壓裂縫的動(dòng)態(tài)滲透性能及其聲波測(cè)井評(píng)價(jià)

李煥然 ，唐曉明 ，李盛清 ，蘇遠(yuǎn)大

（1. 中國(guó)石油大學(xué)（華東），山東青島 266580；2. 中國(guó)石油大學(xué)（華東）深層油氣重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266580）

0 引言

通過(guò)研究地層中裂縫（天然或人工壓裂）滲透性對(duì)彈性波傳播的影響，已發(fā)展出基于微地震、VSP（垂直地震剖面）和井筒管波等多種測(cè)量技術(shù)的裂縫評(píng)價(jià)方法[1-3]。近年來(lái)中國(guó)在“深海、深地”大力開展油氣勘探，勘探深度的增加，導(dǎo)致成本上升和測(cè)量精度降低，影響了這些方法的評(píng)價(jià)效果。

聲波測(cè)井作為井下常用探測(cè)技術(shù)，具有原位測(cè)量、精度高等優(yōu)勢(shì)。測(cè)井中的低頻斯通利波在滲透性地層中產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)滲流效應(yīng)已有大量的理論[4-5]和實(shí)驗(yàn)[6-7]研究，利用斯通利波傳播中的反射、透射以及波的頻散和衰減的裂縫評(píng)價(jià)方法已有廣泛應(yīng)用[8-9]。但是，這些方法主要是針對(duì)天然裂縫，在壓裂縫中的應(yīng)用鮮有報(bào)道。壓裂縫的形態(tài)較為復(fù)雜，在空間展布上具有分形特征[10]，此外其滲透性能變化巨大，壓裂縫縫寬從初期支撐開啟時(shí)的百微米級(jí)（滲透率為數(shù)百平方微米）降至壓實(shí)閉合時(shí)的微米級(jí)（滲透率為幾個(gè)至數(shù)十平方微米）甚至更低，這些變化導(dǎo)致測(cè)井聲場(chǎng)發(fā)生復(fù)雜變化。另一個(gè)必須考慮的重要因素是，壓裂施工前普遍需要固井和射孔完井，在射孔后的套管井條件下，壓裂縫中的滲流與井孔聲場(chǎng)的相互作用只能通過(guò)射孔孔眼進(jìn)行，其耦合條件和裸眼井與天然裂縫的耦合條件有較大差異。

針對(duì)上述壓裂縫的各種相關(guān)因素，本文從實(shí)驗(yàn)壓裂數(shù)據(jù)出發(fā)建立壓裂縫的滲透率模型，用有限差分方法求解動(dòng)態(tài)滲流的擴(kuò)散型波動(dòng)方程，再利用簡(jiǎn)化的Biot-Rosenbaum（B-R）理論[11]將壓裂縫的動(dòng)態(tài)滲流通過(guò)套管井壁的射孔與井孔聲場(chǎng)耦合。據(jù)此分析斯通利波的速度頻散特征與壓裂縫滲透性能的關(guān)系，得到壓裂縫滲透性能的評(píng)價(jià)方法，并用現(xiàn)場(chǎng)實(shí)例驗(yàn)證方法的有效性。

1 壓裂縫動(dòng)態(tài)滲流有限差分模擬

壓裂地層是由低滲透基巖和壓裂縫網(wǎng)組成的復(fù)雜非均勻滲透介質(zhì)，在角頻率為ω的波動(dòng)激勵(lì)下，介質(zhì)內(nèi)部流體空間x處的動(dòng)態(tài)滲流滿足的擴(kuò)散型波動(dòng)方程[11]為：

（1）式中，α為流體擴(kuò)散率，其表達(dá)式為：

（2）式中，ξ為介質(zhì)骨架彈性的修正量，假設(shè)巖石骨架相對(duì)于流體不可壓縮，可取ξ=0；K(ω,x)為Johnson等描述動(dòng)態(tài)滲流的動(dòng)態(tài)滲透率[12]，其表達(dá)式為：

