阻尼板振動(dòng)復(fù)模態(tài)可控性和可觀性研究

劉江， 黎勝

(1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024； 2.大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

振動(dòng)主動(dòng)控制是振動(dòng)工程研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)之一，其工作原理是通過自動(dòng)修改結(jié)構(gòu)響應(yīng)來減小結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)的形式多種多樣，但是任何此類系統(tǒng)都包含傳感器、控制器和作動(dòng)器[1]，顯然，傳感器和作動(dòng)器的布置關(guān)系到振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)的控制效果，應(yīng)盡量避免布置在結(jié)構(gòu)振動(dòng)不可控和不可觀位置。結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)的可控性和可觀性定義為：安裝在振動(dòng)結(jié)構(gòu)上的作動(dòng)器能夠激起結(jié)構(gòu)的所有模態(tài)則此振動(dòng)結(jié)構(gòu)是可控的；安裝在振動(dòng)結(jié)構(gòu)上的傳感器能夠檢測(cè)到結(jié)構(gòu)的所有模態(tài)則此振動(dòng)結(jié)構(gòu)是可觀測(cè)的[2]。因此，結(jié)構(gòu)振動(dòng)的可控性和可觀性對(duì)振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)傳感器/作動(dòng)器的布置具有重要意義。

目前對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)控制中可控性和可觀性問題的研究有：Balas等[3]研究了無(wú)阻尼和輕阻尼柔性結(jié)構(gòu)的可控性和可觀性。Wu等[4]指出，對(duì)于柔性結(jié)構(gòu)，傳感器和作動(dòng)器的配置與可控性和可觀性有關(guān)。黎勝等[5]對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)和聲輻射可控性和可觀性指標(biāo)進(jìn)行了研究，提出了基于聲壓輸出的振動(dòng)模態(tài)可觀性指標(biāo)，并且在振動(dòng)模態(tài)可控性和可觀性基礎(chǔ)上，結(jié)合振動(dòng)模態(tài)的聲輻射效率，提出了結(jié)構(gòu)聲輻射的可控性和可觀性指標(biāo)和基于聲壓輸出的可觀性指標(biāo)。但是，上述研究都是基于實(shí)模態(tài)展開的，而且對(duì)于實(shí)模態(tài)來說，各階振動(dòng)模態(tài)節(jié)點(diǎn)位置都是該階模態(tài)不可控和不可觀位置。而實(shí)際的結(jié)構(gòu)振動(dòng)不可避免的會(huì)受到阻尼或者流體加載等因素的影響，都是以復(fù)模態(tài)的形式存在[6]。

復(fù)模態(tài)與實(shí)模態(tài)的區(qū)別主要在于：1) 復(fù)模態(tài)不存在各點(diǎn)位移均為零的瞬間；2) 各點(diǎn)位移之間的比值隨時(shí)間變化；3) 一般不具有實(shí)模態(tài)振型所具有的那種穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)或節(jié)線[7]。這就導(dǎo)致在可控性和可觀性研究時(shí)，基于實(shí)模態(tài)理論的分析就會(huì)與結(jié)構(gòu)的實(shí)際可控性和可觀性產(chǎn)生偏差，從而導(dǎo)致主動(dòng)控制系統(tǒng)的控制效果減弱。因此基于復(fù)模態(tài)的阻尼板可控性和可觀性研究具有重要的意義。目前可用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)復(fù)模態(tài)可控性和可觀性的研究有：Hamdan等[8]提出了一階阻尼振動(dòng)系統(tǒng)(控制方程)的可控性和可觀性指標(biāo)，并且證明了所提出的指標(biāo)可以直接應(yīng)用于二階阻尼振動(dòng)系統(tǒng)(阻尼系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程)。Yang[9]研究了具有阻尼、陀螺和循環(huán)力共同作用的一般機(jī)械結(jié)構(gòu)的可控性和可觀性，利用與運(yùn)動(dòng)方程相關(guān)的非正交特征向量來表示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，通過研究傳遞函數(shù)的行和列的線性無(wú)關(guān)性，得到了模態(tài)可控性和可觀性條件。

