非馬爾科夫環(huán)境中各向異性海森堡自旋鏈的幾何量子失協(xié)

唐詩生, 李瑞鳴, 艾合買提·阿不力孜

(新疆師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院物理系，烏魯木齊 830054)

1 引 言

自然界中普遍存在著關(guān)聯(lián)現(xiàn)象[1]，量子關(guān)聯(lián)中的量子糾纏是量子信息處理過程中的一種重要的資源[2]，因此糾纏在量子計(jì)算和量子信息中起著至關(guān)重要的作用[3].在過去的幾十年里研究者們對(duì)量子糾纏[4]的研究取得了很大的進(jìn)展，并從實(shí)驗(yàn)和理論上發(fā)現(xiàn)量子關(guān)聯(lián)不僅有量子糾纏還有量子失協(xié)、幾何量子失協(xié)等.為了更清晰地描述量子關(guān)聯(lián)，Ollivier和Zurek[5]引入了量子失協(xié)(QD).量子失協(xié)是一種非經(jīng)典關(guān)聯(lián)的信息論[6]度量方式.量子失協(xié)能夠很好的度量兩個(gè)子系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián).但它的評(píng)估過程非常困難，只有在某些特殊的情形下才能被評(píng)估，比如：貝爾對(duì)角態(tài)[7]、X型結(jié)構(gòu)態(tài)[8].為了解決這一問題，Dakic等人[9]從測(cè)量距離也就是從幾何角度引入希爾伯特-施密特(Hilbert-Schmidt)范數(shù)并提出了幾何量子失協(xié)(GQD).幾何量子失協(xié)是一種新的度量量子關(guān)聯(lián)的方法并被廣泛研究[10，11].

考慮到實(shí)際中的物理系統(tǒng)完全封閉是不可能存在的，系統(tǒng)不可避免地受到周圍環(huán)境的影響從而導(dǎo)致量子態(tài)之間的關(guān)聯(lián)特性被破壞.基于此原因，研究開放量子系統(tǒng)之間的GQD隨時(shí)間的演化關(guān)系是很有意義的.按照外界環(huán)境對(duì)開放性量子系統(tǒng)的影響程度可劃分為馬爾科夫環(huán)境和非馬爾科夫環(huán)境[12].其中馬爾科夫環(huán)境沒有環(huán)境記憶效應(yīng)，即所研究的系統(tǒng)中的信息和能量只能從系統(tǒng)流到環(huán)境，而不能由環(huán)境反過來影響系統(tǒng)；非馬爾科夫環(huán)境有環(huán)境記憶效應(yīng)，也就是系統(tǒng)—環(huán)境之間有信息、能量[13]等的交換.在非馬爾科夫環(huán)境下，系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài)受系統(tǒng)歷史狀態(tài)影響.

1998年Diosi等人[14]系統(tǒng)的闡述了非馬爾科夫量子態(tài)擴(kuò)散方法(NMQSD)，并采用真實(shí)的物理系統(tǒng)研究了量子關(guān)聯(lián)在非馬爾科夫環(huán)境下的演化性質(zhì)；Laine等人[15]用糾纏的光子極化后產(chǎn)生的極化態(tài)實(shí)現(xiàn)了量子隱形傳態(tài)；Jing等人[16]研究了在兩種噪聲情形下關(guān)于量子隱形傳態(tài)的時(shí)間演化；Yu 等人研究了費(fèi)米庫，寫出了系統(tǒng)在費(fèi)米庫中的NMQSD主方程[17，18]；趙新宇等人[19，20]討論了基于非馬爾科夫費(fèi)米庫環(huán)境中雙量子點(diǎn)模型的量子糾纏特性；Hu和Fan[21]研究了幾何量子相關(guān)測(cè)度的演化方程；Hu等研究了多體的幾何量子失協(xié)[22]；Spehner定義了一種新的量子關(guān)聯(lián)度量并測(cè)量了幾何量子失協(xié)[23]；Paula等通過考慮廣義Schatten p范數(shù)重新討論了幾何量子失協(xié)[24]；Lü等人研究了光子晶體腔陣列系統(tǒng)中的凍結(jié)高斯量子失協(xié)[25]；Yang等人研究了光子晶體腔中分離的氮空位中心之間量子相關(guān)性的非馬爾可夫動(dòng)力學(xué)[26].但目前還沒有研究在非馬爾科夫環(huán)境中具有時(shí)變磁場和Dzyaloshinski—Moriya相互作用Dz下的兩比特各向異性海森堡自旋鏈的幾何量子失協(xié).本文中，主要研究了非馬爾可夫環(huán)境下海森堡XYZ模型中的幾何量子失協(xié)并通過非馬爾科夫量子態(tài)擴(kuò)散方法進(jìn)行了數(shù)值模擬.