（3）式中，K0(x)是ω=0時(shí)的靜態(tài)滲透率，為空間坐標(biāo)x的函數(shù)。τ和m與孔隙或裂縫形狀有關(guān)[12]：在孔隙型介質(zhì)中，τ≈3，m=2，φ為實(shí)際孔隙度；在裂縫型介質(zhì)中，τ=1，m=3，φ=1。K(ω,x)隨頻率的變化可以使（1）式描述的流體壓力傳導(dǎo)從低頻時(shí)的黏滯滲流（擴(kuò)散型方程）變化到高頻時(shí)的聲壓傳播（波動(dòng)型方程）[11]。

壓裂地層的非均勻性導(dǎo)致（3）式中K0(x)在空間上的變化。假設(shè)壓裂縫在井軸方向的排列具有相似的形態(tài)，只考慮K0(x)在與井軸（z軸）垂直平面（xOy）上的變化，即K0(x)=K0(x,y)，可將壓裂地層的模擬簡(jiǎn)化為二維平面模型。研究人員對(duì)壓裂縫展布的空間形態(tài)做了大量實(shí)驗(yàn)研究，用等比例縮小的巖石塊或水泥澆注體作為“基巖”試件，試件中心設(shè)置穿孔鋼管作為射孔套管井，對(duì)試件施以圍壓，再向井孔中注入高壓液體使井周地層破裂產(chǎn)生壓裂縫網(wǎng)。Lee等[10]的分析表明，這樣的縫網(wǎng)[13]具有分形特征，可較為真實(shí)地反映實(shí)際地層的壓裂縫形態(tài)，采用閾值分割的圖像處理算法可以獲取如圖1a所示的壓裂縫輪廓。

圖1 基于壓裂實(shí)驗(yàn)和縫面分形算法的壓裂地層滲透率模型

壓裂縫面的不規(guī)則變化是造成其滲透率隨空間位置變化的原因。本文采用 Brown[14]提出的基于分形控制的縫面形態(tài)構(gòu)型算法，以最小縫寬（完全接觸，縫寬為零）和最大縫寬為參考值，在壓裂縫輪廓內(nèi)部按分形展布賦予縫寬變化，所生成的不規(guī)則縫寬近似于正態(tài)分布，其平均縫寬約為最大縫寬的一半。壓裂縫的滲透率變化按裂縫在各處的縫寬（d）用公式K0=d2/12轉(zhuǎn)化為靜態(tài)滲透率[15]。例如，對(duì)圖1a所示的壓裂縫分布，將試件尺寸等比例放大到與實(shí)際井孔模型尺寸相當(dāng)，就得到如圖1b所示的壓裂地層滲透率模型，模型尺寸為4.096 m×4.096 m，網(wǎng)格數(shù)為256×256。圖1b中滲透率已按最大值歸一化，歸一化滲透率為1和0分別指示模型中滲透率的最大值和最小值，色調(diào)明暗的變化反映了壓裂縫滲透率在井周的非均勻變化。

上述基于壓裂實(shí)驗(yàn)和壓裂縫面分形算法構(gòu)建的壓裂地層滲透率模型為數(shù)值模擬奠定了基礎(chǔ)。本文數(shù)值模擬參考統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)[16]以滲透率為 1×10-3μm2、孔隙度為8%的致密砂巖作為基巖，基巖的彈性參數(shù)[17]及套管井介質(zhì)的各項(xiàng)參數(shù)如表 1所示，井中和地層流體黏度取 1.14 mPa·s。

表1 模型介質(zhì)參數(shù)

在基巖壓裂過(guò)程中，壓裂液攜帶支撐劑顆粒（石英砂等）進(jìn)入地層，為使支撐劑達(dá)到最佳的滲入和支撐效果，常用顆粒粒徑通常為 0.15～2.00 mm（10～100目）。在地層壓力作用下，壓裂縫經(jīng)歷了初期支撐開啟、中期壓實(shí)和最終趨于穩(wěn)定的多個(gè)階段，縫寬由最初的上百微米變化到最終的幾微米，對(duì)應(yīng)的滲透率也從上百平方微米降至幾平方微米。

