張拉整體基本單元幾何穩(wěn)定構(gòu)型分析

王艷蒙， 劉賀平， 羅阿妮

(哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

隨著空間結(jié)構(gòu)的迅速發(fā)展，傳統(tǒng)空間結(jié)構(gòu)[1-5]已經(jīng)不能滿足需求，因此發(fā)展新型空間結(jié)構(gòu)受到了廣泛的關(guān)注。張拉整體結(jié)構(gòu)是一種由離散的受壓桿件和連續(xù)的受拉索構(gòu)件構(gòu)成的一種自應(yīng)力空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)[6-11]，張拉整體結(jié)構(gòu)是一種自平衡體系[12-14]，其穩(wěn)定性是由結(jié)構(gòu)參數(shù)和構(gòu)件預(yù)緊力共同決定[15-17]。張拉整體結(jié)構(gòu)還具有形狀美觀、構(gòu)件結(jié)構(gòu)簡單、質(zhì)量輕盈、展納率高等特點(diǎn)[18-22]。本文從張拉整體基本單元進(jìn)行構(gòu)型參數(shù)分析，構(gòu)型中p根桿必然對(duì)應(yīng)p-1種構(gòu)型，分析構(gòu)型節(jié)點(diǎn)受力平衡獲得平衡條件來判斷斜索和桿及水平索空間位置關(guān)系，通過分析節(jié)點(diǎn)nd(i+j)分別處在相對(duì)節(jié)點(diǎn)nd(i)的4個(gè)象限位置來計(jì)算桿扭轉(zhuǎn)角與斜索p-1種連接方式之間的函數(shù)關(guān)系，獲得結(jié)構(gòu)穩(wěn)定時(shí)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，獲得穩(wěn)定構(gòu)型條件。

1 張拉整體基本單元

三桿張拉整體單元是張拉整體結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，此單元可以拓?fù)錇榫哂懈鄺U構(gòu)件的張拉整體單元，也可以通過拼接形成更多復(fù)雜結(jié)構(gòu)的張拉整體結(jié)構(gòu)。如圖1所示為張拉整體基本單元[28-29]，此張拉整體結(jié)構(gòu)包括3根桿和9條索，上端面圓周半徑ru、下端面圓周半徑rd、端面間高度h、上下端面平行、上下端面形心連線垂直兩端面、同一端面圓周上節(jié)點(diǎn)均勻分布；上下端面內(nèi)的索為水平索，上下端面間的細(xì)實(shí)線為斜索，粗實(shí)線為桿構(gòu)件。上下端面間的扭轉(zhuǎn)角為φ，這里稱為單元內(nèi)旋轉(zhuǎn)角(這一角度為任意一根桿構(gòu)件的2個(gè)端點(diǎn)在底面上的投影與底面圓心的連線夾角)。

注：細(xì)實(shí)線為斜索，粗實(shí)線為桿構(gòu)件圖1 三桿張拉整體單元結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic diagram of three-bar tensegrity unit

2 基本單元幾何參數(shù)

為了建立張拉整體基本單元的數(shù)學(xué)模型，定義基本單元外形包絡(luò)幾何參數(shù)，上端面半徑ru，下端面半徑rd，單元高度h(具體分3種情況,如圖2所示，上下端面半徑相等rd=ru和上下端面半徑不等rd>ru和rd

圖2 基本單元外形包絡(luò)幾何柱或臺(tái)體Fig.2 Basic element shape envelope geometric column or table body

從構(gòu)件組成的角度看張拉整體基本單元。桿構(gòu)件個(gè)數(shù)p，2p根端面水平索，把2個(gè)端面分別圍成正p邊形，p根斜索均勻分布在兩端面之間。

從節(jié)點(diǎn)與構(gòu)件的連接關(guān)系看張拉整體基本單元，任意節(jié)點(diǎn)均與4個(gè)構(gòu)件連接：1根桿、3根索。每個(gè)節(jié)點(diǎn)同時(shí)與其所在端面內(nèi)相鄰2個(gè)節(jié)點(diǎn)連接2個(gè)水平索，與另一個(gè)端面內(nèi)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)用1根桿連接，與另一端面除連接桿的節(jié)點(diǎn)之外的p-1個(gè)節(jié)點(diǎn)中的任一個(gè)節(jié)點(diǎn)，連接1根斜索，也即有p-1種斜索連接方式，相對(duì)應(yīng)的桿繞z軸的扭轉(zhuǎn)角為φj，斜索繞z軸的扭轉(zhuǎn)角為βj。

通過以上分析，可以看出，p根桿必然對(duì)應(yīng)p-1種構(gòu)型(任意節(jié)點(diǎn)用1根桿連接另一端面的1個(gè)節(jié)點(diǎn)，則另一端面內(nèi)仍然有p-1個(gè)節(jié)點(diǎn)，可以任選一個(gè)節(jié)點(diǎn)布置斜索)，接下來探討這p-1種基本單元穩(wěn)定構(gòu)型的條件，及不同穩(wěn)定構(gòu)型獲得的結(jié)構(gòu)中構(gòu)件幾何參數(shù)。分析影響穩(wěn)定構(gòu)型的關(guān)鍵因素。

