數(shù)學模型思想滲透的教學與思考

【摘 要】以蘇科版數(shù)學教材“用一元二次方程解決問題（1）”為例，從模型回顧、模型建構(gòu)、模型應用、總結(jié)提升四個教學環(huán)節(jié)闡述教學意圖，分析教學效能。從對模型思想的再認識、對模型思想滲透的再思考、對培養(yǎng)建模能力的再理解三個維度闡釋在初中數(shù)學教學中滲透模型思想的策略。

【關鍵詞】初中數(shù)學；模型思想；一元二次方程；解決問題

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）59-0046-04

【作者簡介】孫凱，江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校（江蘇蘇州，215151）教師，高級教師。

模型思想是數(shù)學的基本思想之一，數(shù)學模型是數(shù)學應用的重要形式，數(shù)學建模是應用數(shù)學知識解決實際問題的基本手段。

在初中階段，滲透模型思想是培養(yǎng)初中生數(shù)學建模能力的主要路徑。但在實際教學中，教師對模型思想的認識和理解不夠深刻，對模型思想的發(fā)掘和滲透不到位，導致學生對數(shù)學模型認識模糊、建構(gòu)模型能力不足。本文以蘇科版數(shù)學教材九年級上冊第一章“用一元二次方程解決問題（1）”為例，談談如何在數(shù)學教學中滲透建模思想，培養(yǎng)初中生的數(shù)學建模能力。

一、教材簡析

1.對教材的理解

“用一元二次方程解決問題”是蘇科版數(shù)學教材九年級上冊第一章“一元二次方程”第4節(jié)的教學內(nèi)容，教材在此小節(jié)設置了3課時教學內(nèi)容，每課時編排兩個典型問題。本課為第1課時，教材中設置的兩個問題分別為“面積問題”和“增長率問題”。兩個問題與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系，符合初中生的認知基礎和認知經(jīng)驗，有利于初中生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)運用數(shù)學知識解決實際問題，使學生在數(shù)學建模的過程中體會一元二次方程模型是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型。

在教學時，教師不應過于側(cè)重實際問題的歸類教學，而應淡化對問題的歸類，將教學重點聚焦于“類屬問題”的本質(zhì)上——數(shù)學模型的建構(gòu)。這才符合教材編寫者的真實意圖，也是進行實際問題教學的應有之義。

2.教學目標與解析

【教學目標】經(jīng)歷和體驗用一元二次方程解決“增長率問題”和“面積問題”的過程，進一步體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要數(shù)學模型［1］，增強數(shù)學應用意識，培養(yǎng)數(shù)學建模能力；會根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出一元二次方程并求解，能檢驗所得的結(jié)果是否符合實際意義；經(jīng)歷引模、建模、解模、驗模的數(shù)學建模過程，進一步提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決實際問題的能力。

【解析】從學生的認知基礎看，在“面積問題”中，建立一元二次方程模型是沒有障礙的。而在“增長率問題”中，學生的認知經(jīng)驗停留在“一次”增長上，往往對“二次”增長不太理解。因此，教學目標應指向?qū)W生經(jīng)歷和體驗建構(gòu)數(shù)學模型求解問題的過程，重點是滲透模型思想，幫助學生突破認知障礙，使學生在分析求解實際問題的過程中建構(gòu)不同的數(shù)學模型，培養(yǎng)數(shù)學建模能力。

二、教學過程

（一）模型回顧

引問：母親節(jié)期間，鮮花店里的某種鮮花價格上浮了20%，小明花18元買了一束鮮花送給媽媽，求這束鮮花原來的價格。

【教學意圖】本環(huán)節(jié)對教材上的問題順序進行了調(diào)整，先呈現(xiàn)增長率問題，從學生熟悉的“一次”增長問題著手，為“二次”增長的學習奠定基礎，有利于學生回顧用方程求解實際問題的一般步驟，喚醒其建構(gòu)方程模型求解實際問題的認知經(jīng)驗。

【效能分析】學生能理解“引問”中的數(shù)量關系，并總結(jié)用一元一次方程解決問題的一般步驟——審題、設未知數(shù)、找等量關系、列方程、求解、檢驗、作答。本題使學生初步體會從“起始數(shù)”到“終端數(shù)”的變化規(guī)律，初步感悟一次增長的數(shù)學結(jié)構(gòu)特征，為二次增長模型的學習奠定基礎。

