附加傅里葉補(bǔ)償項的衛(wèi)星遙感影像RFM平差方法

余俊鵬，吳偉東，孫佳明，滿益云，沈 剛

1. 廣東工業(yè)大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，廣東 廣州 510006； 2. 錢學(xué)森空間技術(shù)實驗室，北京 100094

有理函數(shù)模型(rational function model,RFM)自1999年作為商業(yè)遙感衛(wèi)星IKONOS-2的影像定位模型推出后，因其通用性強(qiáng)、方便實用等優(yōu)點(diǎn)，很快被廣泛應(yīng)用，成為衛(wèi)星遙感影像處理的主要幾何模型[1]。由于RFM本質(zhì)上是遙感成像幾何的一種數(shù)學(xué)擬合模型，受影像內(nèi)外方位元素觀測誤差影響，RFM直接定位結(jié)果存在系統(tǒng)誤差。為滿足測圖精度要求，學(xué)者們分別提出了RFM的像方平差和物方平差方案[2]。目前以像方平差方案較為常用[3]，該方案保持RFM模型參數(shù)(rational polynomial coefficients,RPC)不變，通過附加像方定位系統(tǒng)誤差補(bǔ)償項并對其進(jìn)行平差求解，使影像定位精度顯著提高[4-9]。

近年來，隨著遙感衛(wèi)星的數(shù)量和類型增多，RFM平差方法隨之不斷優(yōu)化，以適應(yīng)不同場景的數(shù)據(jù)處理需求。文獻(xiàn)[10]針對弱交會條件下衛(wèi)星遙感影像區(qū)域網(wǎng)平差無法正確求解的問題,通過引入數(shù)字高程模型作為高程約束，實現(xiàn)近似垂直觀測影像的高精度平面定位。文獻(xiàn)[11]利用同軌道長條帶衛(wèi)星影像的系統(tǒng)誤差分布特性，提出基于軌道約束的區(qū)域網(wǎng)平差方法，減少了平差所需控制點(diǎn)。文獻(xiàn)[12]對于大規(guī)模區(qū)域網(wǎng)平差問題，利用RPC生成虛擬控制點(diǎn)，并將其作為帶權(quán)觀測值引入平差模型，克服了在無控制點(diǎn)條件下平差精度不穩(wěn)定的問題。文獻(xiàn)[13]提出一種利用平均高程面的RFM區(qū)域網(wǎng)平差模型，改進(jìn)了國產(chǎn)靜止軌道遙感衛(wèi)星高分四號影像的內(nèi)部拼接精度。文獻(xiàn)[14]提出采用三階多項式進(jìn)行像方系統(tǒng)誤差補(bǔ)償，提高了資源三號立體影像定位精度。

盡管RFM平差的實現(xiàn)方法因具體需求而異，但其平差模型都采用一般多項式作為附加項，對像方系統(tǒng)誤差的補(bǔ)償效果基本相同。而衛(wèi)星傳感器成像受到姿軌誤差、平臺顫振、大氣折光、鏡頭畸變、焦面形變及內(nèi)部拼接等各種因素影響[15-19]，實際的像方系統(tǒng)誤差相當(dāng)于一種復(fù)雜畸變。由于一般多項式理論上無法對整個像幅范圍內(nèi)的多種畸變進(jìn)行精確擬合，在某些點(diǎn)位可能殘存較大誤差，導(dǎo)致定位結(jié)果的精度和可靠性降低。對此，本文根據(jù)傅里葉級數(shù)的逼近特性，提出一種可適應(yīng)符合連續(xù)條件下任意形式畸變的RFM平差方法，并通過模擬和真實數(shù)據(jù)的平差試驗，驗證了該方法的可行性和有效性。

1 平差模型

1.1 RFM基本形式

RFM是星載傳感器成像幾何的一種通用數(shù)學(xué)表達(dá)式，將成像目標(biāo)的像點(diǎn)坐標(biāo)(R,C)表示為物方坐標(biāo)(B,L,H)的多項式的比值，如式(1)所示

(1)

式中，(r,c)為正則化的像點(diǎn)坐標(biāo)；(φ,λ,h)為正則化的物方坐標(biāo)，物方坐標(biāo)可取地心直角坐標(biāo)、大地坐標(biāo)或地圖投影坐標(biāo)。正則化公式為

