四面體的界心

曾建國

(贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 341000)

文[1]中，筆者把三角形的奈格爾(Nagel)點(diǎn)[2]概念及性質(zhì)引申推廣至有棱切球的特殊四面體中.本文擬將奈格爾點(diǎn)概念進(jìn)一步引申推廣至一般四面體中.

圖1

三角形的奈格爾(Nagel)點(diǎn)被國內(nèi)作者稱為三角形的“界心”[3～10]——這是由三角形的三條“周界中線”交于一點(diǎn)而得名(同一個(gè)三角形的界心與奈格爾點(diǎn)是同一點(diǎn)，以下統(tǒng)稱為三角形的界心).即有(如圖1)

定理0[3]過△ABC的頂點(diǎn)A、B、C與對邊上一點(diǎn)X、Y、Z作線段，使之平分△ABC的周長，則(周界中線)AX、BY、CZ交于一點(diǎn).

對上述性質(zhì)進(jìn)行類比，我們可以將三角形界心的概念及性質(zhì)引申推廣至任意四面體中，即有

定理1過四面體A1A2A3A4的棱AiAj和它的對棱上一點(diǎn)作截面πij(1≤i

定理1的證明需要下面的：

引理(空間塞瓦逆定理)[11～12]在四面體A1A2A3A4的棱AiAj上取一點(diǎn)Bij(1≤i

成立，則六個(gè)平面A1A2B34、A1A3B24、A1A4B23、A2A3B14、A2A4B13、A3A4B12交于一點(diǎn)N.

定理1的證明如圖2，設(shè)所作四面體A1A2A3A4的各周界中面與棱AiAj交于點(diǎn)Bij(1≤i

圖2

由題設(shè)，截面A1A4B23平分四面體A1A2A3A4的表面積，則

同理可得

則

同理可證

根據(jù)引理可知，六個(gè)周界中面πij(1≤i

由于本文得到的“任一四面體六個(gè)周界中面交于一點(diǎn)”這一結(jié)論很好地類比了三角形界心的概念及性質(zhì)，因此，我們有理由將本文定理1中的任一四面體六個(gè)周界中面的交點(diǎn)N稱為四面體的界心.

細(xì)心的讀者也許注意到，文[1]將三角形的奈格爾(Nagel)點(diǎn)概念及性質(zhì)引申推廣至有棱切球的特殊四面體中，得到了“三組對棱之和相等”的四面體的奈格爾點(diǎn)概念；文[13]則用向量法定義了一般四面體的奈格爾點(diǎn)概念，這些四面體的奈格爾點(diǎn)與本文所得到的一般四面體的界心是否為同一點(diǎn)？這是值得進(jìn)一步研究的問題.