聯(lián)系廣義Kaup-Newell譜問(wèn)題的一類(lèi)方程的解

翟子璇，李 琪*，段求員，林清芳

(1.東華理工大學(xué)理學(xué)院，330013，南昌；2.撫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，344000，江西，撫州)

0 引言

非線(xiàn)性科學(xué)是繼相對(duì)論、量子力學(xué)之后自然科學(xué)界又一次新的大革命。而孤子理論作為應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理的重要組成部分，已然成為非線(xiàn)性科學(xué)中的一個(gè)重大研究課題。其中，尋求孤子方程的精確解是孤子理論中的一個(gè)重要專(zhuān)題，并已發(fā)展出諸多可行的方法，如齊次平衡原則[1]、反散射法[2-3]、Darboux變換[4]、Wronskian技巧[5-7]等。

本文將考慮耦合Gerdjikov-Ivanov(GI)方程

(1a)

(1b)

其所對(duì)應(yīng)的譜問(wèn)題：

聯(lián)系廣義Kaup-Newell譜問(wèn)題[8]

(2a)

時(shí)間發(fā)展式：

(2b)

其中，q=q(t,x),r=r(t,x)是位勢(shì)函數(shù)，λ是x與無(wú)關(guān)的譜參數(shù)。

1 方程(1)的雙Wronskian解

首先，對(duì)方程(1)作分式變換

(3)

則有方程(1)的雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方程

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

定理1：雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方程(4)有雙Wronskian解

(5)

其中φj,ψj滿(mǎn)足

(6a)

φj,t=2φj,xx,ψj,t=-2ψj,xx

(6b)

證明：

1)考慮譜問(wèn)題(2a)與時(shí)間發(fā)展式(2b)。

令式(2a)中q=r=0，則

(7a)

即

φ1,x=-iλ2φ1,φ2,x=iλ2φ2

(7b)

再令(2b)中q=r=0，則

(8a)

也即

φ1,t=-2λ4φ1,φ2,t=2λ4φ2

(8b)

取k=-2iλ2,φ1=φ,φ2=ψ，則由式(7)與式(8)可知

(9a)

(9b)

2)計(jì)算雙Wronskian行列式f,g,s與h對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，得

又由式(9b)得f,g,s與h對(duì)t的導(dǎo)數(shù)，

將f,g及其關(guān)于x,t的各階導(dǎo)數(shù)代入(4a)左端，根據(jù)恒等式：

以及行列式的性質(zhì)：

① 設(shè)M為N×(N-2)矩陣，a,b,c與d都是N維列向量，則

|M,a,b||M,c,d|-|M,a,c||M,b,d|+

|M,a,d||M,b,c|=0

(10)

② 設(shè)aj,(j=1,2,…,N)是N維列向量，γj≠0,(j=1,2,…,N)是N個(gè)實(shí)常數(shù)，則

(11)

其中，γaj=(γ1a1j,γ2a2j,…,γNaNj)T。

可得：

=0。

故雙Wronskian行列式(5)滿(mǎn)足方程(4a)。同理可證，行列式(5)也滿(mǎn)足式(4b)。

類(lèi)似地，將f,g,s與h對(duì)x的各階導(dǎo)數(shù)代入式(4c)，根據(jù)恒等式：

以及行列式的性質(zhì)(10)與(11)。

得到：

=0。

故雙Wronskian行列式(5)滿(mǎn)足方程(4c)。同理可證，行列式(5)也滿(mǎn)足式(4d)。

因此，方程(1)存在雙Wronskian解

(12)

推論：雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方程(4)有廣義雙Wronskian解

(13)

其中，φj,ψj滿(mǎn)足

φj,x=Aφj,ψj,x=-Aψj

(14a)

φj,t=2φj,xx,ψj,t=-2ψj,xx

(14b)

其中，A=(aij)(N+M)×(N+M)是與t,x無(wú)關(guān)的任意實(shí)矩陣。而方程(1)的廣義雙Wronskian解為

(15)

2 孤子解與有理解

方程(14)有通解

φ=e2A2t+AxC,ψ=e-2A2t-AxD

(16)

其中，C=(c1,c2,…,cN+M)T,D=(d1,d2,…,dN+M)T是與t,x無(wú)關(guān)的任意常向量。

將式(16)展開(kāi)成級(jí)數(shù)形式得

(17a)

(17b)

若A為對(duì)角陣，

(18)

將式(18)代入式(17)得

(19)

當(dāng)N=M時(shí)，由式(19)構(gòu)成的雙Wronskian行列式f,g,s與h所確定的式(3)為方程(1)的N-孤子解。

若A為簡(jiǎn)單的Jordan陣，

(20)

且AN+M=0，故式(17)截?cái)酁?/p>

(21a)

(21b)

此時(shí)，φ與ψ的分量表達(dá)式分別為

(22a)

(22b)

由式(22)所確定的式(13)即為雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方程(4)的有理解。

特別地，令c1=d1=1,ck=dk=0,(k=2,3,…,N+M)，由式(22)有

(23)

取j=1,2,3,4，得

當(dāng)N=M=1;N=2,M=1;N=1,M=2;N=M=2時(shí)，雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方程(4)的多項(xiàng)式解分別為

f=-1,g=1,s=-2x,h=4i;

f=2x,g=1,s=2(x2-2t),h=8i(x2+2t);

f=-1,g=2x,s=-2(x2+2t),h=4i;

因此，方程(1)的有理解分別為

3 結(jié)束語(yǔ)

本文由廣義Kaup-Newell譜問(wèn)題得到耦合GI方程，并給出對(duì)應(yīng)的雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方程，進(jìn)而利用Wronskian技巧求得耦合GI方程的廣義雙Wronskian解，包括孤子解及有理解，在后續(xù)的研究工作中，將繼續(xù)探討雙Wronskian解的約化與Matveev解、Complexiton解以及混合解等更多精確解的導(dǎo)出。