(2)

式中，Roff、Rscale、Coff、Cscale為像方坐標(biāo)的正則化參數(shù)；Boff、Bscale、Loff、Lscale、Hoff、Hscale為物方坐標(biāo)的正則化參數(shù)。經(jīng)正則化后，像方坐標(biāo)和物方坐標(biāo)數(shù)值范圍為(-1.0～+1.0)，以減小兩者轉(zhuǎn)換計算誤差。P1、P2、P3、P4均為一般多項式，最高不超過3次，形式為

Pi(φ,λ,h)=ai1+ai2λ+ai3φ+ai4h+ai5λφ+

ai6λh+ai7φh+ai8λ2+ai9φ2+

ai10h2+ai11φλh+ai12λ3+ai13λφ2+

ai14λh2+ai15λ2φ+ai16φ3+

ai17φh2+ai18λ2h+ai19φ2h+ai20h3

(3)

式中，aij(j=1,2,…，20)為多項式系數(shù)，即RPC參數(shù)，其中a21、a41取常數(shù)1。RPC參數(shù)通常由地形無關(guān)算法得到，即先利用影像定向元素構(gòu)建嚴(yán)格成像幾何模型，并在影像覆蓋區(qū)域范圍內(nèi)生成虛擬控制格網(wǎng)，再根據(jù)大量均勻分布的虛擬控制點(diǎn)坐標(biāo)求解RPC參數(shù)。

1.2 RFM平差模型

1.2.1 觀測方程

受衛(wèi)星影像定向元素觀測值的誤差影響，RFM像方定位結(jié)果存在系統(tǒng)誤差。像點(diǎn)坐標(biāo)觀測值為

(4)

式中，(R′,C′)為利用RFM得到的像點(diǎn)坐標(biāo)計算值；(ΔR,ΔC)為像方系統(tǒng)誤差補(bǔ)償項。理論上，(ΔR,ΔC)的函數(shù)形式越符合實際誤差分布，其補(bǔ)償效果越好，常規(guī)采用的一般多項式補(bǔ)償項為[20-21]

(5)

式中，J為多項式階數(shù)；ek、fk為多項式系數(shù)；p、q分別為各項中R、C的冪次數(shù)。二階一般多項式如式(6)所示

(6)

而一階一般多項式即為仿射變換式[22]為

(7)

大量試驗表明，e0、f0可以分別吸收衛(wèi)星沿飛行方向和垂直飛行方向的外方位元素及像主點(diǎn)偏移系統(tǒng)誤差，e1、e2和f1、f2可吸收主距變化引起的誤差。但對于影像中存在的復(fù)雜畸變，唯有尋求相適應(yīng)的補(bǔ)償函數(shù)才能進(jìn)一步有效消除。

根據(jù)高等數(shù)學(xué)理論，傅里葉級數(shù)具有全局逼近特性，可趨近于二維區(qū)間內(nèi)符合連續(xù)條件的任意函數(shù)[23]。由此可知，以二元傅里葉多項式作為像方系統(tǒng)誤差補(bǔ)償項，能夠精確描述影像平面上存在的多種復(fù)雜畸變[24]，其形式為

(8)

(9)

(10)

式中，w為影像寬度；h為影像高度；M、N為階數(shù)。傅里葉多項式階數(shù)越高，對畸變的擬合精度越高。當(dāng)M=N=1時，傅里葉補(bǔ)償項簡化為常數(shù)項

(11)

當(dāng)M=N=2時，傅里葉補(bǔ)償項含16個待求參數(shù)，形式為

(12)

當(dāng)M=N=3時，傅里葉補(bǔ)償項參數(shù)增加至36個，形式為

(13)

傅里葉補(bǔ)償項參數(shù)之間嚴(yán)格正交，有利于平差求解。但多項式階數(shù)過高仍可能產(chǎn)生過度參數(shù)化問題[25]，實際處理時應(yīng)根據(jù)影像畸變復(fù)雜度及平差條件，選取合適的階數(shù)以滿足定位精度要求。

1.2.2 平差計算

在像點(diǎn)坐標(biāo)觀測方程中，設(shè)像方系統(tǒng)誤差補(bǔ)償項ΔR、ΔC分別包含c、d個補(bǔ)償項系數(shù)，對式(4)線性化可得到光束法平差的誤差方程為