根據(jù)以上模型和參數(shù)求解（1）式。由于壓裂地層滲透率在空間的非均勻變化，必須使用數(shù)值方法求解該方程。本文采用ADI（Alternate Direction Implicit，交替方向隱式）有限差分方法計(jì)算壓裂地層中隨頻率變化的動(dòng)態(tài)滲流，采用ADI差分格式是因?yàn)槠淞己玫臄?shù)值穩(wěn)定性[18]。

將沿套管井以波數(shù)ke傳播的斯通利波作為激勵(lì)源，則（1）式中的地層滲流壓力具有相同的z方向（井軸方向）傳播因子 eikez p，由此可將（1）式轉(zhuǎn)化為：

適用于方程（4）的井孔模型邊界條件為：

在此邊界條件下用ADI差分法求解（4）式即可得到給定頻率下地層中的動(dòng)態(tài)流體壓力p(x,y)，差分格式及計(jì)算過(guò)程詳見文獻(xiàn)[18]。

以頻率為500 Hz，最大滲透率（Kmax）為200 μm2的壓裂縫為例，該算例對(duì)應(yīng)最大縫寬約為50 μm，平均縫寬約為25 μm，平均縫寬下滲透率（K′）為 50 μm2，為方便分析，后文以滲透率代替縫寬進(jìn)行標(biāo)注。該壓裂縫的壓力場(chǎng)如圖2a所示，圖中壓力幅度已按最大值歸一化，幅度大小由顏色顯示，所在位置顏色越亮表示流體壓力越大。作為比較，圖2b給出了K′=50 μm2的平板縫模型的計(jì)算結(jié)果。二者相比可以看出，壓裂縫中的動(dòng)態(tài)滲流主要限于縫內(nèi)，這意味著壓裂后致密地層中的滲透能力主要來(lái)自人工壓裂縫網(wǎng)，而基巖的滲透率很低，對(duì)滲流的貢獻(xiàn)可以忽略。

圖2 井周動(dòng)態(tài)滲流的ADI有限差分模擬結(jié)果

在圖 2計(jì)算的流體壓力場(chǎng)中提取井壁至模型邊界（藍(lán)色虛線標(biāo)記）的壓力分布曲線（見圖3），不同顏色的曲線分別表示壓力的幅度、實(shí)部和虛部。壓裂地層的動(dòng)態(tài)滲流壓力場(chǎng)主要分布在井周 0～2 m的范圍內(nèi)，在聲波測(cè)井頻率下，井孔聲場(chǎng)可以激發(fā)和感知該范圍內(nèi)的流體動(dòng)態(tài)滲流效應(yīng)。壓裂縫中的流體動(dòng)態(tài)滲流的局部變化受縫面不規(guī)則形態(tài)控制，無(wú)法直接與平板縫結(jié)果對(duì)比，但與井孔聲場(chǎng)相互作用的是縫內(nèi)滲流的整體效應(yīng)，該效應(yīng)變化規(guī)律可通過(guò)對(duì)井孔聲場(chǎng)的分析體現(xiàn)出來(lái)。

圖3 井周動(dòng)態(tài)滲流壓力曲線沿徑深的變化

2 壓裂地層的井孔斯通利波響應(yīng)

B-R理論[19]描述了井孔聲場(chǎng)與滲透性地層的相互作用。簡(jiǎn)化的B-R理論是該復(fù)雜理論在低頻斯通利波的應(yīng)用中得到的解析表達(dá)式[11]，其有效性已被理論和實(shí)驗(yàn)證實(shí)，并廣泛應(yīng)用于地層滲透率反演，取得了良好應(yīng)用效果。然而，壓裂作業(yè)通常在套管井射孔后進(jìn)行，受套管和水泥環(huán)限制，井孔聲場(chǎng)與地層動(dòng)態(tài)滲流只能通過(guò)套管上的射孔孔眼相互作用，如圖 4所示，假設(shè)地層中的射孔道因壓裂改造而消失，可以不考慮其影響。