3 穩(wěn)定構(gòu)型影響因素分析

當(dāng)張拉整體基本單元桿的構(gòu)件數(shù)為p時(shí)，基本構(gòu)型有p-1種連接方式，連接方式不同則桿、索繞z軸扭轉(zhuǎn)角φj，扭轉(zhuǎn)角βj的值不同。

選擇上端面節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析(由于張拉整體單元結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，且上下端面的每個(gè)節(jié)點(diǎn)受力情況類似，均受3個(gè)索的拉力和一個(gè)桿的壓力)，該節(jié)點(diǎn)受上端面2個(gè)相鄰的水平索的拉力、上下端面間桿的壓力和斜索的拉力如圖3所示(su(i+1)和su(i-1)為2個(gè)水平索、svi為斜索、gi為桿)。而上端面的2個(gè)水平索的合力指向上端面圓心。由于張拉整體單元處于平衡狀態(tài)，故節(jié)點(diǎn)受力處于平衡狀態(tài)。平衡意味著2個(gè)力等大共線且反向、或3個(gè)力必須構(gòu)成封閉的平面三角形且力的方向要首尾相連。節(jié)點(diǎn)平衡應(yīng)用該共點(diǎn)三力平衡條件來判斷斜索和桿及水平索空間位置關(guān)系，進(jìn)一步深入到桿扭轉(zhuǎn)角與斜索p-1種連接方式，這3個(gè)平衡力確定了一個(gè)平面。

圖3 與上端面節(jié)點(diǎn)連接的構(gòu)件及受力Fig.3 The member connected with the upper end face node and its force

上端面節(jié)點(diǎn)受到的3個(gè)力確定的平面與上、下端面的交線分別為直線ounu(p+i)、直線nd(i+j)nd(i)。單元的上下2個(gè)端面平行，所以2條交線必然平行。針對(duì)節(jié)點(diǎn)nd(i+j)分別處在相對(duì)節(jié)點(diǎn)nd(i)的4個(gè)象限位置來探討單元的相位角φj(同時(shí)也是桿繞z軸的扭轉(zhuǎn)角)及斜索繞z軸的扭轉(zhuǎn)角βj，設(shè)定下端面節(jié)點(diǎn)nd(i)處在x軸正方向。

3.1 節(jié)點(diǎn)nd(i+j)處在第一象限

規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎较?，?dāng)節(jié)點(diǎn)nd(i+j)處在第一象限時(shí)(如圖4所示)，節(jié)點(diǎn)nd(i+j)和nd(i)對(duì)應(yīng)的圓心角θj為：

圖4 節(jié)點(diǎn)nd(i+j)位于第一象限Fig.4 The node nd(i+j) is in the first quadrant

由幾何關(guān)系確定桿繞z軸扭轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)角φj值：在三角形Δodnd(i+j)nd(i)中，θj角值已知，因?yàn)橹本€odnd(i+j)與直線odnd(i)為下端面半徑，所以等腰三角形的2個(gè)底角，角α和角δ相等。由于直線ounu(p+i)平行于直線nd(i+j)nd(i)，同位角α和γ相等。由以上條件可得p-1種構(gòu)型中，桿及斜索繞z軸的扭轉(zhuǎn)角與斜索連接方式j(luò)之間的函數(shù)關(guān)系。

由圖中幾何關(guān)系可知扭轉(zhuǎn)角φj、βj為：

因?yàn)橹本€ounu(p+i)平行于直線nd(i+j)nd(i)，同位角相等：

γ=α

又因?yàn)榈妊切桅dnd(i+j)nd(i)的2個(gè)底角相等：

α=δ

由圖中幾何關(guān)系得3個(gè)角的關(guān)系：

桿扭轉(zhuǎn)角φj、斜索扭轉(zhuǎn)角βj與p、j的函數(shù)關(guān)系為：

在直線ounu(p+i)的延長線與端面圓交點(diǎn)q,由于力qnd(i)在節(jié)點(diǎn)處與其他2個(gè)力構(gòu)不成平衡，即構(gòu)不成封閉的首尾相接的矢量三角形，節(jié)點(diǎn)不在平衡狀態(tài)，張拉整體結(jié)構(gòu)單元不穩(wěn)定，即不滿足平衡條件，舍棄該點(diǎn)。

3.2 節(jié)點(diǎn)nd(i+j)處在第二象限

當(dāng)節(jié)點(diǎn)nd(i+j)處在第二象限時(shí)如圖5所示，規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎较?，其中?jié)點(diǎn)nd(i+j)和nd(i)對(duì)應(yīng)的圓心角θj為：

