培養(yǎng)恒等變形終止標(biāo)志的意識
——透過高考壓軸題的視點

淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (235000) 姜 琪 張 昆

波利亞在《怎樣解題》一書中寫道：“標(biāo)志可以引導(dǎo)我們的行動.缺少這些標(biāo)志也許是警告我們走入了一條死胡同，這樣就幫我們節(jié)省了時間，避免了徒勞的努力；它們的出現(xiàn)能使我們把精力集中于正確的一點.”[1]在解數(shù)學(xué)題時，不少學(xué)生面對恒等變形束手無策，找不到變形的方向，或者不知道變形該到什么地方停止.這會導(dǎo)致學(xué)生解題效率降低，甚至解不出來.但是，如果學(xué)生有恒等變形終止標(biāo)志的意識，就像哥倫布知道了新大陸的標(biāo)志一樣，就能在終止標(biāo)志的指引下找到變形的正確方向，發(fā)現(xiàn)“新大陸”.本文以幾道典型的高考壓軸題來說明恒等變形的終止標(biāo)志.

一、恒等變形終止標(biāo)志確定示例

例1 (2020年全國高考天津卷·20)已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

分析：對于問題(Ⅰ)的第(ⅰ)問，讀者不難得到：當(dāng)k=6時，y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=9x-8.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

對于問題(Ⅱ)，由(Ⅰ)知，當(dāng)且僅當(dāng)a>2時f(x)存在兩個極值點.由x1,x2是f(x)的極值點，可知f′(x1)=f′(x2)=0，即x1,x2滿足x2-ax+1=0.所以x1+x2=a,x1x2=1，不妨設(shè)x11.

上述是所有的已知條件.接下來要對①式不等號左邊的式子進(jìn)行恒等變形，恒等變形的終止標(biāo)志是a的獨(dú)立出現(xiàn)和剩余部分只有一元.

對比發(fā)現(xiàn)，⑦式與所要證明的①式不等號右邊的式子(a-2)在形式上是相似的.

以上兩種恒等變形的結(jié)果(⑦和⑨)都符合恒等變形的終止標(biāo)志，且都能得到最終的結(jié)果①，區(qū)別在于第一種變形結(jié)果在之后的計算中恰巧借助了第(Ⅰ)問的結(jié)論，從而簡化了大量的計算；而第二種變形結(jié)果在之后的計算中沒有借助第(Ⅰ)問的結(jié)論，證明過程稍顯繁瑣.

二、恒等變形終止標(biāo)志意識的培養(yǎng)

通過以上兩個典型例子，不難看出，在高考數(shù)學(xué)壓軸題中，恒等變形占據(jù)重要地位.在解答此類題目時，要具有恒等變形終止標(biāo)志的意識，知道恒等變形要朝著什么方向進(jìn)行，到什么時候終止.作為教師，首先，自己要具備這樣的意識；其次，要有意識地培養(yǎng)學(xué)生恒等變形終止標(biāo)志的意識，使學(xué)生在面對復(fù)雜的恒等變形時，能在終止標(biāo)志的指引下找到正確的變形方向，不至于像無頭蒼蠅一樣隨意變形.那么，作為教師，應(yīng)當(dāng)怎樣培養(yǎng)學(xué)生恒等變形終止標(biāo)志的意識呢？

其一，教師要親身經(jīng)歷解題的過程，樹立研究意識，在解題的過程中積極思考和總結(jié)，增強(qiáng)對恒等變形終止標(biāo)志的敏感性.教師只有親身經(jīng)歷了恒等變形的過程，才能切身體會確定恒等變形終止標(biāo)志的思維過程，認(rèn)識到它對于數(shù)學(xué)解題的重要性.如果只是單純的照搬參考答案，是不會真正地建立這種意識并讓學(xué)生感同身受的.

其三，教師講好題的關(guān)鍵一步是教學(xué)設(shè)計.教師親身經(jīng)歷解題過程得到了恒等變形的終止標(biāo)志，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，不能再以教師自身的視角進(jìn)行設(shè)計，而應(yīng)當(dāng)站在學(xué)生的立場，與學(xué)生進(jìn)行“心理換位”，把自己設(shè)想成學(xué)生，體會學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的知識，體會學(xué)生在遇到恒等變形時的思維過程和心理活動，體會學(xué)生在變形過程中可能會走的彎路和遇到的困難，等等.[4]教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，要不斷地問自己：為什么恒等變形的終止標(biāo)志是這個？怎樣想出來的？把自己的思路理清楚并向?qū)W生合理呈現(xiàn).[5]

其四，波利亞指出：“解題是一種本領(lǐng)，就像游泳、滑雪、彈鋼琴一樣，你只能夠靠模仿和實踐才能學(xué)會.”[6]因此，學(xué)生萌生在這種意識之后，要注意應(yīng)用與鞏固.如果教師在之前的教學(xué)中成功地使學(xué)生萌生了恒等變形終止標(biāo)志的意識，那么接下來教師就要為學(xué)生選擇具備典型性的相關(guān)練習(xí).選擇的題目不宜過多，但要“精”，“精”練勝過多練.同時，教師要引導(dǎo)學(xué)生對解題過程不斷反思、總結(jié)，鼓勵學(xué)生在反思回顧中不斷地積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗，增強(qiáng)恒等變形終止標(biāo)志的意識，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和效率.[7]

三、結(jié)束語

在高考數(shù)學(xué)壓軸題中，涉及恒等變形的題目非常多，能否正確地進(jìn)行恒等變形直接關(guān)系到解題的效率甚至正誤.在例1中，得到的恒等變形的終止標(biāo)志是k的獨(dú)立出現(xiàn)和⑥式括號內(nèi)只有一元；在例2中，得到的恒等變形的終止標(biāo)志是a的獨(dú)立出現(xiàn)和剩余部分只有一元.它們恒等變形的終止標(biāo)志既有相似之處，也有不同之處.因此，面對各種各樣涉及恒等變形的題目，我們無法總結(jié)出一個可以通用的終止標(biāo)志.但是，教師可以通過設(shè)計合理的教學(xué)使學(xué)生體會確立終止標(biāo)志的思維過程，掌握策略方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生恒等變形終止標(biāo)志的意識.這樣，學(xué)生在遇到同類型的題目時就能舉一反三、應(yīng)對自如.總而言之，恒等變形的終止標(biāo)志對數(shù)學(xué)解題至關(guān)重要，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生這方面的意識，學(xué)生將受益匪淺.