（二）模型建構(gòu)

【問題1】某商店6月份的利潤是2500元，要使8月份的利潤達到3600元，平均每月利潤增長的百分率是多少？

【教學意圖】問題1屬于“二次增長型”增長率問題。在引問的基礎上，促進學生遷移認知經(jīng)驗，將“一次增長模型”拓展至“二次增長模型”，建立一元二次方程模型，使學生經(jīng)歷引模、建模、解模、驗模的數(shù)學建?；顒舆^程，對獲得的數(shù)學模型進一步抽象、概括，形成“增長率模型”a（1+x）2=b。

【效能分析】學生在“一次”增長的認知基礎上獲得一元二次方程模型2500（1+x）2=3600。在求解該方程模型時，教師應引導學生思考選用哪種解法比較合理，幫助學生完成求解模型的任務。在此環(huán)節(jié)，適時滲透模型思想，進一步引導學生將“起始數(shù)2500”和“終端數(shù)3600”符號化，使學生體會一類實際問題中穩(wěn)定的數(shù)學結(jié)構(gòu)，用數(shù)學模型的視角理解實際問題中蘊含的數(shù)學本質(zhì)。

【問題2】在淘寶網(wǎng)上購買了60m的柵欄圍成矩形場地。（1）寫出圍成的矩形場地面積y（m2）與長x（m）之間的關系式；（2）能圍成面積為200m2的矩形場地嗎？（3）能圍成面積為240m2的矩形場地嗎？

追問：你能提出一個有關面積的問題嗎？

【教學意圖】問題2屬于“矩形面積”問題。教師可先安排學生畫圖，引導其從幾何直觀的視角體會面積問題，感悟數(shù)學模型的幾何意義。在60m柵欄的實際背景下，設置了3個問題。第一個問題驅(qū)動學生獲得函數(shù)模型y=x（30-x），感悟矩形面積會隨長度的變化而變化，為建構(gòu)一元二次方程模型奠定基礎。后兩個問題涉及具體的矩形面積，即對面積y賦值，將函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為方程模型，驅(qū)使學生自覺感悟函數(shù)（二次函數(shù)）與方程（一元二次方程）的內(nèi)在聯(lián)系。追問環(huán)節(jié)預設學生會提出矩形場地面積最大的問題，引導學生運用“配方法”求最值，為后續(xù)研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)打下堅實基礎。

【效能分析】學生能畫出矩形輔助分析問題，寫出y=x（30-x）的函數(shù)模型，進一步將y更換為200或240，求解一元二次方程，獲得數(shù)學結(jié)果。在追問環(huán)節(jié)，學生能說出“圍成正方形時面積最大”，但面對“為什么圍成正方形時面積最大”這一問題，學生往往不能作出合理解釋。此時，教師應注重引導學生運用配方法解決最大值問題。

（三）模型應用

【習題】1.某服裝原價每件80元，經(jīng)過兩次降價，現(xiàn)售價每件51.2元。求該種服裝平均每次降價的百分率。

2.某商品連續(xù)兩次降價10%后價格為a元，則該商品的原價為（? ）。

A. [a/1.21]元? ?B. 1.12a元

C. [a/0.81]元? ?D. 0.81a元

3.一塊長方形菜地的面積是150m2。如果它的長減少5m，那么它就成為正方形菜地。求這個長方形菜地的長和寬。

4.學校打算用長16m的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠墻（如圖1），面積是30m2。求生物園的長和寬。

【教學意圖】本環(huán)節(jié)的4個問題分別對應了增長率模型和面積模型。其中題1、題2是對增長率模型的拓展，將“增長”拓展至“降低”，使學生在解決“新問題”的過程中體悟?qū)嶋H問題背后蘊含的數(shù)學本質(zhì)，將數(shù)學模型進一步完善為a（1±x）2=b。題3、題4是對面積模型ab=c的實際應用，學生從問題中找到長、寬、周長、面積之間的關系是解決問題的關鍵。

【效能分析】學生從題1中能正確建立一元二次方程模型，但在求解模型時，部分學生出現(xiàn)求解錯誤甚至不會求解的現(xiàn)象。題2相對簡單，學生能正確建立模型并出示結(jié)果。題3教師可引導學生畫圖分析題意，完成設、列、解、驗等步驟。在題4中，學生在建立模型求解出結(jié)果后，有很多學生不知道或者不會檢驗，因而教學中應及時予以強化。