圖5 節(jié)點(diǎn)nd(i+j)位于第二象限Fig.5 The node nd(i+j) is in the second quadrant

在三角形Δodnd(i+j)nd(i)中，θj角值已知，直線odnd(i+j)與直線odnd(i)為下端面半徑，等腰三角型的2個(gè)底角角α和角δ相等。由于直線ounu(p+i)平行直線nd(i+j)nd(i)，內(nèi)錯(cuò)角δ和γ相等。由以上條件可得p-1種構(gòu)型中，桿及斜索繞z軸的扭轉(zhuǎn)角與斜索連接方式j(luò)之間的函數(shù)關(guān)系。

由圖中幾何關(guān)系可知相位角φj、扭轉(zhuǎn)角βj：

因?yàn)橹本€ounu(p+1)平行于直線nd(i+j)nd(i)，內(nèi)錯(cuò)角相等得：

γ=δ

等腰三角形Δodnd(i+j)nd(i)的底角相等：

α=δ

由圖中幾何關(guān)系得3個(gè)角的關(guān)系：

桿扭轉(zhuǎn)角φj、斜索扭轉(zhuǎn)角βj與p、j的函數(shù)關(guān)系為:

3.3 節(jié)點(diǎn)nd(i+j)處在第三象限

當(dāng)節(jié)點(diǎn)nd(i+j)處在第三象限時(shí)如圖6所示，規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎较?，其中?jié)點(diǎn)nd(i+j)和nd(i)對(duì)應(yīng)的圓心角θj為：

圖6 節(jié)點(diǎn)nd(i+j)位于第三象限Fig.6 The node nd(i+j) is in the third quadrant

在三角形Δodnd(i+j)nd(i)中，θj值已知，直線odnd(i+j)與直線odnd(i)為下端面半徑，等腰三角形的2個(gè)底角，角α和角δ相等。由于直線ounu(p+i)平行于直線nd(i+j)nd(i)，內(nèi)錯(cuò)角δ和γ相等。由以上條件可得p-1種構(gòu)型中，桿的繞z軸的扭轉(zhuǎn)角與斜索連接方式j(luò)之間的函數(shù)關(guān)系。

由圖中幾何關(guān)系可知扭轉(zhuǎn)角φj：

φj=θj-γ

因?yàn)橹本€ounu(p+i)平行于直線nd(i+j)nd(i)，內(nèi)錯(cuò)角相等：

γ=α

又因?yàn)榘霃较嗟鹊牡妊切桅dnd(i+j)nd(i)底角相等：

α=δ

由圖中幾何關(guān)系得3個(gè)角的關(guān)系：

桿扭轉(zhuǎn)角φj、斜索扭轉(zhuǎn)角βj與p、j的函數(shù)關(guān)系為：

3.4 節(jié)點(diǎn)nd(i+j)處在第四象限

當(dāng)節(jié)點(diǎn)nd(i+j)處在第四象限時(shí)如圖7所示，規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎较?，其中?jié)點(diǎn)nd(i+j)和nd(i)對(duì)應(yīng)的圓心角θj為：

圖7 節(jié)點(diǎn)nd(i+j)位于第四象限Fig.7 The node nd(i+j) is in the fourth quadrant

三角形Δodnd(i+j)nd(i)中，θj角值已知，直線odnd(i+j)與直線odnd(i)為下端面半徑，等腰三角形的2個(gè)底角，角α和角δ相等。由于直線ounu(p+i)平行于直線nd(i+j)nd(i)，內(nèi)錯(cuò)角α和γ相等。由以上條件可得p-1種構(gòu)型中，桿的繞z軸的扭轉(zhuǎn)角φj與斜索連接方式j(luò)之間的函數(shù)關(guān)系。

由圖中幾何關(guān)系可知扭轉(zhuǎn)角φj：

φj=θj-γ

因?yàn)橹本€ounu(p+i)平行于直線nd(i+j)nd(i)，內(nèi)錯(cuò)角相等：

γ=α

等腰三角形Δodnd(i+j)nd(i)中底角相等：

α=δ

由圖中幾何關(guān)系得3個(gè)角的關(guān)系：

桿扭轉(zhuǎn)角φj、斜索扭轉(zhuǎn)角βj與p、j的函數(shù)關(guān)系為：

4 結(jié)論

1)穩(wěn)定構(gòu)型的條件獨(dú)立于基本單元的外形包絡(luò)幾何參數(shù)(上端面半徑ru，下端面半徑rd，單元高度h)，只由桿數(shù)目p及連接同一節(jié)點(diǎn)的桿、斜索的另一端節(jié)點(diǎn)序號(hào)差j，確定單元的穩(wěn)定性，且這2個(gè)因素一一對(duì)應(yīng)，相互依存，滿足以下條件。

3)穩(wěn)定構(gòu)型中桿、斜索的扭轉(zhuǎn)角φj、βj滿足當(dāng)節(jié)點(diǎn)nd(i+j)處于一、二象限時(shí)φj+βj=π，當(dāng)節(jié)點(diǎn)nd(i+j)處于三、四象限時(shí)φj+βj=3π。

4)桿扭轉(zhuǎn)角φj與φp-j關(guān)于坐標(biāo)系x軸對(duì)稱：φj+φp-j=2π。