并對重構模型進行應力分析。若重構模型符合安全設計標準，則繼續(xù)進行配重計算；不符合安全設計準，則重新進行模型重構。最后分析配重計算結果，若滿足設計要求，則優(yōu)化結束；若不滿足設計要求，則重新選取優(yōu)化域進行優(yōu)化。

3 激光追蹤測量系統(tǒng)俯仰平臺機械結構拓撲優(yōu)化分析

3.1 激光追蹤測量系統(tǒng)俯仰平臺受力情況

俯仰架及連接板受力分析如圖5～8所示。

在整個俯仰平臺平衡中，俯仰架側板起到杠桿的作用，即以中間部分固定端為界限。選定俯仰架兩側板的優(yōu)化域為前半段；俯仰架前板和連接板的優(yōu)化域為整體。圖5為俯仰架前板受力圖，俯仰架前板所受載荷來自于連接板及激光頭，其固定約束為與兩側板連接的位置。

圖5 俯仰架前板受力圖Fig.5 Force diagram of front plate of pitch frame

圖6 俯仰架安裝電機側側板受力圖Fig.6 Force diagram of side plate with motor of pitch frame

注：Fw為原配重對俯仰架施加的重力，F(xiàn)L為原激光頭及連接板對俯仰架板加的重力圖7 俯仰架不安裝電機側側板受力圖Fig.7 Force diagram of side plate without motor of pitch frame

圖8 連接板受力圖Fig.8 Force diagram of connecting plate

3.2 激光追蹤測量系統(tǒng)俯仰平臺三維拓撲優(yōu)化方法

由Inventor仿真獲得俯仰平臺的優(yōu)化參數(shù)。根據上述參數(shù)進行初始化，對俯仰架及連接板設定的優(yōu)化域進行優(yōu)化。

根據文獻[17]代碼中所提及的優(yōu)化模型，即設置材料相對密度x作為設計變量，在規(guī)定的約束和荷載條件下，優(yōu)化模型結構使變形最小。建立目標為：

(4)

建立模型后，進行有限元分析，計算目標函數(shù)靈敏度，用OC優(yōu)化準則進行設計變量更新，設置迭代次數(shù)200次。

設置體積分數(shù)0.3，懲罰功率3，濾波器尺寸1.5。優(yōu)化結果如圖9～11所示，優(yōu)化結果邊界清晰，參數(shù)設置合理。

圖9 俯仰架安裝電機側側板優(yōu)化圖Fig.9 Topology optimization result of side plate with motor of pitch frame

圖9、10分別為俯仰架安裝電機側側板及不安裝電機側側板優(yōu)化圖，優(yōu)化域中心區(qū)域可去除的材料相對較多，并采用交叉支撐以減少材料的使用，得到空間最合理的布局。

圖10 俯仰架不安裝電機側側板優(yōu)化圖Fig.10 Topology optimization result of side plate without motor of pitch frame

圖11為連接板優(yōu)化圖，由于其所受載荷均在優(yōu)化域底部，因此上半部分材料去除較多，但結合實際情況重構建模時要對優(yōu)化結果進行適當修改，增加上半部分的支撐結構。其中因其固定形式與其他零件略有不同。圖中矩形部分為夾緊塊所產生的固定約束，非可減重部分。

圖11 連接板優(yōu)化圖Fig.11 Topology optimization result of connecting plate

3.3 激光追蹤測量系統(tǒng)俯仰平臺重構模型及應力分析

根據拓撲優(yōu)化結果及實際情況對模型進行重構建模，其中對俯仰架采用圓形減重孔減重方案，如圖12所示；連接板重構模型如圖13所示。減重后，將重構模型導入Inventor進行應力分析。俯仰架所受載荷為53 N，得到安全系數(shù)云圖如圖14所示，可知重構模型的安全系數(shù)均大于15，即輕量化后的機械結構可以安全承受所加載荷，滿足設計要求。

周一，美國市場開市，中國還是假期，看到了雷曼破產，中投風控部工作人員，挨個打電話給自己的分布在全球的投資經理，尤其是幫助中投管理貨幣市場基金的經理，詢問在他們的投資組合里，是否有雷曼的債券？果然，Primary的基金經理回復，他們資產池中有4%的倉位在雷曼債券上。該基金全稱Reserve Primary Fund，在其持有人名單上，中投公司旗下的Stable Investment是最大持有人，持有份額折合市值約54億美元。

