中考微專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與思考
——以“隱圓問題”為例

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) (215000) 張 哲

“圓”是初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中較難的一個(gè)章節(jié)，和圓有關(guān)的問題中難度較大的要屬“隱圓”問題了.近年各地中考試題中，“隱圓”問題出現(xiàn)的頻率較高，其中常常涉及動(dòng)點(diǎn)求線段最值問題．筆者認(rèn)為在中考的復(fù)習(xí)中，可以采取微專題的模式，讓學(xué)生對該類題型的思想方法、解題思路有更深層次的認(rèn)識．

1. 微專題復(fù)習(xí)教學(xué)過程

1.1 根據(jù)圓的定義構(gòu)造圓

圖1

例1 如圖1，AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=46°，則∠CAD

=________.

點(diǎn)評：在解決幾何問題時(shí)，應(yīng)結(jié)合已知條件，觀察圖形，聯(lián)想條件相關(guān)的知識點(diǎn).本題的條件AB=AC=AD，它們有一個(gè)公共頂點(diǎn)A，我們稱之為“傘型”，由它聯(lián)想到“到定點(diǎn)的距離等于定長”的圓的定義，從而畫出對應(yīng)的隱圓，將角度問題轉(zhuǎn)化到圓內(nèi)成為圓周角、圓心角問題去解決．

設(shè)計(jì)意圖：由簡單的題目切入，讓學(xué)生從自己會做的題目入手，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.

圖2

點(diǎn)評：本題以矩形的翻折為背景，研究最值問題．題中并未直接給出“傘型”條件，但是翻折問題里有很多隱含條件，包括對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角度相等.本題由翻折得到BE=BG，繼而想到“到定點(diǎn)的距離等于定長”，畫出隱圓．本題有兩個(gè)難點(diǎn)：一是將四邊形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為三角形面積的最值問題，再進(jìn)一步將三角形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定線段的距離問題；二是尋找動(dòng)點(diǎn)軌跡．

圖3

設(shè)計(jì)意圖：與例1的隱圓構(gòu)造方法一樣，難度比例1大.在完成例1的基礎(chǔ)上思考例2，提升學(xué)生的思維深度，對“利用定義構(gòu)造圓”的方法進(jìn)行鞏固

1.2 根據(jù)定邊對直角構(gòu)造圓

例3 如圖3，在RtΔABC中，AB⊥BC，AB=6,BC=4，P是ΔABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為________.

點(diǎn)評：本題由已知條件可得P點(diǎn)處是直角，而直角所對的邊AD為定邊，想到圓內(nèi)的“直徑對直角，直角對直徑”，進(jìn)而畫出隱圓，得出P點(diǎn)的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為求圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的最短距離．

設(shè)計(jì)意圖：本題是“直角對直徑”構(gòu)造圓中較為典型的題型，難度不大，大部分學(xué)生應(yīng)該可以獨(dú)立解決.由典型題型切入，引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)方法.

圖4

例4 如圖4，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長的最小值

為________.

點(diǎn)評：本題動(dòng)點(diǎn)E處是直角，不難想到“直角對直徑”，存在隱圓．但是因本題中本身有一個(gè)圓，學(xué)生容易被這個(gè)已知圓干擾，錯(cuò)認(rèn)為E的軌跡是以AD為直徑的圓，從而錯(cuò)解．實(shí)際上因?yàn)镈是動(dòng)點(diǎn)，所以AD是動(dòng)線段，因此這個(gè)已知圓也是不確定的．而∠AED的鄰補(bǔ)角∠AEB也等于90°，且∠AEB的所對邊AB是一條定邊，因此E點(diǎn)的軌跡應(yīng)該是以AB為直徑的圓，畫出隱圓后，問題迎刃而解．

設(shè)計(jì)意圖：與例3是同類型的題型，在例3的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步突破難點(diǎn)，加深學(xué)生對模型的理解.

1.3 根據(jù)定邊對定角構(gòu)造圓

圖5

例5 如圖5，已知等邊ΔABC邊長為6，D、E分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且BD=AE，連結(jié)CD，BE相交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長為________.

點(diǎn)評：此題中動(dòng)點(diǎn)F處的∠BFC的度數(shù)是定值120°，不再是90°，因此加大了尋找圓心的難度．設(shè)隱圓圓心為G，∠BGC=(180°-120°)×2=120°，以BC為等腰ΔBCG的底邊，在BC下方構(gòu)造頂角為120°、底角為30°的等腰ΔBCG，從而找到圓心G，畫出隱圓．

設(shè)計(jì)意圖：由“直角對直徑”的類型轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕摹岸ń菍Χㄟ叀钡念愋?，讓學(xué)生體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

圖6

例6 如圖6，拋物線y=x2-2x-3與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，第四象限有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，滿足AE=OA，過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)F坐標(biāo)為(t,0)，0

點(diǎn)評：此題要求頂點(diǎn)G與動(dòng)點(diǎn)I的距離最小值，必定要先找到動(dòng)點(diǎn)I的運(yùn)動(dòng)軌跡．由I是內(nèi)心，可知∠AIE為定角，不難推測是隱圓問題．但是∠AIE的對邊AE雖然長度不變，但是位置在變化，以此判斷要找的定角并非∠AIE，定弦也不是AE，由AE=OA，AI平分∠OAE，可知ΔAIO≌ΔAIE，∠AIO=∠AIE=135°，而∠AIO的對邊AO長度位置均固定不變，此時(shí)定角與定弦找到，就可以畫出隱圓了．

設(shè)計(jì)意圖：在例5的基礎(chǔ)上提升難度，由淺入深，逐漸遞進(jìn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生解決綜合題能力的螺旋式上升.

2.微專題復(fù)習(xí)的教學(xué)思考

教師在進(jìn)行微專題復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)中，需要有效的落實(shí)“以學(xué)生為主體”的教學(xué)理念，并且在教學(xué)中要充分的體現(xiàn)出學(xué)生的主體作用，這樣才能有效的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并充分的發(fā)揮出學(xué)生的創(chuàng)新精神，并提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.教學(xué)實(shí)施中應(yīng)強(qiáng)調(diào)：一是因?qū)W施教.在進(jìn)行教學(xué)中每一個(gè)班級和學(xué)生都存在著一定的不同，在復(fù)習(xí)中的存在問題也不同，進(jìn)行微專題復(fù)習(xí)方法的選擇應(yīng)具備一定的針對性，在學(xué)生遇到難以解決的問題時(shí)，要幫助學(xué)生由淺入深的方式來進(jìn)行問題的解決；二是注重學(xué)生思維活動(dòng)的參與.復(fù)習(xí)中，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生充分的融入到解題當(dāng)中，并對題型進(jìn)行有效的分析和研究，從而真實(shí)的投入到復(fù)習(xí)當(dāng)中，并真正的了解數(shù)學(xué).這樣可以有效的促進(jìn)學(xué)生思維的提高，并幫助學(xué)生從多方面的角度來進(jìn)行問題的思考，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面養(yǎng)成.