本文對(duì)文獻(xiàn)[8]提出的可控性和可觀性指標(biāo)進(jìn)行探討，論證了其用于復(fù)模態(tài)的可控性和可觀性分析的可行性?；趯?shí)模態(tài)和復(fù)模態(tài)理論，以阻尼板結(jié)構(gòu)為例對(duì)其模態(tài)可控性和可觀性指標(biāo)進(jìn)行了計(jì)算分析，研究了復(fù)模態(tài)與實(shí)模態(tài)可控性和可觀性的差別。對(duì)不同構(gòu)型阻尼板的復(fù)模態(tài)復(fù)雜度進(jìn)行計(jì)算并探討了復(fù)雜度與復(fù)模態(tài)可控性和可觀性指標(biāo)的關(guān)系，從可控性和可觀性角度闡釋了實(shí)模態(tài)和復(fù)模態(tài)的區(qū)別。

1 復(fù)模態(tài)可控性(可觀性)指標(biāo)

振動(dòng)控制理論中控制方程常表示為：

(1)

式中：A、B、C分別被稱作系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣;x為系統(tǒng)響應(yīng)向量(位移、速度等)；u為外部激勵(lì)力向量。為了方便描述，上述矩陣設(shè)置為：A2n×2n,B2n×m，Cm×2n,um×1。

基于式(1)的控制方程及其特征值問題的求解結(jié)果，對(duì)系統(tǒng)的可控性和可觀性，Kailath等[10]提出了著名的PBH檢驗(yàn)準(zhǔn)則，準(zhǔn)則有PBH特征向量檢驗(yàn)和PBH秩檢驗(yàn)2種表示方式。Hamdan等[8]將PBH檢驗(yàn)推廣到了二階振動(dòng)方程情況，并基于PBH特征向量檢驗(yàn)提出了可控性和可觀性指標(biāo)。

振動(dòng)方程與式(1)所示的控制方程是同一方程的不同形式，二階振動(dòng)方程常表示為：

(2)

1) 在j階控制力情況下，i階模態(tài)是不可控的充分必要條件是：

(3)

2) 在k階測(cè)量輸出情況下，l階模態(tài)是不可觀的充分必要條件是：

(4)

式中wl為第l個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的右特征向量；sk、tk分別為輸出矩陣S、T的第k列?；谏鲜鎏卣飨蛄繖z驗(yàn)，文獻(xiàn)[8]給出了二階振動(dòng)方程的可控性和可觀性指標(biāo)：

(5)

式中：θij為控制力位置向量b′j和左特征向量vi夾角；φkl為輸出位置向量sk+λltk和右特征向量wl夾角。可控性或可觀性越好上述指標(biāo)值越大，指標(biāo)為0的位置不可控或不可觀。

當(dāng)上述指標(biāo)用在振動(dòng)實(shí)模態(tài)的可控性和可觀性研究時(shí)，各階振動(dòng)模態(tài)的節(jié)點(diǎn)位置指標(biāo)值恒為0，也就是說在振動(dòng)實(shí)模態(tài)的可控性和可觀性研究中，節(jié)點(diǎn)位置是完全不可控和不可觀的位置。而振動(dòng)復(fù)模態(tài)相比于實(shí)模態(tài)不存在固定節(jié)點(diǎn)，由此推測(cè)復(fù)模態(tài)的可控性和可觀性與實(shí)模態(tài)可能存在明顯的區(qū)別。通過上述分析可知，式(5)的可控性和可觀性指標(biāo)是由式(2)所示的振動(dòng)方程的特征向量與輸入輸出矩陣列向量的夾角表示，而且，式(2)包含阻尼矩陣信息，即其振動(dòng)模態(tài)求解結(jié)果為復(fù)模態(tài)。所以本文認(rèn)為，式(5)所示的可控性和可觀性指標(biāo)可以用于振動(dòng)復(fù)模態(tài)可控性和可觀性分析。

2 復(fù)模態(tài)對(duì)可控性和可觀性的影響

2.1 實(shí)模態(tài)和復(fù)模態(tài)結(jié)構(gòu)模型

為了得到實(shí)模態(tài)和復(fù)模態(tài)，建立了如圖1(a)所示的均勻阻尼板和圖1(b)所示的非均勻阻尼板有限元模型：板長(zhǎng)Lx=0.455 m，板寬Ly=0.379 m，板厚h=0.003 m，板密度ρ=7 850 kg/m3，楊氏模量E=2.1×1011N/m2，泊松比υ=0.3，邊界條件是四邊簡(jiǎn)支。Rayleigh阻尼模型被廣泛用于商業(yè)有限元軟件中的阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析，且本文結(jié)果與阻尼模型無(wú)關(guān)，因此用該模型定義結(jié)構(gòu)的阻尼。

圖1 阻尼板有限元模型及輸入(輸出)位置Fig.1 FE-model of damped plates and positions of input (output)