圖4 射孔套管井與地層流體的相互作用示意圖

結(jié)合 Tang等[11]的理論推導(dǎo)和考慮套管射孔孔眼影響的簡(jiǎn)化B-R理論，給出斯通利波波數(shù)表達(dá)式：

該理論的實(shí)質(zhì)就是在彈性傳播波數(shù)ke的基礎(chǔ)上加上了井壁滲流的影響，即（6）式根號(hào)中的第2項(xiàng)。其中β為射孔孔眼系數(shù)，該系數(shù)與射孔孔眼面積、射孔密度以及井徑等有關(guān)，根據(jù)常用參數(shù)計(jì)算可得β∈（0,0.2），本文中β取 0.1；R為套管內(nèi)半徑，即表 1井中流體外半徑；a為儀器外半徑，一般小于0.05 m；為裸眼井情況下井壁處動(dòng)態(tài)滲流通量與其壓力的比值，即井壁導(dǎo)流率，在均勻地層中可按（7）式[4]計(jì)算：

但對(duì)于復(fù)雜壓裂地層的有限差分解，需利用動(dòng)態(tài)滲流的數(shù)值模擬結(jié)果計(jì)算井壁導(dǎo)流率。首先將直角坐標(biāo)系中求解（4）式得到的壓力場(chǎng)p(x,y)通過(guò)（8）式變換為極坐標(biāo)系下的p(r,θ)，變換過(guò)程中坐標(biāo)系網(wǎng)格點(diǎn)上的壓力值可通過(guò)網(wǎng)格插值求得。

再將p(r,θ)代入（9）式中的積分計(jì)算全井周上的平均導(dǎo)流率[18]：

（9）式中的積分和微商分別通過(guò)求和與差分計(jì)算，由此得到（6）式中的井壁導(dǎo)流率，進(jìn)一步得到壓裂地層斯通利波波數(shù)的數(shù)值解，再通過(guò)（10）式計(jì)算斯通利波的相速度頻散：

（10）式中Re表示取實(shí)部，下文同。

地層滲流在井壁處的導(dǎo)流率直接反映了壓裂地層的滲透性能，可以用來(lái)驗(yàn)證數(shù)值解的準(zhǔn)確性。

以圖2模型2=50 μmK′ 的情況為例，圖5a和圖5b分別給出了0～5 kHz頻率范圍內(nèi)解析解及數(shù)值解計(jì)算的壓裂縫、平板縫的井壁導(dǎo)流率幅度值和斯通利波速度頻散。利用（7）式和（9）式計(jì)算得到的平板縫井壁導(dǎo)流率幅值吻合良好（見圖5a），即解析解和數(shù)值解吻合良好；將它們代入（6）式和（10）式計(jì)算得到的斯通利波速度頻散也吻合良好（見圖5b），進(jìn)一步驗(yàn)證了數(shù)值解的準(zhǔn)確性。但是，壓裂縫與其對(duì)應(yīng)平板縫的井壁導(dǎo)流率幅度值和斯通利波速度頻散均有顯著差異，特別是在2 kHz以下的低頻范圍內(nèi)。這種差異一方面來(lái)自壓裂縫形態(tài)和縫寬的強(qiáng)非均勻變化；另一方面，滲透率與縫寬的二次方關(guān)系導(dǎo)致壓裂縫的平均滲透率略大于平均縫寬滲透率。使用壓裂縫整體的平均滲透率（≈70 μm2）的計(jì)算結(jié)果（由（7）式計(jì)算得到）與壓裂縫的計(jì)算結(jié)果更為貼近（見圖5b等效平板縫及壓裂縫斯通利波速度頻散曲線），因此可認(rèn)為斯通利波速度頻散曲線反映的是壓裂地層中壓裂縫的平均滲透率。以這一重要結(jié)論為基礎(chǔ)，進(jìn)一步討論不同滲透率（壓裂縫縫寬狀態(tài)）下的斯通利波速度頻散特征，根據(jù)表 1的參數(shù)，利用（6）式和（7）式計(jì)算了壓裂縫平均滲透率分別為25，50，75，100 μm2的斯通利波速度頻散曲線（見圖 6），不考慮儀器影響，（6）式中設(shè)a=0。鑒于B-R理論通常應(yīng)用于中、低滲透地層，有必要對(duì)此處考慮的高滲透裂縫情況進(jìn)行討論。

