基于學(xué)科核心素養(yǎng)的“全等三角形”復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)

■楊文，陳開文

核心素養(yǎng)在全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)中具有重要作用和突出的地位，近年來，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已成為中小學(xué)課堂教學(xué)的指導(dǎo)思想和基本方向，如何在具體教育實(shí)踐中讓學(xué)科核心素養(yǎng)落地落實(shí)，這是廣大教育工作者必須厘清的關(guān)鍵問題。筆者以一堂青年教師賽課——北師大版初中數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第四章 “全等三角形的復(fù)習(xí)”為例，結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗鯓釉诔踔袛?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中將數(shù)學(xué)的核心知識(shí)、基本思想方法、數(shù)學(xué)精神等教育滲透到復(fù)習(xí)中[1]，從而真正做到有效提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，為教師在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中落實(shí)核心素養(yǎng)培養(yǎng)提供一些借鑒。

一、教學(xué)過程

（一）課前準(zhǔn)備，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就是要組織、實(shí)施好學(xué)科活動(dòng)。教者以活動(dòng)為引領(lǐng)，在課前準(zhǔn)備中為學(xué)生布置了一個(gè)前置活動(dòng)：1.用硬紙片剪出兩個(gè)等腰直角三角形；2.用兩個(gè)等腰直角三角形，拼成自己喜歡的圖形；3.上課時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們來分享拼好的圖形。

教學(xué)分析：由于活動(dòng)要求并沒有規(guī)定兩個(gè)等腰直角三角形的大小，故應(yīng)分類討論：可以是兩個(gè)一樣大小的等腰直角三角形，也可以是一大一小的等腰直角三角形。通過“前置活動(dòng)”的形式，不僅可以讓同學(xué)們回顧等腰直角三角形的基本性質(zhì)，還可以讓學(xué)生動(dòng)手裁剪、設(shè)計(jì)，最后拼接成一個(gè)美麗的圖形，從中感受到數(shù)學(xué)的美。在課堂上，讓同學(xué)們上講臺(tái)來展示自己的“作品”，并分享自己的設(shè)計(jì)方案和想法，還引出了本節(jié)復(fù)習(xí)課研究的所有基本圖形。整節(jié)課同學(xué)們都在研究自己設(shè)計(jì)出的圖形的性質(zhì)，這大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。以下是部分同學(xué)的拼圖：

圖1

圖2

圖3

圖4

（二）知識(shí)回顧，熟悉基本性質(zhì)

落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)就是要有過硬的學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)。好的教學(xué)設(shè)計(jì)要著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，因此，教者在新課伊始，設(shè)計(jì)了兩個(gè)與本節(jié)課相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的問題：（1）如圖5，已知ΔACE為等腰直角三角形，∠CAE=90°，AC=AE,請(qǐng)找出相等的角和線段。（2）如圖6，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，請(qǐng)找出相等的角和線段；線段BD與CE有什么位置關(guān)系？

圖5

圖6

教學(xué)分析：?jiǎn)栴}（1）根據(jù)等腰直角三角形的基本性質(zhì)，可以知道底角相等、腰相等，有一個(gè)角是直角。這不僅可以幫助學(xué)生回顧等腰直角三角形的基本性質(zhì)，還為后面的問題做鋪墊。教者由一個(gè)簡(jiǎn)單的等腰直角三角形入手，讓每個(gè)學(xué)生都可以參與進(jìn)來，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。問題（2）中相等的線段有AB=AD，AE=AC，通過線段的比較可以得到BE=CD。其中相等的角有∠A=∠A=90°，∠E=∠C=∠ABD=∠ADB=45°,∠EBD=∠CDB=135°，根據(jù)平行線的判定可以知道線段BD與CE的位置關(guān)系為互相平行。隨著圖形變得復(fù)雜，不僅考查了學(xué)生運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題的能力，還考查了學(xué)生對(duì)基本模型的識(shí)別能力，進(jìn)一步為后面的教學(xué)環(huán)節(jié)埋下伏筆。

（三）求同存異，回歸圖形本質(zhì)

落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是要抓住事物的本質(zhì)。三角形全等的重點(diǎn)在于圖形的變化較多，但究其本質(zhì)就是兩個(gè)三角形平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等變換，因此，教者以旋轉(zhuǎn)為抓手，引導(dǎo)學(xué)生從他們自己拼接成的圖形入手研究問題（3）：如圖7，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD，AC=AE，連接CD，BE，試找出圖形中的全等三角形；試探究BE與CD有什么關(guān)系。問題（4）：如圖8，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接CD，BE，試找出圖形中的全等三角形；試探究BE與CD有什么關(guān)系。問題（5）：如圖9，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接CD，BE，試找出圖形中的全等三角形；試探究BE與CD有什么關(guān)系。

