非線性兩能級(jí)系統(tǒng)中的Landau-Zener-Coulomb躍遷

豆福全, 胡 丹, 孫建安

(西北師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引 言

量子非絕熱躍遷作為量子力學(xué)中的一種基本現(xiàn)象, 涉及到化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)、核物理系統(tǒng)和超冷原子系統(tǒng)等多個(gè)領(lǐng)域[1-7]. 長(zhǎng)期以來(lái), 人們?yōu)榱搜芯苛孔臃墙^熱躍遷這一現(xiàn)象, 引進(jìn)了眾多模型, 其中多通道Landau-Zener-Coulomb模型作為可精確求解的模型之一, 是由Sinitsyn于2013年提出. 不同于其它模型, 在該模型中, 能級(jí)之一是根據(jù)庫(kù)侖定律衰減的[8], 而其它能級(jí)則是隨時(shí)間線性變化. 隨后,Sinitsyn團(tuán)隊(duì)基于該模型對(duì)量子非絕熱躍遷進(jìn)行了大量的研究, 得到了一系列結(jié)果, 包括躍遷概率的解析表達(dá)式, 躍遷過(guò)程中的反直覺(jué)行為以及振蕩現(xiàn)象等[8, 9]. 此外, 該模型在Rydberg原子和分子碰撞中也有著重要應(yīng)用[10-15].

實(shí)際上對(duì)于真實(shí)的物理系統(tǒng), 特別是超冷原子系統(tǒng), 往往由于存在粒子間相互作用而使系統(tǒng)具有非線性[16]. 這些非線性會(huì)使物理系統(tǒng)出現(xiàn)一系列新奇現(xiàn)象. 近年來(lái), 許多學(xué)者對(duì)非線性系統(tǒng), 特別是對(duì)非線性系統(tǒng)的躍遷動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了廣泛地研究. 如非線性Landau-Zener隧穿[17-22]、非線性Rosen-Zener躍遷[23, 24]和非線性Demkov-Kunike躍遷[25]等. 而對(duì)于Landau-Zener-Coulomb模型, 如果系統(tǒng)中存在粒子間相互作用, 其躍遷動(dòng)力學(xué)仍不清楚.

本文研究了非線性兩能級(jí)系統(tǒng)中的Landau-Zener-Coulomb躍遷動(dòng)力學(xué). 在非絕熱條件下, 通過(guò)將能級(jí)的斜率分為為正和為負(fù)兩種情況, 討論了粒子間相互作用對(duì)Landau-Zener-Coulomb躍遷動(dòng)力學(xué)的影響, 發(fā)現(xiàn)當(dāng)能級(jí)的斜率為正時(shí), 非線性會(huì)抑制非絕熱躍遷, 且非線性強(qiáng)度越大, 兩能級(jí)間的非絕熱躍遷越難發(fā)生. 而為負(fù)時(shí), 弱非線性會(huì)促進(jìn)非絕熱躍遷, 對(duì)于強(qiáng)非線性情況, 躍遷概率會(huì)出現(xiàn)振蕩. 隨著非線性強(qiáng)度的增大, 振蕩幅度逐漸減小, 能級(jí)間的非絕熱躍遷受到抑制.

2 模型與能級(jí)

非線性兩能級(jí)系統(tǒng)的Landau-Zener-Coulomb躍遷可以由下面無(wú)量綱化的薛定諤方程描述：

(1)

哈密頓量為

(2)

其中a,b是|0〉態(tài)和|1〉態(tài)的概率幅, 系統(tǒng)的總概率|a|2+|b|2=1.k是|0〉態(tài)的能級(jí)曲率,β為|1〉態(tài)的能級(jí)斜率,g和c分別是兩個(gè)能級(jí)之間的耦合強(qiáng)度和描述粒子間的相互作用的非線性參數(shù).

