如何解答三角函數(shù)中的取值范圍問題

賴周萍 曹藝雯

三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，因而求解三角函數(shù)中的取值范圍問題，不僅要運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，有時(shí)還需利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)、基本不等式等.求解三角函數(shù)中的取值范圍問題，關(guān)鍵要尋找一些限制自變量和目標(biāo)式的條件，這就要求我們不僅要關(guān)注題目中所給的條件，還要深挖已知條件之間的聯(lián)系以及隱含在題目中的一些限制條件.本文主要討論一下三角函數(shù)中取值范圍問題的三種解法.

一、利用三角函數(shù)的有界性

有界性是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，是指在某一區(qū)間內(nèi)三角函數(shù)值在某一個(gè)范圍內(nèi).例如，當(dāng) x ∈0， π時(shí)， y=sinx ∈0， 1.在求三角函數(shù)的取值范圍時(shí)，需先利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式、二倍角公式等，將三角函數(shù)式化簡為只含一種函數(shù)名稱的簡單函數(shù)式；然后利用正弦、余弦、正切函數(shù)的有界性來求目標(biāo)式的取值范圍.

例1.求函數(shù) f（x）=3 cos2 x + sinx cosx 的取值范圍.

仔細(xì)分析題意，可發(fā)現(xiàn)本題中隱含的信息：函數(shù)的定義域?yàn)?R ，則 sin x ∈[-1， 1]，那么根據(jù)二倍角公式和輔助角公式，將函數(shù)式化為正弦函數(shù)式，便可根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得函數(shù)式的取值范圍.

例2.求函數(shù) f（x）= 的取值范圍.

解法1是將函數(shù)式中的變量和常數(shù)分離，根據(jù)余弦函數(shù)的有界性求得 的取值范圍，從而求得原函數(shù)的取值范圍.解法2主要是通過求函數(shù)的反函數(shù)，利用余弦函數(shù)的有界性，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式，從而使問題獲解.

例3.在△ ABC 中，A，B， C 的對邊分別為 a， b， c ， cos C +（cosA -3sin A）cos B =0.

（1）求角 B 的大?。?/p>

（2）當(dāng) a + c =1時(shí)，求 b 的取值范圍.解：（1） B = （過程略）；

解答本題，需先根據(jù)正弦定理建立三邊、三角之間的關(guān)系，得到關(guān)于 b 的關(guān)系式；再通過三角恒等變換，將問題轉(zhuǎn)化為求正弦函數(shù) sin（A+）的取值范圍.運(yùn)用三角函數(shù)的有界性求三角函數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為求正弦、余弦、正切函數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的定義域和正弦、余弦、正切函數(shù)的有界性來解答.

二、巧借基本不等式

基本不等式 a + b ≥2a >0，b >0及其變形式 ab ≤（a + b）2、a2+ b2≥2ab 、a3+ b3+c3≥3abc ，是解答取值范圍問題的重要工具.在運(yùn)用基本不等式求三角函數(shù)的取值范圍時(shí)，要先將函數(shù)式配湊為兩項(xiàng)或三項(xiàng)的和、積的形式，并確定這兩項(xiàng)或三項(xiàng)均為正數(shù)，便可運(yùn)用基本不等式求目標(biāo)式的取值范圍.在求得目標(biāo)式的取值范圍后，還需檢驗(yàn)等號(hào)是否成立.

以例3為例.

解：由余弦定理可得 b2=a2+c2-2ac cosB =（a +c）2-3ac ，

先根據(jù)余弦定理建立三角形三邊之間的關(guān)系，得到關(guān)于 b 的關(guān)系式，而該式中含有 a、c 的積與和，于是利用基本不等式得到 ac ≤（a +c）2 ，將“積”化為“和”，進(jìn)而求得 b 的最值.在運(yùn)用基本不等式求解有關(guān)三角形 的三角函數(shù)取值范圍問題時(shí)，要注意挖掘有關(guān)三角形 的隱含條件，如三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊 之差小于第三邊；三角形的內(nèi)角和為180°.

三、數(shù)形結(jié)合

每一種三角函數(shù)都有其對應(yīng)的圖象.在求解三角 函數(shù)取值范圍問題時(shí)，我們可采用數(shù)形結(jié)合法，根據(jù) 三角函數(shù)式畫出函數(shù)的圖象，借助函數(shù)的圖象來探究 函數(shù)式的取值范圍.還可以根據(jù)三角函數(shù)的定義構(gòu)造 單位圓，將問題轉(zhuǎn)化為圓的最值問題，利用圓的性質(zhì) 來解題.

例 4.已知 sin α + sin β = a ，求 cos α + cos β 的取值 范圍.

本題若采用常規(guī)思路求解，則運(yùn)算過程較為繁 瑣，于是轉(zhuǎn)換思路，根據(jù)題意構(gòu)造圓，化“數(shù)”為“形”， 設(shè) 點(diǎn) A（cos α，sin α） 、點(diǎn) B（cos β，sin β） ，那 么 所 求 的 cos α + cos β 便可被看作是 A、B 兩點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的 兩倍，據(jù)此建立關(guān)系式，求得 P 點(diǎn)的軌跡，即可求得 cos α + cos β 的取值范圍.

解答三角函數(shù)中的取值范圍問題需注意以下幾 點(diǎn)：（1）通過三角恒等變換，將目標(biāo)式化為最簡形式； （2）根據(jù)題意尋找或挖掘?qū)ψ宰兞康南拗茥l件；（3）靈 活運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；（4）靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思 想，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、平面幾何最值問題 來求解.（作者單位：西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院）