數(shù)學(xué)原創(chuàng)命題的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)與思考

甘肅省慶陽(yáng)市鎮(zhèn)原縣教育局 (744502) 董婭麗

近期，筆者參與了一些數(shù)學(xué)高考原創(chuàng)卷的命題和審核工作，期間有諸多的思考和認(rèn)識(shí).在此，將所思所想訴諸筆端，從原創(chuàng)命題的視角談三方面的認(rèn)識(shí)，與諸位同仁分享.

一、原創(chuàng)命題需科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)

科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)是原創(chuàng)命題的第一要素，原創(chuàng)命題需要符合科學(xué)依據(jù)，不能存在知識(shí)性、邏輯性或含糊不清的錯(cuò)誤，不能有歧義、有誤導(dǎo)性和違背科學(xué)規(guī)律，材料背景需要符合實(shí)際等.

例1 已知集合A={x|2x≥1}，B={-2,-1,0,1,2}，則集合CBA=( ).

A.{-2,-1} B.{1,2}

C.{-2,-1,0} D.{0,1,2}

分析：這是命題老師初稿中的一道試題，咋看試題，可能會(huì)覺(jué)得沒(méi)有什么問(wèn)題，其實(shí)這是一道錯(cuò)題.我們知道，補(bǔ)集的概念是在全集概念的前提下定義的，而題中的集合A不是B的子集，怎么會(huì)有集合CBA？所以說(shuō)，該題的命題犯了概念、知識(shí)模糊和邏輯關(guān)系不清的錯(cuò)誤.對(duì)于該題，命題作了下面的修正：

已知集合A={x|2x≥1}，B={-2,-1,0,1,2}，則集合(CRA)∩B=( ).

A.{-2,-1} B.{1,2}

C.{-2,-1,0} D.{0,1,2}

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C1的極坐標(biāo)方程；

分析：對(duì)于初稿中的這道試題，看似沒(méi)有問(wèn)題，但對(duì)于第(1)小題來(lái)說(shuō)，缺乏前提條件，是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?因?yàn)椴幻鞔_極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的關(guān)系，考生是無(wú)法“求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C1的極坐標(biāo)方程”的.經(jīng)補(bǔ)充完善，修改如下：

(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C1的極坐標(biāo)方程；

通過(guò)上述兩題的命制我們認(rèn)為，原創(chuàng)命題務(wù)必要做到：一是概念知識(shí)和邏輯關(guān)系明澈如鏡，二是要嚴(yán)謹(jǐn)無(wú)誤，即使是不經(jīng)意間犯錯(cuò)也應(yīng)避免的.

二、原創(chuàng)命題需嚴(yán)格規(guī)范

一道原創(chuàng)試題、一套原創(chuàng)試卷，既有考查學(xué)生知識(shí)和能力的作用，也有給學(xué)生示范的作用，所以小到標(biāo)點(diǎn)符號(hào)、一字一句，大到題意的表述、解析過(guò)程的準(zhǔn)確、完整，都要做到認(rèn)真仔細(xì)、嚴(yán)格規(guī)范.切忌有題意表述隨意、不條理，解答過(guò)程簡(jiǎn)單、不完善乃至缺步驟、圖形不準(zhǔn)確等現(xiàn)象的出現(xiàn).

(1)求橢圓E的方程.

(2)設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為P，若直線l與C相交與A,B兩點(diǎn),直線PA與直線PB的斜率的和為-1(直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P).證明l過(guò)定點(diǎn),并求定點(diǎn)坐標(biāo).

分析：這道試題，粗看也會(huì)覺(jué)得沒(méi)什么大問(wèn)題，但細(xì)究起來(lái)存在著多處不規(guī)范的地方.首先，橢圓方程中缺少了a>b>0的限制，而且將方程后面的“，其”換為“的”可使題意簡(jiǎn)潔；其次，“過(guò)F且垂直x軸的弦長(zhǎng)為1”的表述不準(zhǔn)確，應(yīng)為“過(guò)F且垂直于x軸的直線被橢圓C所截得的弦長(zhǎng)為1”；再者，(1)隨意寫(xiě)成了“求橢圓E的方程”，應(yīng)是“求橢圓C的方程”，而且后面的標(biāo)點(diǎn)符號(hào)應(yīng)是“；”，而不能用“.”；最后，(2)中用錯(cuò)了一個(gè)字，即“相交與”中的“與”應(yīng)該是“于”.對(duì)此，進(jìn)行了如下修正：

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為P，若直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),直線PA與直線PB的斜率的和為-1(直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P).證明l過(guò)定點(diǎn),并求定點(diǎn)坐標(biāo).

一個(gè)原創(chuàng)題，出現(xiàn)了這么多“細(xì)小”地方的不規(guī)范，在一定程度上反映了命題者教學(xué)基本功的不扎實(shí)和缺失.作為教師，應(yīng)努力提高個(gè)人的教學(xué)基本功和教學(xué)修養(yǎng).同時(shí)，在進(jìn)行原創(chuàng)命題時(shí)，對(duì)每一個(gè)題目都應(yīng)該字斟句酌、仔細(xì)揣摩和潤(rùn)色的，力爭(zhēng)使每一道題目都達(dá)到“完美”的程度.

三、原創(chuàng)命題需落腳于“經(jīng)典”

一道原創(chuàng)命題能否成為“經(jīng)典”，不但需要從背景、條件到解法經(jīng)過(guò)多次的提煉“打磨”，而且還應(yīng)充分挖掘所潛在的拓展功能，發(fā)揮原創(chuàng)命題的最大效益.

分析：本題是三角求值題，主要考查三角函數(shù)的同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式和簡(jiǎn)單的三角恒等變換等知識(shí).題目雖難度不大，但計(jì)算量不小.經(jīng)學(xué)生試做后，大多數(shù)的學(xué)生給出了下面的解法.

這樣來(lái)看，解法2的計(jì)算量比之解法1的計(jì)算量要小的多了，但仍是處在“解題”的層面.對(duì)此，我們?cè)僖龑?dǎo)學(xué)生：通過(guò)解法2，是否可以將題目的條件進(jìn)一步弱化，去掉“α是第三象限角”呢？于是便有下面的變式題：

此變式已有了“解決問(wèn)題”的端倪，體出現(xiàn)了多考想少考算的高考命題思路.在上面探索的基礎(chǔ)上，我引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)擴(kuò)大“戰(zhàn)果”，提煉出這類(lèi)問(wèn)題的模型：已知tanα值，求可化為關(guān)于sinα、cosα的齊次式的值.

這樣就基本做到了“解決問(wèn)題”，以上過(guò)程，很好地培養(yǎng)了學(xué)生“從‘解題’到‘解決問(wèn)題’的能力”.