關(guān)注學生現(xiàn)有運算素養(yǎng)水平 實施有效數(shù)學課堂教學
——以一道調(diào)研題教學為例

江蘇省姜堰第二中學(225500) 凌世兵 徐樹旺

對于數(shù)學運算素養(yǎng)，2017版課程標準從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個方面給出了三個不同水平劃分.多數(shù)學生的運算素養(yǎng)只能達到水平一，少部分學生能達到水平二.也就是大多數(shù)學生只能在熟悉的數(shù)學情境中，根據(jù)問題的特征形成合適的運算思路，少部分學生能夠針對運算問題，合理選擇運算方法，設(shè)計運算程序，很少有學生能夠做到構(gòu)造運算程序，解決問題.總有數(shù)學老師抱怨：我已花了很大力氣從算法、算理等多方面來提升學生的運算素養(yǎng)水平，但收效還是不盡人意.究其原因，主要在于我們老師沒有深入調(diào)研學生現(xiàn)有運算素養(yǎng)水平，不能從學生現(xiàn)有的運算素養(yǎng)水平出發(fā)，而是盲目拔高，講自己所要講而不是講學生所要聽，追求運算的高技巧與高難度，學生無法越級跟上，所以收效甚微，這需要我們老師調(diào)研并關(guān)注學生現(xiàn)有運算素養(yǎng)水平，基于學生現(xiàn)有的運算素養(yǎng)水平進行合理的教學設(shè)計，讓學生拾階而上，切實有效提升學生的運算素養(yǎng)水平.

案例已知函數(shù)f(x)=lnx+ax-1(a∈R).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)圖像過點(1,0)，求證：e-x+xf(x)≥0.

這是我校高二調(diào)研試題，第(1)小題是一個簡單的分類討論，學生均能完成，第(2)小題是難點，學生只能想到的是“要證e-x+xf(x)≥0，即證e-x+x(lnx+x-1)≥0”，然后直接構(gòu)造函數(shù)g(x)=e-x+x(lnx+x-1)，再證g(x)≥0，但在解答過程中遇到了很大的困難，學生均未能完成證明.即學生只能在熟悉的數(shù)學情境中，根據(jù)問題的特征形成合適的運算思路，達成運算素養(yǎng)水平一，沒有學生能夠做到構(gòu)造運算程序，解決實際問題，即不能到達水平二，這是學生的現(xiàn)有運算素養(yǎng)水平，老師須從這里出發(fā)幫學生解決困難，并力爭在現(xiàn)有水平上有所提升.

任課教師A沒有調(diào)研學生解法，而是直接講解如下參考答案：

任課教師B先研究學生解法.

由于學生無法像參考答案提供的解法那樣得到g(x0)=0，所以學生均未能完成解題，這是學生急需要解決的問題.教師B對這道題設(shè)計了如下的教學環(huán)節(jié)，首先幫學生解決“g(x0)=0”的困惑，然后再引領(lǐng)學生一起感受參考答案.

老師(投影學生解法)：要證g(x)≥g(x0)即要證g(x0)=0，但由于x0是超越方程e-x0=lnx0+2x0的根，無法解出，所以很大同學只能到此為止，很是遺憾！

學生1：從e-x0=lnx0+2x0得到g(x0)=0著實不易，但我試著把e-x0=lnx0+2x0代入g(x0)得到g(x0)=e-x0+x0(lnx0+x0-1)=e-x0+x0(e-x0-x0-1)=(1+x0)(e-x0-x0)，這里出現(xiàn)了兩個因式，顯然我們要證e-x0-x0=0，可我未能成功.

沿著學生1的思路，再從“e-x0=lnx0+2x0”尋找路徑，經(jīng)師生合作得到如下解答：

由①式可得e-x0-x0=lnx0+x0.設(shè)e-x0-x0=lnx0+x0=t，則 e-x0=t+x0,lnx0=t-x0，即-x0=ln(t+x0),lnx0-t=-x0，可得lnx0=ln(x0+t)+t， 由此同構(gòu)式可得t=0， 則 e-x0-x0=0，所以 g(x0)=e-x0+x0(lnx0+x0-1)=e-x0+x0(e-x0-x0-1)=(1+x0)(e-x0-x0)=0，所以 g(x)≥g(x0)=0 .