圖5 壓裂縫與平板縫的模擬結(jié)果對(duì)比

圖6 不同平均滲透率壓裂縫（平板縫）的斯通利波速度頻散曲線變化

圖 6中，在較低滲透率（25 μm2）情況下，斯通利波速度隨著頻率降低單調(diào)下降，隨著滲透率升高（50 μm2），這種下降趨勢(shì)更為明顯。然而，隨著滲透率進(jìn)一步升高（75，100 μm2），斯通利波在一定頻段上不降反升，出現(xiàn)了 1個(gè)極值。該頻段以下，波速隨著頻率降低迅速下降，該頻段以上，波速隨著頻率升高緩慢下降并趨于 1個(gè)常數(shù)。這個(gè)現(xiàn)象可用裂縫中滲流滿足的擴(kuò)散型波動(dòng)方程（（1）式）來(lái)解釋：在動(dòng)態(tài)激勵(lì)下，流體的黏滯流動(dòng)僅限于界面附近一個(gè)趨膚深度的范圍，對(duì)裂縫而言，該趨膚深度定義了裂縫的黏性趨膚深度，例如，1 kHz頻率下，飽含水的裂縫的黏性趨膚深度約 20 μm。低頻情況下，黏性趨膚深度較大，（1）式描述的流體運(yùn)動(dòng)以黏滯滲流為主，其與井孔聲場(chǎng)的耦合降低了斯通利波速度；而當(dāng)裂縫滲透率變大和頻率升高（黏性趨膚深度忽略不計(jì)）時(shí)，（1）式轉(zhuǎn)化為波動(dòng)方程，這時(shí)裂縫中流體運(yùn)動(dòng)為Krauklis[20]、Ferrazzini和Aki[21]等討論過(guò)的平板縫中的波動(dòng)，學(xué)界常稱為 Krauklis波。井壁黏滯滲流的消失對(duì)井孔聲場(chǎng)的解耦使斯通利波波速升高并趨向于自由空間的流體聲速。波速升高后隨頻率升高而下降是因?yàn)樗雇ɡúㄋ僭诟哳l時(shí)趨于低于流體聲速的Scholte波速[22]。

將壓裂縫的平均滲透率與（7）式的解析解結(jié)合將為下文的評(píng)價(jià)模型提供快捷有效的正演計(jì)算方法，同時(shí)前文的理論模擬和數(shù)值分析預(yù)示了壓裂地層聲波測(cè)井中的一個(gè)重要現(xiàn)象，即壓裂縫開啟時(shí)的高滲透性使得斯通利波速度頻散在1 kHz左右的頻段內(nèi)產(chǎn)生1個(gè)峰值。這個(gè)現(xiàn)象在滲透性儲(chǔ)集層[16]（滲透率約（0.1～2 000）×10-3μm2）測(cè)井中未有過(guò)報(bào)道，是壓裂地層的特殊現(xiàn)象。因此，這個(gè)現(xiàn)象的存在與否是壓裂有效性的一個(gè)特征判據(jù)。

