利用函數(shù)圖像探求方程和不等式的性質(zhì)

劉珍

【摘要】函數(shù)、方程、不等式是初中數(shù)學(xué)中的重點和難點，本文通過對函數(shù)概念和表達形式的深入理解，從函數(shù)圖像的角度，給出了一種新的直觀的角度看待方程與不等式，為挖掘方程和不等式的本質(zhì)提供了思路，也為初中生掌握方程、不等式提供了幫助.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);圖像;方程;不等式

一、函數(shù)與函數(shù)圖像

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中教學(xué)內(nèi)容的重點，它貫穿了整個初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程，同時，函數(shù)也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的難點，由于它本身的抽象性、復(fù)雜性，導(dǎo)致無論是教學(xué)過程中，還是學(xué)習(xí)的理解運用過程中，都出現(xiàn)了很大的困難.

函數(shù)本身指的是自變量和因變量的相互變化關(guān)系，函數(shù)的提出本身就具有很偉大的價值.它是高度抽象的，大到銀河宇宙，小到原子夸克，只要是可以量化的具有變化關(guān)系的兩個量，就可以用函數(shù)表示出來，可以看到函數(shù)應(yīng)用的廣泛性，這也就決定了函數(shù)可以在多個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，與多個學(xué)科知識存在深度交叉.

而自變量和因變量之間的變化關(guān)系可以有很多種，甚至說是無窮無盡.在教學(xué)過程中，從最基本的正比例函數(shù)，到一次函數(shù)，到反比例函數(shù)，再到二次函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)越來越復(fù)雜，雖然從我們的習(xí)題和例題中可以發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)就可以用于解決很多的生活問題，然而這些只不過是函數(shù)中的滄海一粟，是學(xué)者前輩已經(jīng)研究很久的、高度總結(jié)的一些經(jīng)典函數(shù)，還有很多復(fù)雜的函數(shù)，他們的性質(zhì)，他們的之間的變化關(guān)系值得我們?nèi)ヌ接?

為了認識和了解函數(shù)，我們有很多的形式去解開函數(shù)神秘的面紗.一般來講，具有公式法、表格法和圖像法三種，這三種方法各有千秋.公式法，指的就是我們常見的函數(shù)表達式，它也有多種表現(xiàn)形式，最常見的就是像y=kx這種格式.這種表達方式具有高度的總結(jié)性，它很深刻地將y和x之間的變化關(guān)系表示了出來，任意給出一個x的具體值，都可以很快地求解出y的值.反之，給定一個y的值，同樣也能很快可以求解出x的值.在相關(guān)計算問題上，具有很大的優(yōu)勢，同樣，由于它太抽象了，我們除了在計算具體值之外，很難對函數(shù)整體有所了解和把握;表格法是將一系列的自變量和因變量的取值對應(yīng)地填寫在表格中，可以認為它是將一系列的具體數(shù)值代入公式中，求解得到的，在某些特定的值上，它很快地就可以查詢出來，通過比較相互的自變量與因變量的值的大小，可以對函數(shù)的增長和下降趨勢有一些模糊的認識;圖像法，顧名思義，是將自變量和因變量的相互變化關(guān)系在直角坐標系中表示出來，圖像法具有很強的直觀性，能夠清晰全面地將函數(shù)的變化趨勢呈現(xiàn)出來，比如，極值點，拐點，上升下降趨勢等等都可以清晰地表示出來，不過整個函數(shù)圖像中只有變化趨勢，沒有任何實際的數(shù)值.

可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的三種表達方式，從三個不同的角度刻畫和呈現(xiàn)了函數(shù)的規(guī)律，各有千秋，而圖像法由于直觀形象的特點，得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用.

二、函數(shù)與方程

最簡單的函數(shù)，形如y=kx+b，最簡單的方程，形如ax+b=0，我們仔細觀察這兩個式子，會發(fā)現(xiàn)它們在形式上竟然如此的相似，不就是k=a且y=0的情形嘛.k與a都是變量，在形式上是等價的，而0只是y的取值范圍中可能存在，可能不存在的一個取值而已.也就是說我們完全有理由把方程看成函數(shù)的一種情況，一種函數(shù)在y取0時，自變量x的取值情況的問題.

一元方程有沒有解的問題，可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的一元函數(shù)有沒有零點的問題，同樣也可以轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)圖像與x軸有沒有交點的問題，前一步可以歸功于函數(shù)與方程在形式上的相似，而后一步就要歸功于函數(shù)的多種表達方式，公式法和圖像法對同一函數(shù)不同角度的刻畫，為我們誕生了數(shù)形結(jié)合的思想，從而一元方程的解問題，就可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的一元函數(shù)交點問題，從圖形的角度，直觀的角度為我們描述方程的表達.

再拓展開來，初中教學(xué)中，二元一次方程組是十分常見和重要的內(nèi)容，我們接下來從函數(shù)的角度來理解它們.在正常的二元一次方程組的求解中，我們是通過消元的方法轉(zhuǎn)化為一元一次方程解決，這是代數(shù)的，計算的方法.通過剛才的分析，二元一次方程組中的某一個方程，可以理解為函數(shù)公式中將自變量和因變量挪到一側(cè)的形式，也就是函數(shù)表達的一般式，從圖像的角度來看，二元一次方程組中的任意一個方程對應(yīng)的都可以理解為一次函數(shù)的表達，即一條直線，那么二元一次方程組的解的問題，就可以轉(zhuǎn)化為兩條直線的交點問題.一個是抽象的計算的方程形式，一個是直觀的直線的形式，就這樣巧妙地聯(lián)系在一起.

三、函數(shù)與不等式

不等式同樣是初中數(shù)學(xué)中的一個重頭戲，最簡單的不等式，形如ax+b>0，可以發(fā)現(xiàn)它與方程ax+b=0的形式很像，而從剛才的分析可以看到，方程與函數(shù)有著很緊密的聯(lián)系，接下來我們嘗試從函數(shù)角度理解不等式ax+b>0的解x的取值范圍，不就是函數(shù)ax+b=y，y>0時所有x的取值范圍嗎，也就是說函數(shù)圖像在與x軸交點右側(cè)或左側(cè)x的取值范圍.

我們拓展開來，在二元一次不等式組中，每個不等式形如ax+by+c>0（b不為0），它可以跟函數(shù)y=-ax+cb聯(lián)系起來，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)為一次函數(shù)，其圖像為一條直線，這條直線將整個直角坐標系平面分為了兩部分，一側(cè)的所有點代入ax+by+c中都大于0，而另一側(cè)的所有點代入ax+by+c中都小于0，二元一次不等式組的解的取值范圍就可以理解成函數(shù)圖像中，多條直線所圍成的區(qū)域的取值范圍，與方程一樣，不等式也與函數(shù)圖像巧妙地結(jié)合在了一起.

四、總結(jié)

本文從函數(shù)的概念、表達形式入手，通過分析函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的形式的相似性，利用數(shù)形結(jié)合思想，巧妙地通過函數(shù)圖像的形式，展現(xiàn)出了函數(shù)與方程，函數(shù)與不等式的內(nèi)在聯(lián)系，利用圖像的直觀性探究了方程和不等式的本質(zhì)，為學(xué)生更好地掌握初中數(shù)學(xué)知識提供了幫助.