圖7

圖8

圖9

教學(xué)分析：教者以旋轉(zhuǎn)變換為切口，用三角形全等來研究旋轉(zhuǎn)變換中的不變關(guān)系。根據(jù)旋轉(zhuǎn)型全等這個(gè)基本模型，不難發(fā)現(xiàn)圖7中全等的三角形為ΔABE和ΔADC。在全等的條件下，自然有BE=CD，本題的難點(diǎn)在于探究BE與CD的位置關(guān)系，值得注意的是在探究?jī)删€段之間的關(guān)系時(shí)，應(yīng)分類討論，其關(guān)系不僅包括位置關(guān)系，如平行、垂直等，還包括數(shù)量關(guān)系，即兩線段相等的情況。在問題（3）和問題（4）中需要延長(zhǎng)CD交BE于點(diǎn)F，根據(jù)轉(zhuǎn)移角的基本模型“蝴蝶型”，以問題（4）為例，如圖10，因?yàn)棣BE?ADC（SAS），所以∠FED=∠ACD,又因?yàn)閷?duì)頂角，所以∠FDE=∠ADC,在ΔFDE與ΔADC中，三角形內(nèi)角和均為180°，所以∠EFD=∠CAD=90°，所以BE⊥CD。本環(huán)節(jié)三個(gè)問題的已知條件基本一致，圖形具有變化的連續(xù)性，揭示出了本節(jié)課研究的主題：在等腰三角形的問題中，通常涉及全等、旋轉(zhuǎn)等元素，由于圖形均由學(xué)生自己拼接而成，大大地激發(fā)了學(xué)生研究的興趣。復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)不僅是要教會(huì)學(xué)生識(shí)別復(fù)雜圖形中的基本模型，更為關(guān)鍵的是教會(huì)學(xué)生研究基本模型變換的規(guī)律，抓住變換的本質(zhì)，從而做到舉一反三，知一通百。

圖10

（四）小組合作，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

本節(jié)課的難點(diǎn)在于同學(xué)們能否在教師的引導(dǎo)下，通過小組合作在原來的基本模型中探究出其他結(jié)論。先獨(dú)立思考，再小組討論，最后請(qǐng)小組分享成果。問題（6）：如圖11，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接CD，BE，連接AF，試說明∠BFA=∠CFA。問題（7）：如圖12，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接DE，BC，過點(diǎn)A作BC的垂線交BC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MA交DE于點(diǎn)N.試說明DN=EN。問題（8）：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己拼接的圖形，類比本節(jié)課探究的模式，命制一道題并給出解答。

圖11

圖12

教學(xué)分析：?jiǎn)栴}（6）要證明∠BFA=∠CFA，即證明AF平分∠BFC，根據(jù)角平分線的判定，過點(diǎn)A作AM⊥BE，AN⊥CD分別交BE，CD于點(diǎn)M，N，只要能夠證明AN=AM即可，根據(jù)問題（5）可知ΔABE?ADC（SAS），所以SΔABE=SΔADC且BE=CD，由等面積法可知三角形的高相等即AN=AM，所以AF 平分∠BFC，故∠BFA=∠CFA得證，本題涉及了全等的運(yùn)用，角平分線的判定以及遇到角平分線應(yīng)過角平分線上的點(diǎn)作角兩邊的垂線的基本模型。問題（7）考查了學(xué)生對(duì)“K”型全等的識(shí)別和運(yùn)用，如圖13，過點(diǎn)E，D，作EG⊥MN，DH⊥MN分別交MN于點(diǎn)G,H，因?yàn)椤螮AC=90°，所以∠EAG+∠CAM=90°，又因?yàn)镋G⊥MN，所以∠EAG+∠GEA=90°,所以∠GEA=∠CAM,又因?yàn)锳E=AC,所以ΔAGE?CMA （AAS），所以GE=AM；同理可得DH=AM，所以ΔDHN?EGN（A AS ）,所以DN=EN。教者為了進(jìn)一步深入挖掘題目中的價(jià)值，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究圖形的本質(zhì)，設(shè)置如下追問：若將DN=EN當(dāng)作條件，其他條件不變，能否證明AM⊥BC？問題（8）是一個(gè)開放性問題，充分利用課前活動(dòng)中拼接的圖形，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。本環(huán)節(jié)均是通過小組合作探究，圍繞同學(xué)們拼接而成的圖形，利用全等的基本模型繼續(xù)深入探究圖形的性質(zhì)，挖掘圖形的本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷研究圖形性質(zhì)的過程，提升獨(dú)立研究的能力。

