小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形策略”教學(xué)探討

杜文娟

（揚(yáng)州市育才小學(xué),江蘇 揚(yáng)州 225000）

數(shù)學(xué)與人類社會(huì)生活緊密相連，數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)自對(duì)現(xiàn)實(shí)生活或具體情境的抽象，通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題達(dá)到認(rèn)識(shí)人類社會(huì)中事物之間數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)社會(huì)發(fā)展。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決就是用算式表達(dá)題目中的數(shù)量關(guān)系。找出問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系包含復(fù)雜思維分析過(guò)程的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過(guò)程。文字雖能較好地描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是透過(guò)抽象的文字難以直接發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。選擇運(yùn)用合理的解題策略解構(gòu)文字信息、發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系、尋求數(shù)學(xué)本質(zhì)、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型才是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。圖形策略是小學(xué)階段重點(diǎn)講解的問(wèn)題解決策略，其本質(zhì)是利用具有一定結(jié)構(gòu)形式的直觀形象的圖形展現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，透過(guò)對(duì)圖形元素的分析、變化發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。那如何指導(dǎo)學(xué)生掌握“圖形策略”呢？本文筆者將重點(diǎn)探討小學(xué)“圖形策略”教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

一、樹(shù)立運(yùn)用圖形策略解題的意識(shí)

所謂圖形策略也就是在解題的過(guò)程中，將數(shù)學(xué)信息由文字表征轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形表征，用圖形輔助思維過(guò)程，通過(guò)對(duì)圖形元素的分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

文字是人們最熟悉、最常用的媒介符號(hào)。在小學(xué)數(shù)學(xué)課的教學(xué)中，絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)信息（概念、問(wèn)題等）都是通過(guò)文字表述。小學(xué)生通過(guò)閱讀文字可以獲取數(shù)學(xué)問(wèn)題中最基本的問(wèn)題情境、對(duì)象數(shù)量等基本信息。但是，小學(xué)兒童思維的基本特點(diǎn)是從以具體形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到以抽象邏輯思維為主要形式，但這種抽象邏輯思維在很大程度上是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，仍然具有很大成分的具體形象性。所以小學(xué)生很難從閱讀抽象的文字信息開(kāi)啟思維過(guò)程，尋求解題思路，構(gòu)建問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)模型。

在現(xiàn)實(shí)生活匯中，圖形也是一類重要媒介符號(hào)，可以直觀形象地表征客觀對(duì)象，透過(guò)圖形“繪制”的概念化世界，人們可以更加全面深入地認(rèn)識(shí)客觀世界。在表征客觀信息時(shí)，圖形可以彌補(bǔ)文字的不足。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立“求解于圖形”的意識(shí)，充分運(yùn)用圖形解題。圖形可以直觀形象地呈現(xiàn)抽象的數(shù)量關(guān)系，有助于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)信息、抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題中的關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系。如在行程問(wèn)題中，通過(guò)線段圖可以清晰表征兩（多）物體的運(yùn)動(dòng)信息，通過(guò)繪制長(zhǎng)（正）方形可以幫學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)世界中花圃面積、周長(zhǎng)等問(wèn)題?？傊ㄟ^(guò)圖形中的基本元素（點(diǎn)、線等）可以清晰表示數(shù)學(xué)信息，表征題目中的數(shù)量關(guān)系，讓抽象繞人的文字變成直觀形象的由點(diǎn)、線等元素構(gòu)成的圖形，并且利用圖形描述信息，借助圖示的直觀特點(diǎn)可以讓繁雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔、形象，此時(shí)通過(guò)對(duì)直觀形象的點(diǎn)、線等圖形元素的變換分析構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

比如，有道數(shù)學(xué)題：改變一個(gè)長(zhǎng)方形，第一次將它的長(zhǎng)增加5 厘米，第二次將它的寬增加5 厘米，哪種變化增加的面積大？

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，大部分小學(xué)生在閱讀題目后，會(huì)認(rèn)為題目缺少條件而無(wú)法解答。這就充分暴露了抽象的文字信息會(huì)直接阻礙小學(xué)生的思維過(guò)程，學(xué)生難以通過(guò)文字信息直接展開(kāi)思考。但如果用圖形表征數(shù)學(xué)信息后，見(jiàn)圖1，幾乎所有的學(xué)生都能從圖形中脫口而出：小明增加的面積大。圖形可以給學(xué)生以直觀的面積增大的感受，激發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步思考。

圖1

二、講解“圖形策略”的主要環(huán)節(jié)

