電梯柔性提升系統(tǒng)橫向-縱向耦合動力學(xué)建模與仿真*

殷銘豪 吳 曉，2 曹 丹 田健康 徐家根

1西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 成都 610031 2軌道交通運維技術(shù)與裝備四川省重點實驗室 成都 610031

0 引言

以鋼絲繩、鋼纜等作為提升載體的礦井提升機(jī)、曳引電梯、起重機(jī)等可統(tǒng)稱為柔性提升系統(tǒng)，隨著系統(tǒng)的運行，提升系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量、阻尼等參數(shù)不斷發(fā)生變化[1，2]。國內(nèi)外學(xué)者通常將該類結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一端固定的軸向運動弦線[3，4]。高速運行過程中的系統(tǒng)對外界的干擾激勵敏感，易發(fā)生振動，降低系統(tǒng)壽命甚至影響安全使用[5-7]。

國內(nèi)外學(xué)者對柔性提升系統(tǒng)進(jìn)行了一系列研究。Yong B G等[8，9]對摩擦提升系統(tǒng)中鋼絲繩動力學(xué)及摩擦傳遞的耦合關(guān)系進(jìn)行建模，分析系統(tǒng)橫向振動的影響因素；郭瑜等[10]建立塔式摩擦提升系統(tǒng)動力學(xué)模型，分析該提升鋼絲繩與尾繩的縱向振動；吳娟等[11]建立多繩摩擦提升系統(tǒng)，分析不同運行階段對系統(tǒng)橫向振動的影響；齊秀娟[12]建立高速曳引電梯橫向振動模型，推導(dǎo)了曳引鋼絲繩橫向剛度公式，分析了曳引鋼絲繩的最小剛度與位置；Zhang C Y等[13]建立了靜止時電梯系統(tǒng)的集中參數(shù)離散模型，分析了系統(tǒng)發(fā)生振動的原因；Young M等[14]將電梯系統(tǒng)中鋼絲繩視為多個帶質(zhì)量的彈簧阻尼器，建立了集中參數(shù)的多自由度模型；Lee Y M等[15]和Kang J K等[16]以電梯系統(tǒng)為研究對象，建立系統(tǒng)離散模型，提出一種可抑制電梯轎廂垂直振動的控制策略；馮子朔[17]建立考慮曳引輪兩側(cè)轎廂與對重的相互作用與曳引鋼絲繩長度變化的離散模型，分析了不同因素對曳引電梯運行及制動的影響。

將柔性提升系統(tǒng)簡化為集中參數(shù)的離散模型，忽略了系統(tǒng)運行過程中提升鋼絲繩的參數(shù)變化，系統(tǒng)低速運行時，鋼絲繩的慣性影響較小，可高效分析該類系統(tǒng)的動力學(xué)特性，但是當(dāng)系統(tǒng)高速運行時，運行狀態(tài)參數(shù)變化較快，故提升鋼絲繩對系統(tǒng)的振動影響不容忽視。本文基于能量法和Hamliton原理建立柔性提升系統(tǒng)橫向-縱向耦合振動方程，考慮系統(tǒng)懸掛平衡繩以及實際受力影響，使用Matlab軟件分析系統(tǒng)有平衡繩與無平衡繩時的振動響應(yīng)，分析導(dǎo)軌不平順激勵對系統(tǒng)振動的影響。

1 柔性軸向運動系統(tǒng)振動控制模型

變長度軸向運行系統(tǒng)如圖1a所示，懸掛重物之間采用平衡繩連接，將該系統(tǒng)簡化為如圖1b所示的柔性軸向運動系統(tǒng)，重物之間的平衡繩以圖1所示張緊繩與彈簧阻尼器模擬，張緊繩的狀態(tài)由張緊輪控制。導(dǎo)靴裝置簡化為重物與導(dǎo)軌之間的彈簧阻尼器，其剛度為k1，阻尼為c1，提升鋼絲繩的長度為l(t)，線密度為ρ1，分布阻尼為c，t時刻x處的橫向振動與縱向振動分別為w(x，t)和u(x，t)，下端張緊繩的長度為H-l(t)，線密度為ρ2，H為建筑高度。為分析系統(tǒng)頂端曳引輪對系統(tǒng)的影響，假設(shè)頂端存在橫向激勵e1(t)。

圖1 柔性軸向運行系統(tǒng)簡化模型

本文中模型的建立原則為：1）忽略井道內(nèi)空氣氣流與張緊繩振動的影響；2）提升鋼絲繩縱向振動與橫向振動的變形數(shù)值均遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的長度；3）系統(tǒng)運行過程中鋼絲繩的各項結(jié)構(gòu)參數(shù)不會發(fā)生變化。