對(duì)于非均勻阻尼板，通過在不同區(qū)域設(shè)置不同阻尼比來建立，淺色和深色區(qū)域阻尼比分別為ξ1和ξ2。阻尼矩陣D表示為質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合。在結(jié)構(gòu)不同區(qū)域設(shè)置不同的阻尼比，其阻尼矩陣可以表示為：

(6)

式中：N為阻尼區(qū)域的數(shù)量；Mi和Ki為第i個(gè)區(qū)域結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣；αi和βi為第i個(gè)區(qū)域的Rayleigh阻尼比例系數(shù)。假定第i個(gè)區(qū)域的期望阻尼比值為ξi，則比例系數(shù)可表示為：

(7)

式中ω1和ω2為結(jié)構(gòu)任意兩階固有頻率。

在上述有限元模型中，淺色區(qū)域代表純鋼板部分，ξ1=0.01，深色區(qū)域代表高阻尼部分，ξ2=0.2。模型網(wǎng)格劃分采用ANSYS?SHELL181單元，有限元網(wǎng)格為40×24，共有960個(gè)單元，1 025個(gè)節(jié)點(diǎn)[13]。利用DAMP模態(tài)求解器對(duì)均勻阻尼板R和非均勻阻尼板C2進(jìn)行模態(tài)分析，得到其前五階振動(dòng)模態(tài)，模態(tài)階數(shù)表示為a×b，a和b分別表示板長(zhǎng)和板寬方向的波數(shù)。圖2給出了R板和C2板2×2和3×1階振動(dòng)模態(tài)幅值和相位分布。

從圖中可以看出，由于阻尼的非均勻設(shè)置，結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型發(fā)生改變，尤其是相位的改變尤為突出，這也是復(fù)模態(tài)相較于實(shí)模態(tài)顯著的特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)的各個(gè)位置不再同時(shí)達(dá)到最大值、最小值或同時(shí)經(jīng)過平衡位置。

2.2 實(shí)模態(tài)與復(fù)模態(tài)可控性(可觀性)對(duì)比

選取圖1(c)中所示的12個(gè)點(diǎn)作為板上用于輸入(主動(dòng)控制的控制力)和輸出(振動(dòng)響應(yīng)測(cè)量)的位置，將實(shí)模態(tài)(R)和復(fù)模態(tài)(C2)的模態(tài)分析結(jié)果代入式(5)，分別計(jì)算其在12個(gè)點(diǎn)上前5階模態(tài)的模態(tài)可控性(可觀性)指標(biāo)。圖3給出了實(shí)模態(tài)和復(fù)模態(tài)可控性(可觀性)對(duì)比結(jié)果，實(shí)線圖標(biāo)代表實(shí)模態(tài)，虛線圖標(biāo)代表復(fù)模態(tài)。需要說明的是圖3中的可觀性指標(biāo)計(jì)算只考慮了振動(dòng)位移測(cè)量輸出，對(duì)同一位置其模態(tài)可觀性和可控性指標(biāo)是一樣的，即cosθ=cosφ。

從圖3中可以看出，對(duì)于實(shí)模態(tài)：位置1-12對(duì)1×1和3×1階模態(tài)都具有較好的可控性(可觀性)，位置2、5和9對(duì)2×1階模態(tài)是不可控(不可觀)的，位置4、5和6對(duì)1×2模態(tài)是不可控(不可觀)的，位置2、4、5、6和9對(duì)2×2階模態(tài)是不可控(不可觀)的；復(fù)模態(tài)與實(shí)模態(tài)有所不同：對(duì)于1×1，2×1，1×2階模態(tài)，復(fù)模態(tài)可控性和可觀性指標(biāo)與實(shí)模態(tài)基本相同；對(duì)于2×2，3×1階模態(tài)，復(fù)模態(tài)可控性和可觀性指標(biāo)與實(shí)模態(tài)明顯不同，且對(duì)于不同位置指標(biāo)值有的增大有的減小。

綜上所述，在相同階模態(tài)和相同輸入(輸出)位置，實(shí)模態(tài)情況下的與復(fù)模態(tài)情況下模態(tài)可控性(可觀性)不同。

3 復(fù)雜度對(duì)可控性和可觀性的影響

3.1 復(fù)模態(tài)復(fù)雜度計(jì)算

目前常用的量化模態(tài)復(fù)雜度的參數(shù)有平均相位偏差MPD，模態(tài)相關(guān)系數(shù)MCC，模態(tài)相位共線性系數(shù)MPC，模態(tài)復(fù)雜度因子MCF(MCF1、MCF2、MCF3)，模態(tài)復(fù)雜度指標(biāo)MSC[14]。本文主要通過模態(tài)分析得到阻尼板的振型數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析，而MPD是由復(fù)振型的幅值和相位來量化模態(tài)復(fù)雜度的參數(shù)，因此選取MPD來量化不同構(gòu)型板結(jié)構(gòu)的模態(tài)復(fù)雜度。平均相位偏差(mean phase deviation，MPD)常表示為：