由于系統(tǒng)是從τ→0到τ=+∞演化, 假設(shè)初始時(shí)刻τ→0時(shí)系統(tǒng)完全制備在|0〉態(tài)上. 定義躍遷概率為P0→1=|b(+∞)|2. 則線性情況下(c=0)躍遷概率如下所示[8]

(3)

(4)

(5)

通過(guò)數(shù)值求解(5)式, 得到如圖1所示的能級(jí)結(jié)構(gòu)圖. 其中初始態(tài)在上能級(jí)上, 隨著非線性的出現(xiàn), 能級(jí)結(jié)構(gòu)發(fā)生了改變. 當(dāng)能級(jí)的斜率為正時(shí), 如圖1(a)所示, 隨著非線性強(qiáng)度的逐漸增大, 系統(tǒng)的下能級(jí)出現(xiàn)了環(huán)狀結(jié)構(gòu), 并隨非線性強(qiáng)度的逐漸增大而擴(kuò)大. 而當(dāng)能級(jí)的斜率為負(fù)時(shí), 如圖1(b)所示, 非線性相互作用也會(huì)使系統(tǒng)的能級(jí)結(jié)構(gòu)發(fā)生改變, 當(dāng)非線性強(qiáng)度增大到超過(guò)某個(gè)臨界值時(shí)上能級(jí)上出現(xiàn)了環(huán)狀結(jié)構(gòu), 且隨著非線性強(qiáng)度的增大會(huì)變大.

為獲得粒子間相互作用的臨界值并分析系統(tǒng)中出現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，可通過(guò)正則變換將非線性兩能級(jí)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為經(jīng)典哈密頓系統(tǒng)[18]. 其中a=|a|eiθa,b=|b|eiθb, 引入布居數(shù)差s=|b|2-|a|2和相對(duì)相位差θ=θb-θa, 得到系統(tǒng)的經(jīng)典哈密頓量:

(6)

θ=0,π,

(7)

(8).

相互作用臨界值滿足:

圖1 (a)k2=0.7,β=1.0,g=0.3時(shí)不同非線性強(qiáng)度下的能級(jí)結(jié)構(gòu); (b)k2=0.2,β=-1.0, g=0.3時(shí)不同非線性強(qiáng)度下的能級(jí)結(jié)構(gòu).Fig. 1 (a) Energy levels for different nonlinear strengths with k2=0.7,β=1.0,g=0.3; (b) Energy levels for different nonlinear strengths with k2=0.2,β=-1.0,g=0.3.

(9)

(10)

3 Landau-Zener-Coulomb躍遷動(dòng)力學(xué)

本部分將采用4-5階龍格-庫(kù)塔法數(shù)值計(jì)算能級(jí)斜率分別為正和為負(fù)兩種情況下兩能級(jí)系統(tǒng)中的躍遷動(dòng)力學(xué). 數(shù)值計(jì)算中時(shí)間取τ=0.0001到τ=800.

3. 1 能級(jí)斜率為正的情形

首先探究躍遷動(dòng)力學(xué)的一些基本規(guī)律. 數(shù)值結(jié)果如圖2-4所示, 圖2展示了不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨演化時(shí)間的變化, 圖中取k2=0.7,β=1.0,g=0.3. 可以看出隨著時(shí)間的增大, 躍遷概率會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)固定值, 且隨著非線性強(qiáng)度的增大持續(xù)降低, 能級(jí)間的非絕熱躍遷受到抑制. 圖3展示了不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨耦合強(qiáng)度、能級(jí)斜率以及能級(jí)曲率平方變化. 其中棕色方塊線表示c=0.0的解析結(jié)果. 圖4展示了躍遷概率隨非線性強(qiáng)度的變化. 我們發(fā)現(xiàn)非線性總是抑制兩能級(jí)間的非絕熱躍遷, 且非線性強(qiáng)度越大, 兩能級(jí)間的非絕熱躍遷越難發(fā)生.

圖2 不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨時(shí)間τ的變化關(guān)系.Fig. 2 The transition probabilities as time τ for different nonlinear strengths.