圖13

二、教學(xué)反思

復(fù)習(xí)課是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分,通過對(duì)所學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，可讓學(xué)生進(jìn)一步理解知識(shí)[2]，鞏固已學(xué)過的知識(shí)、方法、思想，使其建立起系統(tǒng)的知識(shí)體系，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，也為新的學(xué)習(xí)內(nèi)容做鋪墊。

（一）在學(xué)科活動(dòng)中培養(yǎng)核心素養(yǎng)

學(xué)科知識(shí)與學(xué)科活動(dòng)是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的兩翼，學(xué)科知識(shí)是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主要載體，學(xué)科活動(dòng)是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主要路徑[3]。也就是說，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該堅(jiān)持杜威提倡的“做中學(xué)”，在學(xué)校學(xué)習(xí)過程中，則需要依托學(xué)科教育實(shí)踐活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)合理設(shè)計(jì)活動(dòng)，注重融入核心素養(yǎng)，以活動(dòng)來引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，從而實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的有效培養(yǎng)。由此，提出兩點(diǎn)建議：一是活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)具有明確、簡(jiǎn)潔、可操作性等特點(diǎn)；二是活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)緊貼復(fù)習(xí)課主題或生活情景。

（二）在問題探究中培養(yǎng)核心素養(yǎng)

無論我們采取何種方式方法設(shè)計(jì)落實(shí)核心素養(yǎng)的復(fù)習(xí)課，核心素養(yǎng)的落地都高度依賴問題情景，正是高質(zhì)量的問題串設(shè)計(jì)[4]，才能有效溝通知識(shí)和素養(yǎng)之間的聯(lián)系，借助于問題串可以幫助學(xué)生更好地鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提升學(xué)生使用數(shù)學(xué)方法分析問題和解決問題的能力，而且通過問題串的設(shè)計(jì)豐富了學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)程，有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的提升[5]。通俗地講，復(fù)習(xí)課就是基于一個(gè)能夠體現(xiàn)核心素養(yǎng)的核心問題，并將其分解為一個(gè)個(gè)問題串，引導(dǎo)學(xué)生在探究實(shí)踐中一步步靠近復(fù)習(xí)課的最終問題的解決。由此，提出兩點(diǎn)建議：一是問題串的設(shè)計(jì)要重視生活情景和知識(shí)情景的創(chuàng)設(shè)；二是問題串的設(shè)計(jì)要設(shè)置梯度，層層深入，把看似零散的概念、規(guī)律有機(jī)滲透在問題探究的全過程[6]，更要有意識(shí)地重視開放性問題的設(shè)計(jì)。

（三）在創(chuàng)新實(shí)踐中培養(yǎng)核心素養(yǎng)

創(chuàng)新不是憑空臆造的，而是建立在知識(shí)的傳播、轉(zhuǎn)化和應(yīng)用的基礎(chǔ)之上的，無論是知識(shí)的創(chuàng)新還是技術(shù)的創(chuàng)新，都離不開教育[7]。教者在最后設(shè)置的問題（8）中，利用學(xué)生活動(dòng)成果，模仿課堂圖形探究流程，充分發(fā)揮他們的想象，讓學(xué)生自己提出問題、分析問題，并解決問題，積累創(chuàng)新活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升學(xué)生創(chuàng)新的意識(shí)。由此，提出三點(diǎn)建議：一是重視學(xué)科活動(dòng)的設(shè)計(jì)； 二是發(fā)揮小組合作優(yōu)勢(shì)；三是精心設(shè)計(jì)問題串。

三、結(jié)語

促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展是初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的重要方向，因此，復(fù)習(xí)不是簡(jiǎn)單的對(duì)新課期間所學(xué)的知識(shí)“炒冷飯”，也不是針對(duì)新課期間的難點(diǎn)反復(fù)地“機(jī)械刷題”，而是借助具有結(jié)構(gòu)性的問題從更高的視角讓學(xué)生聯(lián)系地、整合地、本質(zhì)地看待所學(xué)習(xí)過的內(nèi)容[8]。基于核心素養(yǎng)的復(fù)習(xí)課教學(xué)需要教師更好地理解數(shù)學(xué)，創(chuàng)造性地設(shè)置活動(dòng)，巧妙地設(shè)置問題串，堅(jiān)持培養(yǎng)創(chuàng)新能力，切實(shí)將培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)融入復(fù)習(xí)課的每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展[9]。