圖12 圓形減重孔俯仰架結構Fig.12 The structure of round weight-reducing hole pitch frame

圖13 連接板結構Fig.13 The structure of connecting plate

圖14 圓形減重孔俯仰架應力云圖Fig.14 Stress analysis diagram of round weight-reducing hole pitch frame

同理，連接板應力分析云圖如圖15所示，連接板所受載荷為22 N，其安全系數(shù)大于15，輕量化后的機械結構可以安全承受所加載荷，滿足設計要求。

圖15 連接板應力云圖Fig.15 Stress analysis diagram of connecting plate

3.4 激光追蹤測量系統(tǒng)配重計算

為了檢驗輕量化方法的實際應用價值，計算減重后的俯仰平臺所需配重的質量，檢驗其是否小于原配重質量。

在不添加配重的情況下，由于激光跟蹤系統(tǒng)激光頭部分(俯仰模塊)的質心會與俯仰電機的旋轉軸線產生一個偏心距，增加了俯仰電機的高速伺服控制難度，使其難以將電機控制參數(shù)調整到一個合適的數(shù)值。因此在俯仰架尾端添加配重可以達到與前端激光頭平衡，通過杠桿平衡的原理，獲得所需配重質量。

如圖16所示，分別以標準球球心為原點O，水平回轉軸、垂直回轉軸為X軸和Z軸，建立O-XYZ坐標系。以XOZ平面為分割面，將整個俯仰平臺分為如上文所述的前半部及后半部。設水平回轉前半部質心點空間坐標為A(x1,y1,z1)，標準球球心為空間坐標系原點O(0，0，0)，水平回轉后半部質心點空間坐標為B(x2,y2,z2)，尾架部分質心點空間坐標為C(x3,y3,z3)，配重塊質心點空間坐標為D(x4,y4,z4)。設俯仰前半部質量為m1，尾架部分質量為m2，配重塊質量為m3，水平回轉后半部質量為 (m2+m3)。

圖16 俯仰平臺質心分布Fig.16 Centroid distribution of pitch frame

以AB為杠桿，原點O為杠桿支撐點，滿足方程：

m1·|AO|=(m2+m3)·|OB|

(5)

則AO的直線方程與∣AO∣、∣OB∣的長度可以表示為：

(6)

(7)

(8)

質心點B為質心點C與質心點D的合成質心點，且質心點B位于AO直線延長線上。則合成質心點B的空間坐標方程為：

(9)

將∣AO∣長度式(7)與∣OB∣長度式(8)代入杠桿定理方程(5)后得到方程：

(10)

根據方程(10)獲得配重質量m3。

基于上述模型，對俯仰平臺實現(xiàn)平衡所需配重進行計算，對于優(yōu)化前的俯仰平臺實現(xiàn)平衡所需配重質量為7.77 kg(材料：硬質合金，密度：15.50 g/cm3)。

根據本文提出的三維拓撲方法對激光追蹤系統(tǒng)機械結構進行輕量化后，計算得到的所需配重質量為4.64 kg。相比優(yōu)化前實現(xiàn)平衡所需的配重質量減少了3.13 kg。

4 結論

1)采用三維拓撲優(yōu)化算法對激光追蹤測量系統(tǒng)俯仰平臺的連接板和俯仰架進行輕量化設計，得到滿足系統(tǒng)結構強度與系統(tǒng)安全系數(shù)要求的輕量化連接板與俯仰架模型。相較輕量化優(yōu)化前，連扳優(yōu)化后直接減重1.65 kg，減重效果達55.7%；俯仰架優(yōu)化后直接減重0.628 kg，減重效果可達27.9%。

2)在保證傳力效果和傳力路徑的基礎上，對類板狀拼接型零件進行拆解分塊分析。該方法既解決了復雜類板狀拼接型零件難以設定受力的問題，又可以保證優(yōu)化結果的準確性。

3)本文通過拓撲優(yōu)化對激光追蹤測量系統(tǒng)關鍵零件輕量化，在不改變零件原設計整體結構的情況下，實現(xiàn)在有限體積內配重質量達到設計要求的目的。

4)本文將拓撲優(yōu)化技術引入到激光追蹤測量系統(tǒng)結構設計中，降低了常規(guī)設計方法中的局限性，提高了激光追蹤測量系統(tǒng)設計效率，是對激光追蹤測量系統(tǒng)設計方法的補充和改善，具有參考意義。