3.2 能級(jí)斜率為負(fù)的情形

仍先探究躍遷動(dòng)力學(xué)的一些基本規(guī)律. 數(shù)值結(jié)果如圖5-7所示, 圖5展示了不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨演化時(shí)間的變化關(guān)系, 圖中取k2=0.2,β=-1.0,g=0.3. 根據(jù)(10)式可得到相互作用的臨界值c=2.09964, 弱非線性和強(qiáng)非線性就分別對(duì)應(yīng)于c<2.09964和c>2.09964. 可以看出隨著時(shí)間的增大, 不論相互作用的強(qiáng)弱, 最后躍遷概率都會(huì)到達(dá)一個(gè)穩(wěn)定值. 對(duì)于弱非線性情形, 隨著非線性強(qiáng)度的增大躍遷概率會(huì)增加, 相互作用促進(jìn)了躍遷的發(fā)生. 而對(duì)于強(qiáng)非線性, 躍遷動(dòng)力學(xué)變得復(fù)雜. 圖6展示了不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨耦合強(qiáng)度、能級(jí)斜率以及能級(jí)曲率平方的變化. 其中棕色方塊線表示c=0.0的解析結(jié)果. 為進(jìn)一步揭示粒子間相互作用對(duì)躍遷動(dòng)力學(xué)的影響, 計(jì)算了躍遷概率隨非線性強(qiáng)度的變化, 如圖7所示. 我們發(fā)現(xiàn)弱非線性確實(shí)會(huì)促進(jìn)能級(jí)間的非絕熱躍遷, 而在強(qiáng)非線性時(shí), 由于能級(jí)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化, 躍遷概率會(huì)出現(xiàn)振蕩, 且隨著非線性強(qiáng)度的增大, 振蕩幅度逐漸減小, 整體而言粒子間強(qiáng)相互作用會(huì)抑制能級(jí)間的非絕熱躍遷.

圖3 (a)k2=0.7,β=1.0時(shí)不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨耦合強(qiáng)度g的變化關(guān)系; (b)k2=0.7, g=0.3時(shí)不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨|1〉態(tài)的能級(jí)斜率β的變化關(guān)系; (c)β=1.0, g=0.3時(shí)不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨|0〉態(tài)的能級(jí)曲率的平方k2的變化關(guān)系.Fig. 3 (a)The transition probabilities as coupling strength g for different nonlinear strengths with k2=0.7,β=1.0; (b)The transition probabilities as the slope of energy level of the |1〉 state β for different nonlinear strengths with k2=0.7,g=0.3; (c)The transition probabilities as the square of the curvature of energy level of the |0〉state k2 for different nonlinear strengths with β=1.0,g=0.3.

圖4 躍遷概率隨非線性強(qiáng)度c的變化關(guān)系. 參數(shù)分別取k2=0.7,β=1.0,g=0.3.Fig. 4 The transition probabilities as nonlinear strength c with k2=0.7,β=1.0,g=0.3.

圖5 不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨時(shí)間τ的變化關(guān)系.Fig. 5 The transition probabilities as time τ for different nonlinear strengths.

4 結(jié) 論

研究了具有粒子間相互作用的兩能級(jí)系統(tǒng)Landau-Zener-Coulomb躍遷動(dòng)力學(xué). 研究結(jié)果表明, 在能級(jí)斜率為正和為負(fù)兩種情況下, 粒子間相互作用對(duì)能級(jí)間的非絕熱躍遷會(huì)產(chǎn)生完全不同的影響. 為正時(shí), 粒子間相互作用會(huì)抑制能級(jí)間的非絕熱躍遷, 且相互作用強(qiáng)度越大, 兩能級(jí)間的非絕熱躍遷也就越難發(fā)生. 而為負(fù)時(shí), 弱相互作用會(huì)促進(jìn)能級(jí)間的非絕熱躍遷, 在強(qiáng)相互作用時(shí), 躍遷概率會(huì)出現(xiàn)振蕩, 隨著相互作用強(qiáng)度的增大, 振蕩幅度逐漸減小, 能級(jí)間的非絕熱躍遷受到抑制.

圖6 (a)k2=0.2,β=-1.0時(shí)不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨耦合強(qiáng)度g的變化關(guān)系; (b)k2=0.2,g=0.3時(shí)不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨|1〉態(tài)的能級(jí)斜率β的變化關(guān)系; (c)β=-1.0,g=0.3時(shí)不同非線性強(qiáng)度下躍遷概率隨|0〉態(tài)的能級(jí)曲率的平方k2的變化關(guān)系.Fig. 6 (a)The transition probabilities as coupling strength g for different nonlinear strengths with k2=0.2,β=-1.0; (b)The transition probabilities as the slope of energy level of the |1〉state β for different nonlinear strengths with k2=0.2,g=0.3; (c)The transition probabilities as the square of the curvature of energy level of the |0〉state k2 for different nonlinear strengths with β=-1.0,g=0.3.

圖7 躍遷概率隨非線性強(qiáng)度c的變化關(guān)系. 參數(shù)分別取k2=0.2, β=-1.0, g=0.3.Fig. 7 The transition probabilities as nonlinear strength c with k2=0.2, β=-1.0, g=0.3.