3 基于井孔斯通利波速度頻散的壓裂縫滲透能力評(píng)價(jià)模型

前文模擬分析了在井軸方向貫通的壓裂縫地層模型中的斯通利波速度頻散特征及其平均滲透率的等效關(guān)系，但很多情況下，在地應(yīng)力控制下（如水平井情況），每個(gè)射孔孔眼附近處裂縫沿井的開啟高度小于射孔間距，即壓裂縫叢在井軸方向沒有有效貫通。為此，本文考慮更為一般的壓裂縫叢模型，如圖7a所示在相鄰射孔孔眼間存在垂直井軸并在基質(zhì)地層中交替排列的壓裂縫層，利用圖 5分析得到的等效關(guān)系可將其進(jìn)一步簡(jiǎn)化為圖7b所示的壓裂縫層狀模型?？紤]到壓裂區(qū)間內(nèi)的地應(yīng)力變化較小可以忽略，本文假定相鄰壓裂縫層厚度（hfrac）和基質(zhì)地層厚度（hfm）相同，并定義壓裂縫沿井軸的壓裂貫通系數(shù)γ=hfrac/(hfrac+hfm)，其中（hfrac+hfm）恒等于射孔間距（與射孔密度有關(guān)），γ∈[0,1]，kfrac和kfm分別為射孔處壓裂縫層和基質(zhì)地層的斯通利波波數(shù)。特別地，當(dāng)γ=1時(shí)，壓裂縫叢在井軸方向貫通，相鄰射孔間不存在未貫通的基質(zhì)地層（hfm=0）；當(dāng)γ=0時(shí)，壓裂縫未開啟（hfrac=0），僅有基質(zhì)地層。在實(shí)際情況下射孔間距在0.02～0.06 m，而1 kHz頻率的斯通利波波長(zhǎng)大于1 m，因此可以采用等效介質(zhì)（Effective Medium）方法將0＜γ＜1條件下模型的斯通利波速度視為波在壓裂縫層和基質(zhì)地層速度的加權(quán)平均（權(quán)重為γ），如下式所示。

圖7 壓裂井模型及其簡(jiǎn)化模型示意圖

上式中的kfrac按（6）式進(jìn)行計(jì)算，kfm即為該式中的ke。（11）式及其對(duì)壓裂縫的模擬計(jì)算提供了一個(gè)壓裂縫滲透性能的評(píng)價(jià)模型。壓裂貫通系數(shù)的引入，使得該模型既適用于直井也適用于水平井。

根據(jù)前述模擬參數(shù)，用（11）式計(jì)算了壓裂貫通系數(shù)為0，0.25，0.50，0.75，1.00，壓裂縫的平均滲透率分別為25，100 μm2時(shí)的斯通利波速度頻散曲線（見圖8）。壓裂貫通系數(shù)小于1時(shí)的頻散曲線形態(tài)與貫通時(shí)（γ=1）相似，但壓裂貫通系數(shù)趨近于0時(shí)動(dòng)態(tài)滲流的作用明顯變小，斯通利波速度頻散趨于彈性地層的情況。壓裂貫通系數(shù)反映了壓裂縫叢的連通狀態(tài)，是一個(gè)重要的評(píng)價(jià)參數(shù)。

圖8 不同壓裂縫滲透率下壓裂地層斯通利波速度頻散曲線隨壓裂貫通系數(shù)的變化

在評(píng)價(jià)模型的實(shí)際應(yīng)用中，首先需要從壓裂后地層的聲波測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)中提取斯通利波速度頻散數(shù)據(jù)。此外還需要確定一些模型參數(shù)，如流體和測(cè)井儀器參數(shù)、射孔孔眼系數(shù)和彈性斯通利波波數(shù)等。這些參數(shù)可通過(guò)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)直接獲取，或通過(guò)選取非壓裂段進(jìn)行標(biāo)定。頻散數(shù)據(jù)的提取和參數(shù)的標(biāo)定方法參見文獻(xiàn)[22]。射孔孔眼系數(shù)來(lái)自射孔作業(yè)所使用的工具。在以上工作的基礎(chǔ)上，構(gòu)建以下目標(biāo)函數(shù)來(lái)反演壓裂縫的平均滲透率和壓裂貫通系數(shù)。

（12）式中，vm為按（6）式計(jì)算的理論斯通利波速度，f為頻率，在頻散數(shù)據(jù)提取區(qū)間的下限fmin和上限fmax范圍內(nèi)取值。使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小的和γ值即為地層壓裂縫的平均滲透率和壓裂貫通系數(shù)。