(14)

將式(14)寫成矩陣形式

V=At+Bx-l

(15)

式中，V為像點(diǎn)坐標(biāo)觀測值殘差向量；t=[Δe0Δe1…Δec-1Δf0Δf1…Δfd-1]T為補(bǔ)償項系數(shù)T的增量向量；x=[ΔBΔLΔH]T為目標(biāo)點(diǎn)的物方空間坐標(biāo)X的增量向量，對于控制點(diǎn)可令x=0；A、B為系數(shù)矩陣，即對未知數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣；l=[R-R0C-C0]T為常數(shù)項，其中(R,C)為像點(diǎn)坐標(biāo)觀測值，(R0,C0)為利用未知數(shù)近似值代入式(4)計算得到的像點(diǎn)坐標(biāo)。計算誤差方程各項數(shù)值時，RFM補(bǔ)償項系數(shù)初值T0設(shè)為0，各目標(biāo)點(diǎn)的物方空間坐標(biāo)初值X0通過基于RFM的立體定位方法逐點(diǎn)計算得到，具體計算過程參見文獻(xiàn)[2]。

由式(15)根據(jù)最小二乘平差原理建立如下法方程，用于求解補(bǔ)償項系數(shù)及待定目標(biāo)點(diǎn)的物方坐標(biāo)增量

(16)

平差求解需要迭代進(jìn)行。第1次求解采用一階多項式補(bǔ)償項并更新RPC參數(shù)，隨后可采用傅里葉補(bǔ)償項逐步消除殘余系統(tǒng)誤差。在完成第s(s>1)次求解后，對未知數(shù)進(jìn)行修正并將其作為下次求解的未知數(shù)初值，即Ts+1=Ts+t、Xs+1=Xs+x，再重新計算未知數(shù)增量t、x，直至平差過程收斂。

2 試驗及結(jié)果分析

本文先通過仿真衛(wèi)星影像數(shù)據(jù)，對附加傅里葉補(bǔ)償項的RFM平差方法進(jìn)行測試，驗證新方法的畸變補(bǔ)償性能，進(jìn)而通過兩組真實衛(wèi)星影像數(shù)據(jù)的平差試驗，比較新方法與常規(guī)方法的實際處理效果。

2.1 仿真試驗

仿真數(shù)據(jù)以衛(wèi)星遙感影像的成像幾何模型為基礎(chǔ)，按設(shè)定的衛(wèi)星立體傳感器成像參數(shù)及畸變模型參數(shù)構(gòu)建物像幾何關(guān)系，生成覆蓋一定區(qū)域范圍的地面點(diǎn)坐標(biāo)及其像點(diǎn)坐標(biāo)。對各項攝影測量模擬“真值”引入隨機(jī)誤差后作為待平差觀測數(shù)據(jù)。具體仿真參數(shù)見表1。

表1 衛(wèi)星立體遙感影像仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of satellite stereo remote sensing images

表2 對仿真數(shù)據(jù)用不同平差方法得到的物方定位精度Tab.2 Geopositioning accuracy results of simulation data obtained by different adjustment methods m

在無畸變情況下，像方定位系統(tǒng)誤差完全由影像內(nèi)外方位元素誤差所致。采用一階多項式補(bǔ)償項進(jìn)行平差后物方定位中誤差從平面26.7 m、高程14.9 m分別減小為平面0.20 m、高程0.52 m，平面精度相當(dāng)于像方0.25個像元大小，接近于像點(diǎn)觀測精度0.2像元，說明一階多項式對于消除影像內(nèi)外方位元素的誤差影響十分有效。本文方法與常規(guī)方法定位精度相當(dāng)，表明傅里葉多項式也可以有效補(bǔ)償影像內(nèi)外方位元素誤差造成的定位誤差。