(8)

非均勻阻尼板高阻尼區(qū)域的分布情況會(huì)影響復(fù)模態(tài)的復(fù)雜程度，本文參考文獻(xiàn)[15]中定義的阻尼構(gòu)型，根據(jù)對(duì)稱性和幾何分布的不同，構(gòu)建圖4所示的8種構(gòu)型。其中，S為對(duì)稱型，B為左右對(duì)稱型，C為中心對(duì)稱型，A為不對(duì)稱型，1、2是根據(jù)距離板中心和邊界的距離分別代表集中分散。有限元模型設(shè)置與2.1節(jié)一致，對(duì)8種不同構(gòu)型的非均勻阻尼板進(jìn)行模態(tài)分析，并代入式(8)計(jì)算其MPD值，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖4 8種阻尼板構(gòu)型Fig.4 8 configurations of damped plates

從表1可以看出，在 2×2和3×1階模態(tài)C2的復(fù)模態(tài)復(fù)雜度較高，在1×1、2×1和1×2階模態(tài)C2的復(fù)模態(tài)復(fù)雜度較低。結(jié)合圖3可以看出，在2×2和3×1階模態(tài)C2與R的可控性和可觀性指標(biāo)存在明顯差異，在1×1、2×1和1×2階模態(tài)C2與R的可控性和可觀性指標(biāo)基本相同。由此可知，在模態(tài)可控性和可觀性方面復(fù)模態(tài)相比于實(shí)模態(tài)的變化量與復(fù)模態(tài)復(fù)雜度有關(guān)。

表1 8種阻尼板前5階MPD值Table 1 MPDs for 8 damped plates from 1st to 5th mode

3.2 可控性(可觀性)計(jì)算對(duì)比

為了研究模態(tài)復(fù)雜度對(duì)復(fù)模態(tài)可控性(可觀性)的影響，將8種阻尼板的前5階模態(tài)的可控性(可觀性)指標(biāo)，分別按照MPD由小到大的順序重新整理，圖5～9分別為前5階模態(tài)不同構(gòu)型的非均勻阻尼板(不同復(fù)雜度)，12個(gè)輸入(輸出)位置處的可控性(可觀性)指標(biāo)與均勻阻尼板R的對(duì)比結(jié)果，其中，括號(hào)內(nèi)的數(shù)字代表該構(gòu)型在這階模態(tài)下的復(fù)雜度MPD值。

圖5 1×1階不同復(fù)雜度板可控性(可觀性)對(duì)比Fig.5 Comparison of controllability (observability) for damped plates with different complexities on 1×1 mode

圖6 2×1階不同復(fù)雜度板可控性(可觀性)對(duì)比Fig.6 Comparison of controllability (observability) for damped plates with different complexities on 2×1 mode

圖7 1×2階不同復(fù)雜度板可控性(可觀性)對(duì)比Fig.7 Comparison of controllability (observability) for damped plates with different complexities on 1×2 mode

圖8 2×2階不同復(fù)雜度板可控性(可觀性)對(duì)比Fig.8 Comparison of controllability (observability) for damped plates with different complexities on 2×2 mode

圖9 3×1階不同復(fù)雜度板可控性(可觀性)對(duì)比Fig.9 Comparison of controllability (observability) for damped plates with different complexities on 3×1 mode

由圖5～9可知，不同模態(tài)復(fù)雜度MPD值的阻尼板的可控性(可觀性)相比于復(fù)雜度MPD=0(實(shí)模態(tài))的阻尼板變化可以分為3種情況：1) 當(dāng)MPD<0.1時(shí)，或當(dāng)0.10.3或0.10.3且輸入(輸出)點(diǎn)不在均勻阻尼板R實(shí)模態(tài)振型的節(jié)點(diǎn)位置時(shí)，可控性(可觀性)降低。綜上所述，復(fù)模態(tài)的模態(tài)復(fù)雜度對(duì)其可控性和可觀性的有影響，具體是對(duì)可控性和可觀性增強(qiáng)、降低還是不變，取決于所關(guān)心的輸入和輸出位置。