4 現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用和分析

圖9為某一水平生產(chǎn)井的應(yīng)用實(shí)例。如圖9a所示，在1 183～1 187 m和1 192～1 194 m兩個(gè)層段進(jìn)行了壓裂作業(yè)。壓裂前后伽馬曲線及縱波慢度曲線差異較小（見圖9a），說(shuō)明壓裂后巖性總體上未產(chǎn)生大幅變化。利用縱波徑向走時(shí)層析技術(shù)[23]處理得到了壓裂后縱波徑向聲速差異剖面（見圖9a），該技術(shù)依據(jù)不同接收器接收聲波的不同徑向穿透時(shí)間來(lái)反映井周地層徑向聲速變化，對(duì)比壓裂段與未壓裂段可以觀察到壓裂段附近徑向聲速差異剖面色彩變化，說(shuō)明井周產(chǎn)生了裂縫，致使徑向聲速降低。特別值得關(guān)注的是，斯通利波（中心頻率約為1.5 kHz）在壓裂段的到時(shí)與未壓裂段相比明顯“前趨”，這意味著壓裂段內(nèi)波速變快，與前述的高滲透裂縫引起的低頻斯通利波波速的峰值現(xiàn)象密切相關(guān)。

取上部壓裂段的中點(diǎn)（1 185 m）和未壓裂段參考點(diǎn)（1 177 m）的斯通利波陣列波形進(jìn)行對(duì)比（見圖9b），壓裂段的波形較未壓裂段產(chǎn)生了前趨，如圖中兩條指示線所指的兩個(gè)波峰所示對(duì)比。進(jìn)一步提取其頻散數(shù)據(jù)（見圖 9c）進(jìn)行比較，可以看出二者具有明顯的差別。圖9c中未壓裂段的波速隨頻率變化平緩，而壓裂段的數(shù)據(jù)在 1 kHz時(shí)出現(xiàn)了明顯的峰值。利用（12）式對(duì)圖中的頻散數(shù)據(jù)進(jìn)行了反演。反演中較為敏感的裂縫流體波速和黏度分別取為1 330 m/s和1.1 mPa·s，其余參數(shù)取自測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)或大致設(shè)定。反演得到壓裂縫區(qū)的壓裂貫通系數(shù)為 0.48，壓裂縫平均滲透率為 330 μm2，這一數(shù)值與常見的支撐開啟裂縫API（美國(guó)石油學(xué)會(huì)）導(dǎo)流能力測(cè)試結(jié)果的數(shù)量級(jí)相近[24]。反演擬合的斯通利波理論速度頻散曲線（見圖 9c）與測(cè)量數(shù)據(jù)吻合良好，特別是在壓裂段內(nèi)，實(shí)測(cè)和擬合的波速在低頻段均有明顯的峰值現(xiàn)象，二者的形態(tài)十分一致，證明了前文模擬分析結(jié)果的正確性。本應(yīng)用實(shí)例表明，壓裂縫區(qū)斯通利波到時(shí)的“前趨”及波速頻散的峰值現(xiàn)象可以作為壓裂縫開啟、具有高滲透性能的特征判據(jù)。

壓裂評(píng)估的另一方面是判斷壓裂縫的變化。壓裂井在生產(chǎn)過(guò)程中會(huì)發(fā)生支撐劑失效、地層壓力變化及生產(chǎn)中微粒堵塞等情況，使壓裂縫的滲透性能降低。以圖10的直井為例，其3 963～3 969 m層段進(jìn)行了壓裂施工。由圖 10a可見，壓裂后與壓裂前的橫波衰減包絡(luò)（棕色填充）指示此處產(chǎn)生了裂縫；壓裂后交叉偶極橫波測(cè)得的各向異性值在壓裂段內(nèi)明顯大于壓裂前，也表明壓裂在井周產(chǎn)生了裂縫[10]。但斯通利波（中心頻率約為1.5 kHz）在壓裂段的波至出現(xiàn)了“滯后”現(xiàn)象，說(shuō)明壓裂后波速下降，這與圖9a明顯不同。