（一）畫圖

所謂畫圖即在理解題目字面意思的基礎(chǔ)上，剝離問(wèn)題中的情境化信息，將語(yǔ)言文字表述的數(shù)學(xué)題目“翻譯”成圖形，用圖形符號(hào)“畫出”數(shù)學(xué)題目中用語(yǔ)言文字表述的數(shù)學(xué)條件、基本的數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息從文字表征到圖形表征的轉(zhuǎn)變。準(zhǔn)確地用圖形元素表示出問(wèn)題中的對(duì)象和數(shù)量參數(shù)是運(yùn)用圖形策略解題的第一步，其關(guān)鍵是要能用圖形全面客觀準(zhǔn)確表達(dá)題意。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要培養(yǎng)學(xué)生的畫圖技能，即培養(yǎng)學(xué)生選擇合適的圖形元素表征數(shù)學(xué)信息的技能。

比如，有一道題：某小學(xué)有一長(zhǎng)方形魚池，長(zhǎng)8米。在校園改建時(shí)，魚池的長(zhǎng)增加了3 米，這樣魚池的面積就增加了18 平方米。問(wèn)原來(lái)魚池的面積是多少平方米？

這是一道實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)是求長(zhǎng)方形的面積，關(guān)鍵是要知道原來(lái)魚池的寬。運(yùn)用圖形策略解題的第一步是準(zhǔn)確用圖形表征題意，同時(shí)要把題中的條件和問(wèn)題都在圖上表示出來(lái)。見(jiàn)下圖2。

圖2

（二）識(shí)圖

準(zhǔn)確地用圖形元素畫出圖形，可以直觀全面展現(xiàn)題目條件、表達(dá)題目含義，但畫圖僅僅是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的第一步，更重要的是發(fā)現(xiàn)圖形中各元素之間包含的數(shù)量關(guān)系，所以學(xué)生還要學(xué)會(huì)“識(shí)圖”。所謂識(shí)圖就是識(shí)別圖形各要素之間的數(shù)量關(guān)系，只有清晰地識(shí)別出圖形元素中的數(shù)量關(guān)系，才能構(gòu)建問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)模型。識(shí)圖是問(wèn)題解決過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)，是解題策略的重要組成。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不能孤立地觀察圖形的各個(gè)元素（某一條線、某一個(gè)邊），而是要用聯(lián)系的眼光從整體上觀察圖形，發(fā)現(xiàn)圖形各元素之間的數(shù)量關(guān)系，只有理清了數(shù)量之間的關(guān)系才能更好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

接上題，通過(guò)識(shí)圖可以發(fā)現(xiàn)，增加的小長(zhǎng)方形魚池與原來(lái)的長(zhǎng)方形魚池?fù)碛泄餐膶挘@個(gè)就是通過(guò)圖形發(fā)現(xiàn)的大小長(zhǎng)方形之間的數(shù)量關(guān)系。那么，通過(guò)增加的小長(zhǎng)方形的面積，可以算出大、小長(zhǎng)方形的寬（18÷3=4 米），然后即可算出原長(zhǎng)方形的面積（8×4=24 米）。

再比如，有一道數(shù)學(xué)題：某村有一個(gè)寬20 米的長(zhǎng)方形田塊。改建后，田塊的寬減少了5 米。這樣田塊的面積就減少了150 平方米?，F(xiàn)在田塊的面積是多少平方米？

運(yùn)用圖形策略解題，首先要畫出“長(zhǎng)方形田塊”，并在圖形中標(biāo)注相關(guān)數(shù)據(jù)，見(jiàn)下圖3。

圖3

在教學(xué)中，筆者指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察圖形，可以直觀發(fā)現(xiàn)“長(zhǎng)方形田塊”的“長(zhǎng)”沒(méi)有發(fā)生變化：原“長(zhǎng)方形田塊”、縮小部分、縮小后的“長(zhǎng)方形田塊”的長(zhǎng)都是一樣的。抓住了這個(gè)關(guān)系，可以通過(guò)縮小部分面積（150 平方米）和減少的寬（5 米）求出“長(zhǎng)方形田塊”的“長(zhǎng)”：150÷5=30（米），接著就可以求出縮小后的田塊面積。這是常規(guī)的識(shí)圖解法。在教學(xué)中，筆者可以提問(wèn)：“同學(xué)們請(qǐng)看圖，20 米和5 米（課件紅色強(qiáng)調(diào)）之間是什么關(guān)系？”進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生再次仔細(xì)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏的數(shù)量關(guān)系。見(jiàn)下圖4。

圖4

從圖4 中能清楚地看出這樣的倍比關(guān)系：原來(lái)的長(zhǎng)方形被平均分成4 份，現(xiàn)在長(zhǎng)方形的面積占了其中的三份，那縮減后的田塊的面積是縮減部分面積的3 倍，列算式3×150=450（平方米），就可以直接求出現(xiàn)在田塊的面積。這就是通過(guò)仔細(xì)全面識(shí)別圖形，通過(guò)圖形發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)量關(guān)系，求解問(wèn)題的策略方法。

