合理同構(gòu)，巧妙解題

甘肅省武威市涼州區(qū)職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 (733000) 武曉蕓

在一些代數(shù)式、函數(shù)或方程、不等式、數(shù)列等問(wèn)題中，同構(gòu)意識(shí)是一種常見(jiàn)的解題意識(shí)與技巧，即通過(guò)分析其中代數(shù)式或數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的一些特殊的同型或共性，經(jīng)過(guò)合理轉(zhuǎn)化或變形，提取出其中相同或相似的結(jié)構(gòu)，結(jié)合對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型加以合理構(gòu)造，揭示代數(shù)式或數(shù)列通項(xiàng)間的內(nèi)在聯(lián)系，繼而利用同構(gòu)后的數(shù)學(xué)模型及其對(duì)應(yīng)的性質(zhì)來(lái)巧妙解題．

1．同構(gòu)方程

涉及一些高次方程或超越方程等相關(guān)問(wèn)題，經(jīng)常借助原方程中相關(guān)式子的合理變形或轉(zhuǎn)化，找出同型或共性，合理同構(gòu)方程，利用低次方程或簡(jiǎn)單方程的應(yīng)用，降維處理，巧妙轉(zhuǎn)化，合理破解．

例1 (2021屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三名校10月考試數(shù)學(xué)試卷)已知實(shí)數(shù)α，β滿足αeα=e3，β(lnβ-1)=e4，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則αβ=________．

分析：通過(guò)對(duì)指數(shù)方程與對(duì)數(shù)方程進(jìn)行兩邊同取對(duì)數(shù)處理，結(jié)合對(duì)數(shù)關(guān)系式的變形，尋找共性，同構(gòu)方程，結(jié)合數(shù)學(xué)建模中方程的根的唯一性建立相應(yīng)的關(guān)系式，通過(guò)條件的合理代換，結(jié)合關(guān)系式的變換與應(yīng)用，綜合代數(shù)運(yùn)算加以巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

解析：由于實(shí)數(shù)α，β滿足αeα=e3，β(lnβ-1)=e4，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得α+lnα=3，lnβ+ln(lnβ-1)=4，即α+lnα-3=0，lnβ-1+ln(lnβ-1)-3=0，所以α和lnβ-1是方程x+lnx-3=0的根，由于方程x+lnx-3=0的根是唯一的，所以α=lnβ-1，又α+lnα-3=0，可得3-lnα=lnβ-1，整理得lnα+lnβ=4，即αβ=e4，故答案為e4．

點(diǎn)評(píng)：同構(gòu)方程可以有效降低題目條件中方程的維度，借助同構(gòu)方程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，合理利用所構(gòu)造的低次方程或簡(jiǎn)單方程的性質(zhì)，變形轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用，很好考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

2．同構(gòu)函數(shù)

涉及一些高次或超越不等式、方程等的恒成立問(wèn)題，經(jīng)常借助原不等式、方程中相關(guān)式子的合理變形或轉(zhuǎn)化，找出同型或共性，合理同構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)的基本性質(zhì)(函數(shù)性、奇偶性、最值等)的應(yīng)用，巧妙轉(zhuǎn)化，得以合理確定代數(shù)式或參數(shù)的大小關(guān)系、參數(shù)的取值范圍等應(yīng)用問(wèn)題．

分析：通過(guò)對(duì)不等式恒成立的恒等變換，結(jié)合變形同構(gòu)函數(shù)，利用所同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性合理轉(zhuǎn)化不等式恒成立問(wèn)題，利用構(gòu)造函數(shù)并通過(guò)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定最值，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍問(wèn)題．

點(diǎn)評(píng)：同構(gòu)函數(shù)可以有效破解不等式、大小比較、函數(shù)等相關(guān)問(wèn)題，借助同構(gòu)函數(shù)來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的新函數(shù)，利用函數(shù)的基本性質(zhì)(特別是單調(diào)性、奇偶性、極值、最值等)的應(yīng)用，將原問(wèn)題中所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律外顯化，揭示問(wèn)題的豐富背景和相關(guān)內(nèi)涵，展示同構(gòu)函數(shù)的巨大魅力，很好考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

