在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

雷麗青

摘? 要：數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)主要是培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知方略與問題解決能力。加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，是深化教學(xué)改革的重要課題，可以使學(xué)生在體會(huì)、了解數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，提高思維水平，優(yōu)化思維品質(zhì)。在初中數(shù)學(xué)課堂中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法？本文擬結(jié)合具體教學(xué)例子，從教材中顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)，分析所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，闡明如何滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)學(xué)教學(xué);初中數(shù)學(xué)

一、關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，把問題設(shè)在學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平區(qū)域內(nèi)，按照維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，可激發(fā)學(xué)生思考的積極性，有效促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)。

布魯納認(rèn)為：“除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會(huì)忘記?！痹诔踔袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的獲得很大程度上依賴于模仿記憶。在模仿和記憶時(shí)數(shù)學(xué)思想和方法作為一般原理，反復(fù)滲透，就能保證記憶不會(huì)全部喪失，遺留下來的將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候能把一個(gè)個(gè)知識(shí)要點(diǎn)重新構(gòu)思串聯(lián)起來，哪怕知識(shí)點(diǎn)遺忘了，思想方法都能隨時(shí)發(fā)生作用，使我們受益終生。

布魯納的觀點(diǎn)：“懂得基本原理可使得學(xué)科更容易理解;有利于記憶，適于遷移;能夠縮小知識(shí)間的初、高級(jí)水平層次的間隙。任何學(xué)科的基礎(chǔ)都可以用某種形式教給任何年齡的任何人。”

日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏認(rèn)為在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后就忘掉了，唯有銘刻在心中的數(shù)學(xué)思維方法、研究方法、看問題的著眼點(diǎn)等，隨時(shí)發(fā)生作用，使他們終生受益。

國(guó)內(nèi)外很多數(shù)學(xué)專家對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的含義及教學(xué)有過深層次的研究，但往往是基于理論角度，但基于在初中數(shù)學(xué)課堂滲透數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)踐研究還不夠。隨著新一輪教育改革不斷深入，教師們充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)一方面要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)使學(xué)生掌握必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí);另一方面，更要通過數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)載體，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)基本思想的滲透卻沒有象基礎(chǔ)知識(shí)、技能那樣落到實(shí)處。作為一線教師，如何把具體的知識(shí)化隱為顯？這沒有具體可操作的方法。下面筆者將結(jié)合具體教學(xué)例子來說明在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何統(tǒng)籌安排數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)工作，以求提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)校的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量。

二、數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)內(nèi)容包括數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)又蘊(yùn)藏著思想方法。初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法很多，主要有：整體的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法、函數(shù)與方程的思想方法、分類討論的思想方法、類比聯(lián)想的思想方法等。

（一）關(guān)注整體，化難為易

整體思想，就是把一些彼此獨(dú)立但實(shí)質(zhì)上又緊密聯(lián)系的量作為整體來處理。通過敏銳洞察問題的本質(zhì)，加上直覺的作用，把著眼點(diǎn)放在問題的整體上，往往化繁為簡(jiǎn)。整體思想常常表現(xiàn)為：整體代入、整體補(bǔ)形、整體換元、整式約簡(jiǎn)、整體構(gòu)造、整體求和與求積等。

1.數(shù)與式中的整體思想

在初中數(shù)與式的教學(xué)中，設(shè)計(jì)變式練習(xí)，讓學(xué)生運(yùn)用多種解題方法，掌握整體思想方法，化難為易，有效促進(jìn)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)轉(zhuǎn)化為基本技能。

設(shè)計(jì)解讀：把2x和kx+b分別看成整體，根據(jù)函數(shù)值大小關(guān)系，由圖象直接找出相應(yīng)的自變量的取值范圍，利用整體思想和數(shù)形結(jié)合想方法。

4.幾何圖形中的整體思想

整體思想在代數(shù)中經(jīng)常用到，在解決幾何問題時(shí)，常將問題“化整為零”，但有時(shí)也從整體入手才能解決問題，常用的是補(bǔ)形。

題組五：

（1）如圖⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)四個(gè)圓心得到四邊形ABCD，則圖形中四個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和是（? ? ? ? ?）

（2）如圖正方形OCDE的邊長(zhǎng)為1，陰影部分面積記作S1;如圖2，最大圓半徑r=1，陰影部分面積記作S2，則S1? ? ? ? ? ?S2（用“>”“<”或“=”填空）。

（3）如圖某農(nóng)場(chǎng)有一塊長(zhǎng)40m，寬32m的矩形土地，為方便管理，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬小路，要使種植面積為1140m2，求小路的寬。

設(shè)計(jì)解讀：（1）中的四個(gè)陰影扇形的半徑相同，將它們拼在一起組成一個(gè)圓;（2）中圖1的兩塊陰影補(bǔ)成小矩形ACDF的面積，圖2的三塊陰影補(bǔ)成最大圓的面積的四分之一;對(duì)于（3）可設(shè)小路的寬為xm，將4塊種植地平移為一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為（40﹣x）m，寬為（32﹣x）m，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式求出小路的寬。

上面例子運(yùn)用“整體”思想解題，使不好解的題能輕而易舉地解答出來，在培養(yǎng)學(xué)生思維的同時(shí)，也使學(xué)生感受到解題的樂趣。