在引入二次模擬畸變后，從理論和試驗結(jié)果看采用二階多項式補(bǔ)償項平差效果最優(yōu)，因此可以以其作為其他補(bǔ)償方法的評價基準(zhǔn)。由表2看出，隨著模擬畸變的增大，一階多項式補(bǔ)償效果呈現(xiàn)下降趨勢。當(dāng)影像邊緣畸變?yōu)?像元時，物方定位中誤差為平面0.39 m、高程1.79 m。定位中誤差隨畸變同步擴(kuò)大，當(dāng)畸變增大至20像元時，平差定位中誤差為平面1.28 m、高程6.91 m，說明該方法無法完全消除二次畸變，且原畸變越大，平差后的殘余系統(tǒng)誤差也越大。當(dāng)采用附加傅里葉補(bǔ)償項的平差方法時，平面定位精度基本上不再受畸變大小影響，平差后均在0.3像元以內(nèi)，接近像點(diǎn)觀測精度水平。高程定位精度隨畸變增大而緩慢下降，平差后保持在0.8 m即像元分辨率以內(nèi)。以三階傅里葉補(bǔ)償項為例，在邊緣畸變20像元的情況下，本文方法比常規(guī)方法的平面精度提高(1.28-0.23)/1.28≈82%，高程精度提高(6.91-0.60)/6.91≈91%，表明傅里葉補(bǔ)償項對二次畸變的擬合補(bǔ)償能力有顯著提高，且接近于最優(yōu)水平。

理論上，傅里葉多項式階數(shù)越高，對畸變擬合補(bǔ)償效果越好。但從仿真數(shù)據(jù)的平差結(jié)果看，采用過高的階數(shù)對提高精度作用不大，反而可能因為過度參數(shù)化導(dǎo)致物方坐標(biāo)求解精度下降。本文在實際數(shù)據(jù)處理中采用附加二階和三階傅里葉補(bǔ)償項的平差模型。

2.2 實際數(shù)據(jù)驗證

試驗數(shù)據(jù)選取兩組以不同立體觀測方式獲取的衛(wèi)星遙感影像。數(shù)據(jù)1為北美地區(qū)快鳥Basic級同軌立體影像范例數(shù)據(jù)(圖1)，數(shù)據(jù)2為3景我國河北遷西地區(qū)SPOT-5 HRG 1A級異軌影像數(shù)據(jù)(圖3)。兩組數(shù)據(jù)的具體參數(shù)見表3，兩組數(shù)據(jù)對應(yīng)的影像及地面立體覆蓋情況如圖1—圖4所示。

圖1 快鳥立體影像縮略圖Fig.1 Thumbnail of Quickbird stereo images

圖2 快鳥影像立體覆蓋及控制點(diǎn)分布Fig.2 Stereo coverage and control point distribution map of Quickbird images

圖3 SPOT-5立體影像縮略圖Fig.3 Thumbnail of SPOT-5 stereo images

圖4 SPOT-5影像立體覆蓋及控制點(diǎn)分布Fig.4 Stereo coverage and control point distribution map of SPOT-5 images

表3 衛(wèi)星遙感影像試驗數(shù)據(jù)參數(shù)Tab.3 Parameters of experimental satellite remote sensing image data

兩組數(shù)據(jù)在不同控制點(diǎn)條件下，分別采用一般多項式和傅里葉多項式補(bǔ)償項的RFM平差定位結(jié)果見表4、表5。

表4 快鳥影像平差后定位精度Tab.4 Geopositioning accuracy of Quickbird images obtained by different adjustment methods m

表5 SPOT-5影像平差后定位精度Tab.5 Geopositioning accuracy of SPOT-5 images obtained by different adjustment methods m

從試驗結(jié)果分析得出：

(1) 采用一階多項式補(bǔ)償項(方法1)適用于少量控制點(diǎn)情形，平差后定位精度顯著提高。在6個控制點(diǎn)情況下，快鳥影像平差后定位精度從平面9.24 m、高程8.77 m提高到平面1.18 m、高程0.84 m，按地面分辨率0.8 m計，分別相當(dāng)于1.5、0.8個像元。然而在使用更多控制點(diǎn)情況下，該方法難以進(jìn)一步提高定位精度，投入全部控制點(diǎn)時平面精度僅為1.4個像元。對于SPOT-5影像，在使用6個控制點(diǎn)情況下定位精度從平面7.78 m、高程9.27 m提高到平面4.38 m、高程3.12 m，按地面分辨率5.5 m計，分別相當(dāng)于0.8、0.6個像元，使用全部控制點(diǎn)平差后定位精度提升至平面0.7像元、高程0.5像元，提升效果有限。對比兩組數(shù)據(jù)的平差結(jié)果，由于SPOT-5影像畸變較小，且測區(qū)地表相對平坦，定位精度達(dá)到了子像素水平?？禅B衛(wèi)星由于軌道高度較低，影像分辨率高，內(nèi)部畸變更為復(fù)雜。對快鳥影像用一階多項式補(bǔ)償后未達(dá)到子像素級定位精度，應(yīng)系由殘余畸變系統(tǒng)誤差所致。

