《數(shù)學(xué)通報(bào)》2562問(wèn)題的新證與推廣

山東濱州學(xué)院理學(xué)院 (256600) 劉金強(qiáng) 尹 櫪山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué) (256603) 宋志敏

文獻(xiàn)[1]中給出了一個(gè)優(yōu)美的3元代數(shù)不等式-問(wèn)題2562，穆鑫雨等利用平均不等式給出了一個(gè)證明，本文在給出2562問(wèn)題新證明的基礎(chǔ)上，深入分析其證明的技巧與思路，并給出若干有意義的推廣.相應(yīng)的一些處理代數(shù)不等式的方法可以參看文獻(xiàn)[3,4].

問(wèn)題2562 設(shè)a,b,c>0,且a+b+c=3，證明：

證明：首先將上式進(jìn)行化簡(jiǎn)：

注：此處證明所用工具方法類(lèi)似于文獻(xiàn)[1]中的證明，只是我們的證明更自然，抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，如此得到如下的一些推廣.

證明：利用四元柯西不等式以及三元均值不等式仿照上述證明即可，下面給出最關(guān)鍵的步驟，具體細(xì)節(jié)從略.

類(lèi)似的，仿照上述推廣可將原不等式推廣到n元的形式.

推廣2 設(shè)a1,a2,a3，…an>0,且a1+a2+a3+…+an，證明：

類(lèi)似于前面的證明，利用n元柯西不等式以及n元均值不等式即可證明，不再詳述.下面的推廣三與推廣四也可以容易的證明，為了簡(jiǎn)便，這兒只對(duì)推廣三給出證明.

證明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)如果把條件中的等式換成不等式結(jié)論也成立.

證明：由于