實際上，學生在考場上的解法得到g(x0)=0著實不易，這對代數(shù)恒等變換提出非常高的要求，難怪學生均未能完成解答，在師生通力合作下，問題終于得到成功解決，學生課前的困惑得到了圓滿解決，甚是欣慰，雖解決地很是辛苦，但拉近了師生、生生之間的距離，課堂和諧高效.這樣的過程在考場很難完成，為了回避這一思維難點，所以此題提供的參考答案在原有不等式兩邊同時除以x，但如果不看參考答案，估計老師也會像學生那樣移項直接構(gòu)造函數(shù)，當然，部分解題經(jīng)驗較豐富的老師還是會選擇參考答案的思路.

緊接著B教師給出了參考答案，并與學生一起進行了比較與分析，得出如下小結(jié)：在原有不等式兩邊同時除以x后，所構(gòu)造函數(shù)的導函數(shù)只含有一個超越表達式，易于得出導函數(shù)的零點；而直接構(gòu)造函數(shù)的導函數(shù)含有兩個超越表達式，很難得出導函數(shù)的零點.學生心中的結(jié)得到了徹底解決，收獲滿滿！

學生2(舉手)：老師，我有個新的解法.在原有不等式兩邊同時乘以ex，然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=1+ex(xlnx+x2-x)，其導函數(shù)為g′(x)=ex(x+1)(lnx+x)，由g′(x0)=0可得lnx0+x0=0，即lnx0=-x0，同樣可得x0=e-x0，接下來同前面解法，問題也能得到圓滿解決.學生2的解法中，所構(gòu)造函數(shù)的導函數(shù)含有兩個超越表達式，但一點都不影響問題的解決，由此可見，前面的小結(jié)也不是絕對的，學生2能由“除”想到“乘”，并很快給出新的解法，敢于突破老師超越老師，這說明在教師B正確課堂教學設(shè)計的影響下，學生的數(shù)學運算素養(yǎng)水平得到了極大提升，這是有效課堂教學的充分體現(xiàn)，也是B教師合理教學設(shè)計的有力證明!

B教師雖然浪費了教學時間(只講了這道題和兩道變式)，未能像A教師那樣完成更多的教學任務(wù)(完成整份調(diào)研測試6道重點試題的講評)，但其收效卻很大，要知道，在課堂教學中，像B教師這樣的講解才是學生最需要的，當然也是很有效的.

當然，課后經(jīng)聽課老師們深入研討后發(fā)現(xiàn)：在函數(shù)的綜合題中，經(jīng)常會遇到令人望而生畏的超越不等式，在艱難求解后，可基于文[3]的思考進一步探索出此題的命制路徑.

結(jié)語：由于上課教師A課前沒有認真研究學生的解答過程，直接講參考答案，還在暗地里嫌學生笨，連“不等式兩邊同時除以x”都想不到，但學生非常期待老師能幫其完成解答，但教師A只提供了一個學生不能想到的思路，技巧性強，學生根本達不到，這樣的課堂教學效果是很差的，我們需要切實解決學生的問題，達成有效課堂，真正提升學生的運算素養(yǎng)水平.任課教師B課前充分研究學生解法，先展示學生未能成功的解法，并與學生合作完成后續(xù)思路，后再提供新的思路，最后進行比較，以總結(jié)此類問題的常用處理策略，即教師B先基于學生現(xiàn)有運算素養(yǎng)水平，后再提升學生運算素養(yǎng)水平，達成了很好的教學效果.

學生解法是學生現(xiàn)有數(shù)學運算素養(yǎng)水平的真實體現(xiàn)，即可理解為學生的“最近發(fā)展區(qū)”，是學生數(shù)學運算素養(yǎng)水平生長的起點，也就是老師課堂教學的起點及著力點，課堂教學應(yīng)始于此起點，首先抓牢這一起點，然后帶領(lǐng)學生飛向更高的點，所以我們老師要講學生所要學，而不是講老師所要教，基于學生現(xiàn)有數(shù)學運算所以水平，實施切實有效的教學，真正幫助學生提升數(shù)學運算素養(yǎng)水平，讓數(shù)學核心素養(yǎng)落地有聲.