（四）總結(jié)提升

本環(huán)節(jié)教師安排學生總結(jié)學習情況，思考、討論、交流、提升。（板書見圖2）

【教學意圖】引導學生從數(shù)學建模的視角總結(jié)建立一元二次方程解決問題的過程，滲透模型思想，培養(yǎng)數(shù)學建模能力。

【效能分析】借助板書設計總結(jié)利用一元二次方程解決問題的數(shù)學建模過程，幫助學生體悟模型思想。

三、教學思考

1.對模型思想的再認識

史寧中教授指出數(shù)學發(fā)展所依賴的思想本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型。其中模型是數(shù)學世界連接外部世界的橋梁。［2］

研究《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》不難發(fā)現(xiàn)，課標注重在代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)等“數(shù)與代數(shù)”領域內(nèi)容中滲透模型思想，從而幫助學生建立模型觀念。因此，在代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學概念教學中，教師應注重引導學生從實際問題情境中抽象出數(shù)學對象，進一步建立數(shù)學模型，這是教學的關鍵環(huán)節(jié)。就本節(jié)課而言，教師設計適切的實際問題，引導學生建立一元二次方程模型，體會模型思想是教學的核心。因此，在初中學段數(shù)學教學尤其是解決實際問題的教學中，引導學生從實際問題情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析問題，建立數(shù)學模型并求解問題，在認知系統(tǒng)中逐步建立模型思想尤為重要。

2.對模型思想滲透的再思考

（1）為什么要滲透

滲透模型思想是義務教育階段的數(shù)學教育明確的目標要求［3］，應在發(fā)展學生的符號意識、幾何直觀、運算能力、推理能力、模型思想和應用意識等方面有所作為。因此，教師應注重在解決實際問題的過程中滲透模型思想，使學生體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型。

（2）如何滲透

數(shù)學模型思想滲透教學一般分為模型回顧、模型建構(gòu)、模型應用三個環(huán)節(jié)。模型回顧是指新模型學習前的認知基礎，通過問題喚醒學生的數(shù)學模型認知經(jīng)驗，為建立新模型奠定基礎。模型建構(gòu)是指在原有認知基礎上的同化或順應，建立新的數(shù)學模型。模型應用是指運用新的數(shù)學模型解決實際問題，使學生在建立數(shù)學模型解決實際問題的過程中體會模型思想。

本節(jié)課模型思想滲透的三個環(huán)節(jié)以此為基礎，具體為：（1）模型回顧，引導學生回顧曾經(jīng)研究過的一元一次方程模型，喚醒經(jīng)驗；（2）模型建構(gòu)，以問題1、問題2為載體，驅(qū)動學生自主建構(gòu)二次函數(shù)、一元二次方程、一元一次不等式（組）等數(shù)學模型，體會不同數(shù)學模型的特征及內(nèi)在聯(lián)系；（3）模型應用，呈現(xiàn)四個拓展性的問題情境，促使學生運用習得的數(shù)學模型解決新的實際問題。

3.對培養(yǎng)建模能力的再理解

在初中階段，教師越來越重視在教學中滲透模型思想，但如何滲透模型思想、哪些教學內(nèi)容適合滲透、滲透到什么程度等問題依然困擾著很多教師。事實上，滲透模型思想的教學價值指向培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。需要說明的是，在初中數(shù)學教學中，滲透模型思想、開展綜合實踐活動是培養(yǎng)初中生數(shù)學建模能力的主要路徑，其中滲透模型思想是常規(guī)的、適切的、有效的培養(yǎng)路徑。

【參考文獻】

［1］孫凱.在數(shù)學建模中建立知識結(jié)構(gòu)——《一元二次方程》單元復習課教學設計與思考［J］.教育研究與評論，2021（2）：45-47.

［2］史寧中.數(shù)學思想概論（第一輯）——數(shù)量與數(shù)量關系的抽象［M］.長春：東北師范大學出版社，2008：1.

［3］周立棟.數(shù)學模型思想及其滲透教學［J］.上海教育科研，2015（10）：64-66.

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度課題“初中生數(shù)學建模能力培養(yǎng)與評價的實踐研究”（B-b/2020/02/104）的研究成果。