同樣地，取壓裂段中點(diǎn)（3 966 m）和未壓裂段參考點(diǎn)（3 979 m）的斯通利波陣列波形進(jìn)行對(duì)比（見圖10b），壓裂段的波形較未壓裂段產(chǎn)生了滯后，如圖中兩條指示線所指的兩個(gè)波峰所示對(duì)比。進(jìn)一步提取其頻散數(shù)據(jù)（見圖10c）進(jìn)行比較，未見圖9c中所示的峰值現(xiàn)象，反而壓裂段的波速相對(duì)于未壓裂段有明顯的整體下降，對(duì)應(yīng)圖 10a所示的到時(shí)滯后。對(duì)圖 10c的數(shù)據(jù)進(jìn)行反演，得到壓裂縫平均滲透率為15 μm2，壓裂貫通系數(shù)為1；反演擬合的理論頻散曲線與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合良好。這一現(xiàn)象有兩種可能的解釋：第 1種是壓裂縫壓開后沒有充分支撐開啟，未產(chǎn)生良好的滲透性能；第 2種是壓裂縫開啟后趨于閉合，其滲透性能降低。根據(jù)圖示的壓后地層的明顯各向異性（壓裂縫導(dǎo)致）來(lái)看，第2種解釋更為合理。

圖10 中低滲壓裂段斯通利波的波至（a）、陣列波形（b）和速度頻散（c）特征

5 結(jié)論

復(fù)雜壓裂縫導(dǎo)致的斯通利波速度頻散特征可以與平板縫模型等效，前提是將壓裂縫模型的平均滲透率等效于平板縫的滲透率。壓裂后裂縫的支撐開啟會(huì)導(dǎo)致斯通利波波速增大，速度頻散曲線出現(xiàn)峰值，斯通利波波形（特別是波至）出現(xiàn)“前趨”現(xiàn)象；反之，裂縫未有效開啟或開啟后閉合會(huì)導(dǎo)致斯通利波波速在整個(gè)頻段內(nèi)減小，斯通利波波形出現(xiàn)“滯后”現(xiàn)象。這兩種現(xiàn)象都在實(shí)際測(cè)井中得到了驗(yàn)證，可以作為壓裂有效性評(píng)估的特征判據(jù)。

據(jù)此提出了一種基于斯通利波速度頻散分析的壓裂縫滲透性能定量評(píng)價(jià)模型，可以評(píng)價(jià)壓裂縫的平均滲透率和壓裂貫通系數(shù)。現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)分析結(jié)果證明了評(píng)價(jià)方法的可行性和有效性。

符號(hào)注釋：

a——儀器外半徑，m；d——縫寬，m；f——頻率，Hz；fmin，fmax——頻散數(shù)據(jù)提取頻率下限和上限，Hz；F——擬合目標(biāo)函數(shù)，m2/s2；hfm——基質(zhì)地層厚度，m；hfrac——壓裂縫層厚度，m；k——斯通利波波數(shù)，m-1；ke——純彈性斯通利波波數(shù)，m-1；kfm——基質(zhì)地層斯通利波波數(shù)，m-1；kfrac——壓裂縫層斯通利波波數(shù)，m-1；K——?jiǎng)討B(tài)滲透率，m2；Kmax——壓裂縫最大（靜態(tài)）滲透率，m2；K′——平均縫寬（靜態(tài)）滲透率，μm2；——平均（靜態(tài)）滲透率，μm2；K0——靜態(tài)滲透率，m2；Kf——流體模量，Pa；K0，K1——0階、1階第二類修正貝塞爾函數(shù)；p——流體壓力，Pa；p0——斯通利波幅度（聲壓），Pa；r——極坐標(biāo)中半徑坐標(biāo)，m；R——套管內(nèi)半徑，m；Uf——井壁處動(dòng)態(tài)流體通量，m；——井壁處平均動(dòng)態(tài)流體通量，m；v——等效斯通利波速度，m/s；vm，vd——理論計(jì)算和現(xiàn)場(chǎng)提取的斯通利波速度，m/s；vst——斯通利波相速度，m/s；x，y，z——直角坐標(biāo)系，m；x——空間坐標(biāo)矢量，m；α——流體擴(kuò)散率，m2/s；β——射孔孔眼系數(shù)；γ——壓裂貫通系數(shù)；θ——極坐標(biāo)系中角坐標(biāo)，rad；μ——流體黏度，Pa·s；ξ——介質(zhì)骨架彈性的修正量，無(wú)因次；ρ——流體密度，kg/m3；τ，m——與孔隙或裂縫形狀有關(guān)的參數(shù)，無(wú)因次；φ——介質(zhì)孔隙度，%；ω——角頻率，rad/s。