(2) 采用二階多項式補(bǔ)償項(方法2)適用于充足控制點(diǎn)情形，可進(jìn)一步消除畸變系統(tǒng)誤差，平差后定位精度較高。當(dāng)所用控制點(diǎn)數(shù)少于6時，該方法由于基準(zhǔn)不足導(dǎo)致解算不穩(wěn)定，平差結(jié)果無效。在6個控制點(diǎn)情況下，對快鳥影像平差后的高程精度從0.84 m提高至0.76 m，但平面精度從1.18 m下降至1.26 m；SPOT-5影像的平面精度4.38 m提高至3.77 m，但高程精度從3.12 m下降至3.36 m。說明少量控制點(diǎn)情況下，方法2的實際處理效果不穩(wěn)定，定位精度相比方法1也無優(yōu)勢。而在控制點(diǎn)充足、平差計算穩(wěn)定性得到保證的情況下，借助二階多項式更強(qiáng)的畸變擬合能力，方法2較方法1定位精度有明顯提高。

(3) 采用傅里葉多項式補(bǔ)償項(方法3)適用于充足控制點(diǎn)情形，對復(fù)雜畸變的擬合補(bǔ)償性能最優(yōu)，平差后定位精度最高。在6個控制點(diǎn)情況下，用方法3對快鳥影像平差后的平面和高程定位精度優(yōu)于方法1和方法2，而對SPOT-5影像平差后的定位精度則較差，說明少量控制點(diǎn)下方法3效果不穩(wěn)定。而在控制點(diǎn)充足情況下，方法3對兩組數(shù)據(jù)的處理精度均優(yōu)于方法1和方法2，若采用三階傅里葉補(bǔ)償項則優(yōu)勢更加明顯。在投入全部控制點(diǎn)情況下，方法3對快鳥影像平差的平面精度比方法1、2可分別提高31%和6%,高程精度可分別提高22%和5%，達(dá)到子像素級精度水平；對于SPOT-5影像，盡管常規(guī)方法平差結(jié)果已達(dá)到子像素級精度，但方法3得到的平面精度比方法1、2分別提高10%、3%,高程精度分別提高10%、7%。在3種方法中，方法3具有最高的定位精度，表明傅里葉多項式能夠最有效地擬合并消除復(fù)雜畸變影響。

3 結(jié) 語

針對含復(fù)雜畸變的衛(wèi)星遙感影像高精度幾何處理問題，本文基于傅里葉級數(shù)的逼近特性，提出了一種附加二元傅里葉多項式補(bǔ)償項的RFM平差方法。本文方法具有像方平差方案方便實用的特點(diǎn)，通過采用二元傅里葉多項式代替常規(guī)一般多項式作為殘余系統(tǒng)誤差補(bǔ)償項，可以更加精確地擬合遙感影像中存在的復(fù)雜畸變。仿真試驗結(jié)果表明，本文方法不僅能夠消除由于影像內(nèi)外方位元素誤差造成的像方定位系統(tǒng)誤差，同時對于不同大小的畸變有很好的擬合補(bǔ)償能力，平差后平面定位精度接近于像點(diǎn)觀測精度的水平。最后對衛(wèi)星遙感影像的試驗結(jié)果證實，在充足控制點(diǎn)的條件下，附加三階傅里葉補(bǔ)償項的RFM平差定位精度明顯優(yōu)于附加一般多項式補(bǔ)償項的常規(guī)方法，其中對亞米級分辨率快鳥立體影像的平差定位精度可達(dá)到子像素級水平。二元傅里葉多項式作為一種畸變擬合性能優(yōu)越的系統(tǒng)誤差補(bǔ)償模型，理論上具備通用性，不僅適用于高分辨率衛(wèi)星遙感影像的畸變校正，后續(xù)可進(jìn)一步測試應(yīng)用于航空和近景影像的畸變校正。