中考數(shù)學命題的幾類失誤分析與思考

四川省成都市第十二中學 (610041) 鄧萬強四川省成都市第十八中學 (610072) 向 城內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 (641100) 劉成龍

中考是九年義務(wù)教育階段最重要的一次考試.自然而然，中考命題成為了一項艱巨而嚴肅的工作，它不僅對命題者學科素養(yǎng)要求較高，而且對邏輯關(guān)系、書面表達、心理素質(zhì)等要求較高.因此，中考命題偶爾會出現(xiàn)失誤.本文中分析中考數(shù)學命題中的常見失誤，以期對命題工作的優(yōu)化有所幫助.

一、中考命題失誤的幾種類型

失誤1.數(shù)據(jù)設(shè)置不當

由于命題者所設(shè)置數(shù)據(jù)不當，導(dǎo)致得出的結(jié)果與基本事實、定理、公理等不相符合，造成命題失誤.

案例1已知圓錐的底面半徑為20，側(cè)面積為400π，則這個圓錐的母線長為.(2018年齊齊哈爾)

圖1

評析：利用所給數(shù)據(jù)OC=20，得到RtΔAOC中斜邊AC與直角邊OC相等.違背了三角形中大邊對大角，小邊對小角這一基本事實.

失誤2.圖形繪制不準確

圖2

案例2 如圖2，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，點D為ΔABC內(nèi)一點，∠BAD=15°，AD=6cm，連接BD，將ΔABD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點D的對應(yīng)點為點E，連接DE，DE交AC于點F，則CF的長為cm.(2019年山西)

評析：錯解的原因是學生誤以為B、D、E三點在同一條直線上，其根源是所給圖形不準確.這與美國著名的數(shù)學問題解決專家匈菲爾德提出的一個好的題目應(yīng)滿足的5個條件中的“不故意設(shè)陷阱”相違背.

失誤3.設(shè)問表述不當

評析：本例中的k不存在，但題目設(shè)問是：“則實數(shù)k=”，顯然設(shè)問欠妥.

失誤4.條件互相矛盾

圖3

圖4

失誤5.難度設(shè)置過大

圖5

案例5 如圖5，有一矩形紙片ABCD，AB=8，AD=17，將此矩形紙片折疊，使頂點A落在BC邊的A′處，折痕所在直線同時經(jīng)過邊AB、AD(包括端點)，交AB于E，AD于F，則折痕EF的取值范圍為.(2014年達州中考改編)

圖6

圖7

評析：錯解是通過幾何關(guān)系計算出特殊位置的線段長度，得到折痕的范圍，看似天衣無縫.事實上，本例難度較大，超出了初中學生的能力范疇.

圖8

失誤6.試題背景不公

圖9

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O(shè)、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由；

(3)若存在點P，使∠PCF=45°，請直接寫出相應(yīng)的點P坐標.(2013河南中考)

評析：本例(3)含有高中夾角公式的背景.運用初中知識解答本例需構(gòu)造直角三角形，再利用三角形相似和勾股定理來解答，涉及較繁瑣的運算.但借助高中的夾角公式來解答可以回避構(gòu)造、避免繁瑣的運算，從而大大降低試題難度.毫無疑問，對于那些學習了競賽數(shù)學或老師講過夾角公式的學生來說占盡優(yōu)勢，顯然背景不公平.特別指出，中考命題必須堅持試題背景公平，即試題背景對所有人都是公正中立的，不會對某個或某些特定的群體產(chǎn)生與考試目的無關(guān)的過激反應(yīng).

失誤7.照抄照搬陳題

圖10

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)；

評析：本例是2012年中考試題，但某地命題者將該題目一字不差地搬上了2015年中考試卷，顯然試題的信度和效度大大降低，更為不幸的是本例是一個錯題，相當于命題者抄襲了一個錯題.無論是從學術(shù)的視角，還是從中考的重要性和嚴肅性來講照抄照搬都應(yīng)該杜絕.筆者認為中考命題可以借鑒現(xiàn)有中考試題，但需要適當改編.

二、對命題的思考

試題命制是一個嚴肅而充滿創(chuàng)造的系統(tǒng)工程，既要關(guān)注知識、能力、素養(yǎng)的考查，又要注重合適的難度、有效的信度和適當?shù)膮^(qū)分度的設(shè)置，更要關(guān)注試題的嚴謹性.[1]道爾頓指出，一個好題必須具備下列條件中的一個或更多：問題要簡單，是學生能認識并解決它；依靠學生的知識和能力能得出多種解法；能引導(dǎo)學生轉(zhuǎn)向類似的問題；包含的數(shù)據(jù)能夠被理解、分類、列成表格和分析；能夠通過模型和簡圖解決；能馬上引起學生興趣；通過學生現(xiàn)有知識或?qū)⒁獙W到的知識能將一種解法一般化；能用一種再認知的方式解決；答案要有意思.同時，匈菲爾德給出了好題的五條原則：容易接受的(不需要大量技巧)；有多重解題方法(或者至少有多重思路)；蘊含了重要的數(shù)學思想；不故意設(shè)陷阱；可以進一步開展和一般化(導(dǎo)致豐富的數(shù)學探究活動).這些條件和原則為試題命制提供了方向和要求，同時也對命題者的素養(yǎng)提出更高的要求.