不可控和不可觀的位置(可控性(可觀性)指標(biāo)為0)為輸入和輸出應(yīng)該盡量避免的位置點(diǎn)。由圖5～9可知，均勻阻尼板R(實(shí)模態(tài))存在不可控和不可觀點(diǎn)：2×1階模態(tài)的2、5、9號(hào)點(diǎn)；1×2階模態(tài)的4、5、6號(hào)點(diǎn)；2×2階模態(tài)的2、4、5、6、9號(hào)點(diǎn)。為了研究復(fù)模態(tài)復(fù)雜度對(duì)上述不可控和不可觀點(diǎn)的影響，計(jì)算了8種非均勻阻尼板2×1階模態(tài)的2、5、9號(hào)點(diǎn)，1×2 階模態(tài)的4、5、6號(hào)點(diǎn)以及2×2階模態(tài)的2、4、5、6、9號(hào)點(diǎn)的可控性和可觀性指標(biāo)平均值，并繪制平均值隨復(fù)模態(tài)復(fù)雜度變化圖，如圖10所示。

圖10 復(fù)雜度對(duì)指標(biāo)平均值影響Fig.10 Influence of complexity on averagecosθs

由圖10可知，實(shí)模態(tài)情況下不可控和不可觀的點(diǎn)的可控性(可觀性)指標(biāo)平均值隨著復(fù)模態(tài)的模態(tài)復(fù)雜度的增大呈增大趨勢(shì)，且其分布接近線性增長(zhǎng)。因此，對(duì)3種模態(tài)下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行線性擬合得到圖10中y所示擬合曲線。文獻(xiàn)[5]中認(rèn)為，可控性(可觀性)指標(biāo)cosθ(cosφ)<0.01時(shí)，該點(diǎn)對(duì)于該階模態(tài)而言是不可控(不可觀)的。通過擬合曲線y=0.034 4x-0.002 1可知，當(dāng)MPD值小于0.351 7時(shí)，cosθ(cosφ)平均值均小于0.01。因此，在本文所研究算例下，從可控性和可觀性的角度去考慮復(fù)模態(tài)與實(shí)模態(tài)的區(qū)別時(shí)，當(dāng)MPD<0.357 1時(shí)，復(fù)模態(tài)可簡(jiǎn)化為實(shí)模態(tài)進(jìn)行可控性(可觀性)的分析；當(dāng)MPD>0.357 1時(shí)，復(fù)模態(tài)不能近似為實(shí)模態(tài)進(jìn)行可控性(可觀性)分析。

綜上所述，本文認(rèn)為，任意以復(fù)模態(tài)形式振動(dòng)的結(jié)構(gòu)，從可控性和可觀性的角度去考慮復(fù)模態(tài)與實(shí)模態(tài)的區(qū)別時(shí)，都滿足如下規(guī)律：當(dāng)復(fù)模態(tài)的模態(tài)復(fù)雜度小于某一值時(shí)，復(fù)模態(tài)可簡(jiǎn)化為實(shí)模態(tài)進(jìn)行可控性和可觀性的分析；當(dāng)復(fù)模態(tài)的模態(tài)復(fù)雜度大于某一值時(shí)，會(huì)對(duì)可控性和可觀性產(chǎn)生較大的影響，此時(shí)復(fù)模態(tài)不能近似為實(shí)模態(tài)進(jìn)行可控性和可觀性分析。

4 結(jié)論

1) 在相同階模態(tài)和相同輸入和輸出位置，實(shí)模態(tài)情況下的與復(fù)模態(tài)情況下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)的可控性和可觀性不同，且改變量與復(fù)模態(tài)的模態(tài)復(fù)雜度有關(guān)；

2) 復(fù)模態(tài)的模態(tài)復(fù)雜度對(duì)其可控性和可觀性的有影響，具體到是對(duì)可控性和可觀性增強(qiáng)、降低還是不變，取決于所觀測(cè)的輸入和輸出位置；

3) 從可控性和可觀性的角度去考慮復(fù)模態(tài)與實(shí)模態(tài)的區(qū)別：當(dāng)復(fù)模態(tài)的模態(tài)復(fù)雜度小于某個(gè)值時(shí)，復(fù)模態(tài)可簡(jiǎn)化為實(shí)模態(tài)進(jìn)行可控性和可觀性的分析；當(dāng)復(fù)模態(tài)的模態(tài)復(fù)雜度大于此值時(shí)，會(huì)對(duì)可控性和可觀性產(chǎn)生較大的影響，此時(shí)復(fù)模態(tài)不能近似為實(shí)模態(tài)進(jìn)行可控性和可觀性分析。