系統(tǒng)運行過程中提升鋼絲繩x處的位移R與速度V為

當(dāng)x=l(t)時，式（1）為重物的位移與速度，微分算子為

由式（1）可得系統(tǒng)的動能為

為方便表達(dá)，下文將使用u和w分別表示系統(tǒng)t時刻x處的縱向振動與橫向振動，下標(biāo)x與t分別為對其求偏導(dǎo)。

提升鋼絲繩x處的張緊力為

式中：F為保持張緊狀態(tài)的張緊力。

運行過程中系統(tǒng)的勢能為

式中：ε為鋼絲繩的正應(yīng)變[18]，k為鋼絲繩的曲率[19]。

系統(tǒng)中阻尼做的虛功為

由Hamliton原理，將系統(tǒng)的動能、勢能、虛功代入可得

系統(tǒng)運行過程中的邊界條件為

將式（8）整理可得系統(tǒng)的橫向-縱向振動偏微分方程。

由于頂端曳引輪橫向激勵的作用，橫向振動位移w可表示為

式中： 為滿足齊次邊界條件的解， 為不滿足齊次邊界的解。

2 系統(tǒng)離散化求解

采用Galerkin法將系統(tǒng)振動控制方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，定義ξ=x/l(t)，將變量x的時變域[0，l(t)]歸一化為固定域[0，1]，設(shè)系統(tǒng)的振動控制方程解可表示為

式中：i=1、2、3、…、n，n為模態(tài)截斷階數(shù)；φi(ξ)為型函數(shù)；pi(t)和qi(t) 為只與時間相關(guān)的廣義坐標(biāo)。

將式（13）代入式（11）和式（12）可得到激勵作用下系統(tǒng)的縱向-橫向振動偏微分方程。將式（13）按照振動控制方程中各項偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行展開后代入式（10）和式（11），可將系統(tǒng)的橫向-縱向振動偏微分方程轉(zhuǎn)化為時變系數(shù)的常微分方程

式中：Pw和Qw為廣義坐標(biāo)向量，Mu、Mw為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，Cu、Cw為系統(tǒng)的阻尼矩陣，Ku、Kw為系統(tǒng)的剛度矩陣，F(xiàn)u、Fw為系統(tǒng)的廣義力向量，SPu、SPw為系統(tǒng)的耦合項。

各項表達(dá)式為

3 提升鋼絲繩振動響應(yīng)仿真分析

高速曳引電梯作為典型的柔性提升系統(tǒng)，參數(shù)變化快，運行過程中提升鋼絲繩的長度不斷發(fā)生變化，系統(tǒng)的剛度、阻尼、質(zhì)量的參數(shù)均會發(fā)生變化。以高速曳引電梯為例分析提升系統(tǒng)的橫向-縱向耦合振動特性。高速曳引電梯的最大行程lmax=175 m，額定速度vmax=6 m/s，最大加速度amax=0．75 m/s2，最大加加速度jmax=0．75 m/s3，運行時間為36 s。圖2為高速曳引電梯運行狀態(tài)曲線。高速曳引電梯中單根鋼絲繩的提升質(zhì)量m=450 kg，鋼絲繩線密度ρ1=0.575 kg/m，抗彎剛度EI=22.16 N?m2，抗彎剛度ES=4.72 MN，導(dǎo)靴剛度k1=1×105N/m，阻尼c1=500 N?s/m，張緊繩線密度ρ2=0.490 kg/m，繩頭彈簧剛度k1=1×105 N/m，阻尼c1=50 N?s/m，張緊力F=500 N。根據(jù)GB/T 8903—2018《電梯用鋼絲繩》[20]，該規(guī)格的鋼絲繩最小破斷拉力Fmin=74.3 kN，安全系數(shù)應(yīng)≥12。

圖2 高速曳引電梯運行狀態(tài)

張緊力F通過式（15）驗證，滿足國家標(biāo)準(zhǔn)。

以上述參數(shù)為輸入，使用Matlab軟件對系統(tǒng)振動控制方程進(jìn)行分析，圖3和圖4分別為重物底部有平衡繩與無平衡繩的系統(tǒng)橫向振動位移響應(yīng)與加速度響應(yīng)。由于平衡繩的影響，上行時橫向振動位移響應(yīng)幅值由0.536 mm降低至0.524 mm，加速度響應(yīng)由0.22 m/s2減小至0.173 m/s2，下行時的振動位移響應(yīng)幅值降低了0.12 mm，加速度響應(yīng)僅降低0.008 m/s2。圖5和圖6為分別為2種情況的縱向振動，由于底部平衡繩的質(zhì)量以及張緊力的關(guān)系，系統(tǒng)縱向受力變大，縱向振動加速度更為劇烈，振動加速度幅值達(dá)0.91 m/s2隨后在4 s內(nèi)降低至0.5 m/s2，振動位移變化較小。提升系統(tǒng)底部安裝平衡繩可抑制系統(tǒng)的橫向振動，但會使系統(tǒng)的縱向振動更為劇烈。分析發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)上行時的振動響應(yīng)幅值比下行時的振動響應(yīng)幅值大，系統(tǒng)在下行時，系統(tǒng)的振動頻率與幅值不斷下降，上行時的振動頻率與幅值不斷增加。由于提升鋼絲繩的結(jié)構(gòu)特點，鋼絲繩在系統(tǒng)停止運行后，存在少量的殘余振動，系統(tǒng)軸向的殘余振動更為明顯，由于平衡繩的影響，系統(tǒng)的縱向振動位移殘余響應(yīng)由0.4 mm增加至3.85 mm。

