例析分類討論思想在解題中的應(yīng)用

李新霄

在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，把問(wèn)題中出現(xiàn)的所有情況分成多種類別，然后對(duì)每一類情況分別展開(kāi)討論、求解，最后綜合各類結(jié)果，得出完整的答案，這種數(shù)學(xué)思想叫做分類討論思想.分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中有著廣泛的應(yīng)用.下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.

一、分類討論思想在解集合問(wèn)題中的應(yīng)用

對(duì)于含有參數(shù)的集合問(wèn)題，我們通常要運(yùn)用分類討論思想，來(lái)討論元素與集合之間、集合與集合之間的關(guān)系.在討論集合與元素之間的關(guān)系時(shí)，要討論元素是否屬于某個(gè)集合，集合中元素的個(gè)數(shù)等.在解答集合之間的關(guān)系問(wèn)題時(shí)，要討論集合之間的關(guān)系是否為子集、交集、并集、補(bǔ)集.

例1.若集合 A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，則滿足條件的實(shí)數(shù)x 有（? ）.

A.1個(gè)?? B.2個(gè)?? C.3個(gè)?? D.4個(gè)

根據(jù)題目的條件，可以建立含有參數(shù)的元素之間的相等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程就可以求得 x 的值.但含有參數(shù)的元素是不確定的，因此需要對(duì)其進(jìn)行分類討論.在討論的過(guò)程中要注意集合中元素的三大特性：無(wú)序性、確定性、互異性.因此在求得 x 的值后，一定要將其逐一代回到集合中，看該元素是否滿足集合中元素的三大特性.

二、分類討論思想在解不等式問(wèn)題中的應(yīng)用

在解題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到含參不等式問(wèn)題.此類問(wèn)題通常較為復(fù)雜，需靈活運(yùn)用分類討論思想對(duì)不等式中參數(shù)的取值進(jìn)行討論.通常需對(duì)參數(shù)是否為0，或大于0、小于0進(jìn)行討論.若一次不等式的一次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)，就需分參數(shù)大于0、小于0兩種情況將不等式左右兩邊的式子進(jìn)行變形；若分式不等式的分母中含有參數(shù)，在去分母時(shí)，要考慮分母的正負(fù)性.在分類討論后，要對(duì)各個(gè)部分的結(jié)論按照參數(shù)范圍的大小順序進(jìn)行綜合，以便得出完整的答案.

例2.解不等式2x -1≤ a -2.

解答含參數(shù)不等式問(wèn)題，要選取合適的式子進(jìn)行分類討論.本題中的不等式含有絕對(duì)值，因此要根據(jù)絕對(duì)值恒大于或等于0的性質(zhì)，將 a-2分為 a -2<0、 a -2≥0兩種情況進(jìn)行討論.

三、分類討論思想在解函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

在解答含有參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題和分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常要用到分類討論思想.若函數(shù)表達(dá)式中含有參數(shù)，則參數(shù)的取值會(huì)直接影響到函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、最值、圖象、導(dǎo)函數(shù)等.因此在解題時(shí)，要結(jié)合題目的要求討論參數(shù)所在的位置以及取值，再逐一進(jìn)行分類討論.由于分段函數(shù)沒(méi)有統(tǒng)一的表達(dá)式，往往需要分區(qū)間來(lái)討論函數(shù)的表達(dá)式和取值.

例3.求函數(shù) f（x）= x2-2ax +3在x∈[0，4]上的最值.

本題中的函數(shù)為二次函數(shù)，且函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)，為了求得函數(shù)的最值，于是將二次函數(shù)式寫(xiě)成頂點(diǎn)式.然后，通過(guò)討論拋物線的對(duì)稱軸在定義域的左側(cè)、右側(cè)、中間三種情形以及對(duì)稱軸為 x =0的情形，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值.