3．同構(gòu)數(shù)列

涉及一些復(fù)雜數(shù)列通項(xiàng)或遞推關(guān)系式等問(wèn)題，經(jīng)常借助數(shù)列中的關(guān)系式(通項(xiàng)或遞推關(guān)系式)的合理變形或轉(zhuǎn)化，找出同型或共性，合理同構(gòu)數(shù)列，利用數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和、基本性質(zhì)等的應(yīng)用，巧妙轉(zhuǎn)化，得以合理轉(zhuǎn)化數(shù)列中的關(guān)系式(通項(xiàng)或遞推關(guān)系式)，有效破解．

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

分析：根據(jù)題目條件，合理同構(gòu)數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列{bn}，通過(guò)等差數(shù)列的判斷與通項(xiàng)公式的應(yīng)用，確定新數(shù)列的通項(xiàng)公式，并結(jié)合遞推關(guān)系式恒成立的條件建立關(guān)系式，進(jìn)而得以確定參數(shù)的取值．

點(diǎn)評(píng)：同構(gòu)數(shù)列可以有效破解一些比較復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題或創(chuàng)新數(shù)列問(wèn)題，借助同構(gòu)數(shù)列來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的新數(shù)列，通過(guò)遞推關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，利用數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和、基本性質(zhì)等的應(yīng)用，將原數(shù)列中所蘊(yùn)含的豐富內(nèi)涵加以充分展示，把復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題簡(jiǎn)單化、熟悉化，很好考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

4．同構(gòu)代數(shù)式

涉及一些復(fù)雜代數(shù)關(guān)系式、函數(shù)或方程等相關(guān)問(wèn)題，經(jīng)常借助原代數(shù)關(guān)系式中相關(guān)式子與所求代數(shù)關(guān)系式間的聯(lián)系，找出同型或共性，合理同構(gòu)代數(shù)式，利用相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算與轉(zhuǎn)化，合理變形，巧妙轉(zhuǎn)化，有效利用相關(guān)知識(shí)來(lái)合理處理與解決．

例4 若正數(shù)x、y滿足xy(x-y)=4，則x+y的最小值為_(kāi)_______．

分析：根據(jù)題目條件合理同構(gòu)代數(shù)式(x-y)2與(x+y)2，通過(guò)合理變形與轉(zhuǎn)化，借助平方關(guān)系的巧妙處理，合理恒等變形來(lái)轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式，利用三元均值不等式來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題．

點(diǎn)評(píng)：同構(gòu)代數(shù)式可以有效破解一些已知代數(shù)關(guān)系式求相應(yīng)關(guān)系式的最值或取值范圍問(wèn)題、代數(shù)關(guān)系式的大小比較問(wèn)題等，借助同構(gòu)代數(shù)式來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的新關(guān)系式，通過(guò)題目條件加以巧妙轉(zhuǎn)化與變形，利用關(guān)系式的合理處理與應(yīng)用，再借助相關(guān)的不等式、函數(shù)、方程等知識(shí)來(lái)分析與處理，很好考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

總之，在破解一些數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題中，必須借助我們的慧眼去識(shí)別問(wèn)題中的代數(shù)式或數(shù)列通項(xiàng)等結(jié)構(gòu)的同型或共性，通過(guò)不斷感知、抽象、認(rèn)同、同構(gòu)、建模等過(guò)程，鏈接熟知事物與相關(guān)知識(shí)的密切聯(lián)系，合理同構(gòu)，構(gòu)造同型，數(shù)學(xué)建模，應(yīng)用共性解題，由此增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)、同構(gòu)意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用，達(dá)到知識(shí)交匯，思維飛躍，形成數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)：找同型，巧同構(gòu)，證共點(diǎn)，用共性．