（二）化歸思想，多題一法

化歸思想是把一種有待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)到一類比較容易解決的問題中去，最終求得問題解答的數(shù)學(xué)思想。

例題中隱含豐富數(shù)學(xué)思想，對(duì)例題進(jìn)行加工改編，多題歸一，既有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)理解也有利于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，達(dá)到“做一題，會(huì)一類”，提高了學(xué)習(xí)效率。利用多題一法從不同角度、不同側(cè)面認(rèn)識(shí)，有利于培養(yǎng)發(fā)散思維，這種變化教學(xué)刺激可維持學(xué)生的注意力，讓學(xué)生學(xué)習(xí)所需內(nèi)容，并在教學(xué)以外的情境應(yīng)用所學(xué)內(nèi)容。

例題? 某開發(fā)區(qū)新建了兩片住宅區(qū)：A區(qū)、B區(qū)（如圖1），要從煤氣主管道MN的一個(gè)地方建立一個(gè)接口，同時(shí)向這兩個(gè)小區(qū)供氣。問這個(gè)接口應(yīng)建在哪兒，才使所用管道最短？

設(shè)計(jì)解讀：例題中求“兩點(diǎn)之間距離最短”，用到“三角形兩邊之和大于第三邊”。變式1、2、3、4情景變化為正方形、圓、直角梯形、菱形，但都需用作對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化為例題的方法。通過一類題的解法歸納，讓學(xué)生掌握知識(shí)的核心內(nèi)容，掌握解決問題的方法，可使學(xué)生最大可能地理解知識(shí)，有助于學(xué)生形成有效的知識(shí)結(jié)構(gòu)。它還可培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，提高學(xué)生的概括能力與反思能力。

（三）數(shù)形結(jié)合，直觀快捷

華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微?！蓖ㄟ^深入觀察，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺。

在教學(xué)中，由數(shù)想形，以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，可使問題直觀呈現(xiàn)，有利于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解;在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)生分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，提高分析問題和解決問題的能力。

設(shè)計(jì)解讀：本題組考查二次函數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，解答時(shí)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性和拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線的解析式.

函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，還可以提高學(xué)生遷移思維能力。在初中教學(xué)中若注重?cái)?shù)形結(jié)合思想方法的滲透，將會(huì)收到事半功倍的效果。

（四）方程思想，幾何代數(shù)不分家

方程的思想，是對(duì)于一個(gè)問題用方程解決的應(yīng)用，是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問題。在幾何教學(xué)中，也有可以用方程可以解決的問題。

例題：如圖在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一點(diǎn)E，連接BE，將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處，則CE的長(zhǎng)為? ? ? ? ? ? ? ?.

設(shè)計(jì)解讀：本題考查折疊的性質(zhì)：折疊屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等。也考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)、方程思想等知識(shí)。在Rt△DEF中利用勾股定理找到等量關(guān)系，從而列出方程。

（五）分類討論，考慮問題要全面

分類是以比較為基礎(chǔ)，它揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，使所學(xué)知識(shí)條理化。強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類意識(shí)，并能在分類討論時(shí)注意一些基本原則。

題組七：

（1）CD是⊙O的一條弦，作直徑AB，使AB⊥CD，垂足為E，若AB=10，CD=8，則BE的長(zhǎng)是（? ? ? ?）

A.8? ? ? ? ? &nbsp; B.2? ? ? ? ? C.2或8? ? ? ? ? ?D.3或7

（2）在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=2，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于? ? ? ? ? ? ? ? ? .

設(shè)計(jì)解讀：本題組主要是幾何位置的分類討論。題目沒有給出圖形，在做題的時(shí)候更容易忽略某些情形。

（六）類比思想，遷移轉(zhuǎn)化

類比法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常用方法。在數(shù)學(xué)中有一些相類似概念，可利用類比法進(jìn)行學(xué)習(xí);另外在教學(xué)中也可用類比思想進(jìn)行教學(xué)。

在八年級(jí)上學(xué)期進(jìn)行分式乘除法教學(xué)時(shí)用類比方法，讓學(xué)生回憶小學(xué)學(xué)過的分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算法則，提示學(xué)生分式乘除法法則與分?jǐn)?shù)乘除法法則類似，要求他們用語言描述分式乘除法法則。

張奠宙教授講，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法兩者實(shí)際上沒什么區(qū)別，評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)成就的價(jià)值時(shí)，稱數(shù)學(xué)思想;用數(shù)學(xué)成就解決某個(gè)問題時(shí)，稱數(shù)學(xué)方法。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷地完善，能把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題來解決，提高學(xué)習(xí)效益，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

從教育角度來看，數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識(shí)更為重要，知識(shí)的記憶是暫時(shí)的，思想方法的掌握是永久的。知識(shí)只能使學(xué)生受益于一時(shí)，思想方法將使學(xué)生受益于終生。加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)比知識(shí)的傳授更為重要，數(shù)學(xué)思想方法的掌握對(duì)任何實(shí)際問題的解決都是有利的。因此，在平常數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙，過伯祥.數(shù)學(xué)方法論稿[M].上海：上海教育科學(xué)出版社，1996.

[2]張奠廟.數(shù)學(xué)方法論稿[M].上海教育出版社，1996.

[3]張桂珍.淺談數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用[J].素質(zhì)教育論壇，2011.