2021年高考數(shù)學(xué)上海卷第16題的多角度探究

安徽省肥東城關(guān)中學(xué) (231600) 王東海

1 引言

2021 年高考數(shù)學(xué)上海卷第16題的題干簡潔，沒有繁冗的文字，和以往的選擇題的最后一題比較，學(xué)生易想到使用構(gòu)造函數(shù)和圖像法，即它相對容易入題.但此題融入了眾多數(shù)學(xué)思想與方法的考查，體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)用水平的較高要求，因而完成正確的求解并非易事．就筆者所進(jìn)行的調(diào)查結(jié)果而言，本題的區(qū)分度好，不失為一道比較成功的選擇壓軸題．波利亞說：掌握數(shù)學(xué)就意味著解題，本文嘗試從不同的切入點(diǎn)來分析解題思路，并給出幾點(diǎn)啟示.

2 問題呈現(xiàn)

已知x1、y1、x2、y2、x3、y3為六個(gè)不同的實(shí)數(shù)，滿足①x1

A.2x2x1+x3,

3 解法賞析

分析1：由x1+y1=x2+y2=x3+y3知和為常數(shù)，設(shè)為k，再結(jié)合①、③兩條件去推理.

評注：在代入③式后，使用基本不等式是解題的破冰之處.

分析2：不用基本不等式，也可通過作商比較大小的方法去處理.

分析3:考慮到x1+y1=x2+y2=x3+y3，也可換一個(gè)角度去假設(shè).

評注：假設(shè)比較巧妙，解法簡潔高效.

分析4：此題通過分析后，可根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過構(gòu)造函數(shù)去處理此題.

解法4：前同解法1，∵x1y1+x3y3=2x2y2,∴x1(k-x1)+x3(k-x3)=2x2(k-x2)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x(k-x)，則上式

圖1

評注:結(jié)合函數(shù)的圖像去研究，顯得直觀易懂，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想.

分析5:此題如能同高數(shù)中函數(shù)凸凹性聯(lián)系起來，則解題比較迅速.

評注：抓住函數(shù)的凸凹性去解題，簡潔明了，比較節(jié)約時(shí)間.

分析6：選擇題用特殊值法去解題，也可得到答案.

4 幾點(diǎn)啟示

4.1高數(shù)背景

解法5用到了高數(shù)中的部分知識(shí)，是六種解法中較簡單的.事實(shí)上近年來的高考題往往有高數(shù)的背景，如高數(shù)中的泰勒級數(shù)、等價(jià)無窮小、洛必達(dá)法則、拉格朗日中值定理等時(shí)有出現(xiàn)，掌握了這部分知識(shí)可以很快給出解答，比如下列這兩道新課標(biāo)高考題.

A.a

C.b

例2(2010新課標(biāo)理解題)設(shè)f(x)=ex-1-x-ax2≥0對x∈[0,+∞)恒成立，求a的范圍.

4.2追本溯源

本題求解對思維有較高要求，其命題背景也與教材有著緊密的聯(lián)系，貫徹了高考命題源于教材高于教材的理念.一般地，本題的通法是構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的圖像觀察即可得.其來源于人教版數(shù)學(xué)選修2-2第32頁B組第1題：證明下面不等式：(1)sinx0,x∈(0,1).

5 結(jié)語

總之，加強(qiáng)“一題多解”的教學(xué)，既能培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，又能使學(xué)生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落地生根，且避免了學(xué)生陷入題海戰(zhàn)術(shù)，從而收到良好的教學(xué)效果.正如羅增儒教授所言：“一個(gè)數(shù)學(xué)問題，如果我們只有一個(gè)解法，不管是自己想出來的還是翻答案看到的，都肯定會(huì)存在認(rèn)識(shí)上的局限性，只有在得出二個(gè)或更多個(gè)解法之后，才會(huì)對問題的本質(zhì)有真正的了解，通過解題而培養(yǎng)能力的目的也才有可能實(shí)現(xiàn).”