（三）換圖

有些復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目即使在深入理解題意、把握題目數(shù)量關(guān)系的前提下，仍然沒(méi)有解題的思路，這就要進(jìn)入解題的第三環(huán)節(jié)“換圖”，也就是充分利用圖形本身的結(jié)構(gòu)變換開(kāi)拓解題思路的策略。比如將長(zhǎng)方形的寬與長(zhǎng)“拉直”后，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就變成了線段的長(zhǎng)度，將一個(gè)正方形“切割重新拼裝”后可以組合成一個(gè)長(zhǎng)方形，變形前正方形的面積與變形后長(zhǎng)方形的面積是相同的，通過(guò)圖形局部結(jié)構(gòu)的“切割”與“變換”發(fā)現(xiàn)圖形整體的數(shù)量關(guān)系，在圖形元素的多樣變換中尋求解題的思路與策略。

比如，有一道題目：李奶奶家要擴(kuò)大一個(gè)長(zhǎng)10米，寬6 米的長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)、寬同時(shí)增加2 米，成為一塊新的長(zhǎng)方形花圃，面積增加了多少平方米？

首先要準(zhǔn)確繪圖。常見(jiàn)的幾種繪圖形式有以下幾種（見(jiàn)下圖5）。

圖5

以上圖形都能準(zhǔn)確表達(dá)題意，畫出了增加的部分，并用陰影標(biāo)注了要求的面積。接下來(lái)是識(shí)圖階段。學(xué)生可以將增加的部分分割成2 部分或者3 部分分別求出各部分的面積，通過(guò)添加輔助線、借助圖形可以直觀識(shí)別增加的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的數(shù)量關(guān)系，最終相加求和，得出最終的增加面積。這是一種解題方法。但是通過(guò)換圖，可以更巧妙地求解增加的面積。此時(shí)教師可以利用動(dòng)畫演示，把增加的部分分成兩部分，再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移，就能變成一個(gè)長(zhǎng)方形，見(jiàn)下圖6。

圖6

此時(shí)，求解增加部分的面積，就直接變成了求解一個(gè)長(zhǎng)16 米（9+2+5=16 米）寬2 米的長(zhǎng)方形的面積，即16×2=36（平方米）。

充分利用圖形的切割、組合會(huì)給學(xué)生們?nèi)嬲宫F(xiàn)一個(gè)更加“完整的”圖形，“復(fù)雜”的圖形關(guān)系在經(jīng)過(guò)仔細(xì)的“識(shí)別”、巧妙的“轉(zhuǎn)換”后會(huì)變得更形象、直觀，原本復(fù)雜的圖形中隱晦的數(shù)量關(guān)系可能在巧妙地“轉(zhuǎn)換”后，直接“暴露”在學(xué)生們面前，讓學(xué)生們眼前一亮，給人一種“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村一種”的豁然開(kāi)朗的感覺(jué)，頓時(shí)找到解決問(wèn)題的方法。

三、小結(jié)

“圖形策略”是一種有效的解題策略，教師在講解“圖形策略”的過(guò)程中，關(guān)鍵要抓住“畫圖”“識(shí)圖”“換圖”三個(gè)環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)都非常重要，都會(huì)影響到問(wèn)題的解決：畫圖是前提要準(zhǔn)確、識(shí)圖是關(guān)鍵要全面、換圖是點(diǎn)睛要靈活，尤其是通過(guò)“圖形轉(zhuǎn)化”求解包含復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)題。這就要求教師既要培養(yǎng)學(xué)生“畫圖”（客觀表達(dá)數(shù)學(xué)信息）的能力，又要培養(yǎng)學(xué)生“識(shí)圖”（識(shí)別圖形關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系）的能力，還要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的“換圖”（切割或組合圖形的局部要素）能力，這些都是“化繁為簡(jiǎn)”“化不規(guī)則為規(guī)則”等數(shù)學(xué)思維與能力的直接體現(xiàn)。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要教會(huì)學(xué)生利用圖形策略解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。關(guān)鍵是要幫助學(xué)生樹(shù)立一種信念：我們可以利用圖形解題，因?yàn)閳D形能讓學(xué)生更加深入理解題意，把握題目中的數(shù)量關(guān)系，圍繞利用圖形解決問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程。教師還需要培養(yǎng)學(xué)生“畫圖”“識(shí)圖”“換圖”的基本技能與策略，它們是利用圖形解決問(wèn)題策略的重要組成部分。通過(guò)圖形策略培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。