四、分類討論思想在解數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用

有些數(shù)列問(wèn)題中存在不確定的因素，比如等比數(shù)列的公比 q 是否為1，就需分 q ≠1和 q＝1兩種情況進(jìn)行討論；如有些數(shù)列的項(xiàng)數(shù)不確定，就需將項(xiàng)數(shù) n 分偶數(shù)、奇數(shù)兩種情形進(jìn)行討論；如數(shù)列的和式中含有參數(shù)，就需對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論.運(yùn)用分類討論思想解答數(shù)列問(wèn)題，需先確定問(wèn)題中的不確定因素，以明確分類討論的對(duì)象，進(jìn)而確定分類的標(biāo)準(zhǔn).

例4.已知數(shù)列{an }、{bn }滿足：a1=1， a2= a ，（a 為常數(shù)），且 bn = an ?an +1 ，其中 n=1，2，3，….若{an }是等比數(shù)列，試求數(shù)列{bn }的前 n 項(xiàng)和 Sn .

由題意可知{bn }為等比數(shù)列，要求得其前 n 項(xiàng)和，就需要求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，而二者都是關(guān)于 a 的代數(shù)式，所以要根據(jù)公比 a2與1的關(guān)系來(lái)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，再計(jì)算數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.

五、分類討論思想在解立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

立體幾何問(wèn)題側(cè)重于討論空間中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，而當(dāng)空間中的點(diǎn)、線、面的位置不確定時(shí)，就需要對(duì)每種情況進(jìn)行分類討論.當(dāng)組合圖形的形狀不能明確時(shí)，也要對(duì)組成的每一種圖形進(jìn)行分類討論.

例5.正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為2和4的矩形，則它的體積_____.

本題中矩形的長(zhǎng)、寬分別對(duì)應(yīng)的是下底面的周長(zhǎng)和三棱柱的高，而我們無(wú)法確定矩形的周長(zhǎng)與高，所以需要進(jìn)行分類討論.解答求幾何體的體積問(wèn)題，往往要結(jié)合相應(yīng)的幾何模型，全面考慮多種可能的情形，再逐一進(jìn)行討論.

六、分類討論思想在解排列組合問(wèn)題中的應(yīng)用

分類討論思想在解答排列組合問(wèn)題中的應(yīng)用十分廣泛，尤其是在解答有約束條件的排列組合問(wèn)題時(shí)，需要對(duì)各種情況分類進(jìn)行討論，然后靈活運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理去求解．

例6.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù)A，B，C，D，E，F(xiàn)，要求任務(wù)A 必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A 之后需立即執(zhí)行任務(wù) E，而任務(wù) B、任務(wù) C 不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（? ）.

A.36種?? B.44種?? C.48種?? D.54種

解：①當(dāng)A、E 分別排在第一、二位置時(shí)，有 A 2（2）A 3（2）=12種執(zhí)行方案;

②當(dāng)A、E 分別排在第二、三位置時(shí)，有 A2（1）A 3（3）+ A2（1）A 2（2）=16種執(zhí)行方案；

③當(dāng)A、E 分別排在第三、四位置時(shí)，有 C 2（1）C 2（1）A 2（2）A 2（2）=16種執(zhí)行方案.

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得不同的執(zhí)行方案有12+16+16=44種，故選 B 項(xiàng).

由于執(zhí)行任務(wù)A 之后需立即執(zhí)行任務(wù) E，可將A、 E 看成一個(gè)整體，將其當(dāng)作一項(xiàng)任務(wù)進(jìn)行排列.由于A 必須在前三項(xiàng)執(zhí)行，故先對(duì) A、E 進(jìn)行分類討論，最后將 B、C 插空排列即可.無(wú)論是采用優(yōu)先法、間接法，還是捆綁法、插空法解答排列組合問(wèn)題，都需對(duì)元素的排列順序進(jìn)行分類討論.而將全體對(duì)象進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸愂墙忸}的關(guān)鍵.

在運(yùn)用分類討論思想解題時(shí)，應(yīng)把握好分類的原則，即（1）確定性原則，分類的對(duì)象是確定的；（2）同一性原則，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)任何分類情況；（3）層次性原則，分清主次，科學(xué)劃分，不越級(jí)討論.同時(shí)在解題訓(xùn)練中要積累一些分類的方法與技巧，針對(duì)具體的問(wèn)題，靈活地進(jìn)行分析.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)丁溝中學(xué)）