圖3 無平衡繩的系統(tǒng)橫向振動位移與加速度響應(yīng)

圖4 有平衡繩的系統(tǒng)橫向振動位移與加速度響應(yīng)

圖5 無平衡繩的系統(tǒng)縱向振動位移與加速度響應(yīng)

圖6 有平衡繩的系統(tǒng)縱向振動位移與加速度響應(yīng)

4 導(dǎo)軌不平順振動響應(yīng)分析

導(dǎo)軌作為提升系統(tǒng)的導(dǎo)向裝置，是不平順時系統(tǒng)振動的主要激勵源，導(dǎo)軌支架與連接板的安裝失誤將會導(dǎo)致導(dǎo)軌出現(xiàn)文獻(xiàn)[21]中描述的失調(diào)激勵ec(t)，如圖7所示，失調(diào)激勵的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖7 失調(diào)激勵

式中：e為失調(diào)激勵幅值，ecmax=0.5 mm；h為單根導(dǎo)軌長度；n為導(dǎo)軌數(shù)量。

將導(dǎo)軌不平順激勵視為外力作用在系統(tǒng)導(dǎo)靴裝置上，將不平順激勵化為對導(dǎo)靴的力學(xué)參數(shù)。此時系統(tǒng)中阻尼做的虛功變?yōu)?/p>

同時，系統(tǒng)的張緊力變?yōu)?/p>

式中：μ為滑動摩擦系數(shù)。

將式（20）與式（21）代入式（6）和式（9），可得到系統(tǒng)在導(dǎo)軌不平順激勵下系統(tǒng)的振動控制方程。系統(tǒng)具體結(jié)構(gòu)參數(shù)如文前所述，單根導(dǎo)軌長度為5 m，由系統(tǒng)的行程可知兩側(cè)均需采用36 根導(dǎo)軌。

圖8和圖9分別為導(dǎo)軌失調(diào)不平順激勵的系統(tǒng)位移與加速度響應(yīng)。由圖4和圖8可知，在導(dǎo)軌不平順處系統(tǒng)的橫向振動位移較大且存在突變，振動位移響應(yīng)突變幅值為5.1 mm，加速度響應(yīng)較為劇烈，由圖6和圖9可知，導(dǎo)軌不平順對系統(tǒng)的縱向振動響應(yīng)無影響。

圖8 失調(diào)激勵對系統(tǒng)橫向振動的影響

圖9 失調(diào)激勵對系統(tǒng)縱向振動的影響

5 結(jié)語

本文針對柔性提升系統(tǒng)軸向運動的時變特性考慮平衡鋼絲繩及其張緊力的影響，根據(jù)運動過程中提升鋼絲繩的非線性特征，基于Hamliton原理建立橫向-縱向耦合振動控制方程。以高速曳引電梯為例，將擬合的運行狀態(tài)參數(shù)作為振動方程的輸入條件，采用Matlab軟件對有無平衡繩的系統(tǒng)進(jìn)行振動響應(yīng)分析。結(jié)果表明：有平衡繩的系統(tǒng)橫向振動位移、加速度響應(yīng)幅值均有明顯降低，其中系統(tǒng)上行時的橫向振動加速度響應(yīng)降低20%，下行時降低5%。平衡繩及其張緊力會增加系統(tǒng)的縱向受力，導(dǎo)致系統(tǒng)的縱向振動位移、加速響應(yīng)幅值較大，系統(tǒng)停止運行后的殘余振動響應(yīng)為3.85 mm。導(dǎo)軌不平順會引起系統(tǒng)橫向振動出現(xiàn)突變，且系統(tǒng)在突變處的振動較為劇烈，振動幅值為5.1 mm；導(dǎo)軌不平順對系統(tǒng)的縱向振動影響較小，故在設(shè)計提升系統(tǒng)時應(yīng)對運行導(dǎo)軌的不平順問題加以控制。上述研究結(jié)果可為電梯柔性提升系統(tǒng)及相似系統(tǒng)的振動控制與振動特性研究提供一定的參考。