2 幾何量子失協(xié)的度量

(1)

其中xi=trρ(σi?I)，yi=trρ(I?σi)為布洛赫矢量的分量，σi(i=1,2,3)是1925年泡利研究費(fèi)米子時(shí)提出的泡利矩陣，Rij=Trρ(σi?σj)是關(guān)聯(lián)張量的分量.對(duì)于二比特海森堡自旋鏈系統(tǒng)的量子態(tài)，量子零失協(xié)態(tài)的式子如下：

x=p1|ψ1〉〈ψ1|?ρ1+p2|ψ2〉〈ψ2|?ρ2

(2)

式中的{|ψ1〉，|ψ2〉}是正交規(guī)范基矢量.按照參考文獻(xiàn)[28]能夠知曉：在任意的二比特系統(tǒng)中幾何量子失協(xié)的表達(dá)式能夠重新表述為以下的等式：

(3)

式中列向量x=(x1，x2，x3)T,矩陣K=xxT+RRT的最大本征值定義為Kmax.實(shí)際上對(duì)于二比特系統(tǒng)的幾何量子失協(xié)有一種簡明扼要的計(jì)算方法可供選擇，查閱參考文獻(xiàn)[29]可得知，

(4)

其中λi是3×4階矩陣R′=(x,R)的本征值.需要特別提醒的是：幾何量子失協(xié)并不是歸一化的，在二比特海森堡自旋鏈系統(tǒng)這種特殊的情形下，幾何量子失協(xié)的最大值為0.5.

3 模型與方法

在實(shí)際中，由于固態(tài)量子系統(tǒng)具有優(yōu)異的可操控和擴(kuò)展的性能，因此通常首選固態(tài)量子系統(tǒng)作為量子信息的系統(tǒng)[30].其中Heisenberg自旋鏈模型是一個(gè)相對(duì)簡單、有用的固態(tài)物理系統(tǒng)，因此在量子信息傳輸、量子計(jì)算方面得到了廣泛的發(fā)展.本文選擇了在非馬爾科夫環(huán)境中具有時(shí)變磁場和Dzyaloshinski—Moriya相互作用中的自旋作用非常豐富的兩比特海森堡XYZ模型作為研究的對(duì)象，此時(shí)系統(tǒng)的哈密頓量可以表述如下：

(5)

Htot=Hsys+Henv+Hint

(6)

其中，

(7)，

(8)，

(9).

(10).

在非馬爾科夫環(huán)境下系統(tǒng)態(tài)演化的精確方程(方程(1))中可以明確地看見該方程內(nèi)包含了一個(gè)時(shí)間非局域項(xiàng)，正是時(shí)間非局域部分的存在導(dǎo)致了方程的積分過程非常的困難甚至不可實(shí)現(xiàn).因此在實(shí)際情形下就不得不運(yùn)用一定的近似過程來處理方程(1).方程(1)中對(duì)時(shí)間有依賴的部分現(xiàn)在用操作符O(t,s,z*)來替代有下式，如下式所示：

(11)

通過一致性條件[35]，

(12)

從一致性條件中就能夠得到算子O(t,s,z*)的時(shí)間演化方程：

(13)

O(t,s,z*)=f1(t,s)O1+f2(t,s)O2+

f3(t,s)O3+f4(t,s)O4+f5(t,s)O5+

f6(t,s)O6+f7(t,s)O7+f8(t,s)O8

(14)

F1f1+F4f4-F1f3+F3f1+F3f4+F4f3-2iDzf3，

F2f4+F3f4+F4f3+F4f2+F2f2+F3f3+2iDzf4，

F2f1+F3f1+F4f2+F4f3+F2f3+F3f2+2iDzf1，

F1f4+F4f1-F1f2+F3f4+F3f1+F4f2-2iDzf2，

F4f8-F4f5+F5f1-F8f1+F1f7-

F2f5-F3f8-F4f7+F6f1-F7f1+2iDzf7，

F1f6+F2f8-F3f8-F4f7+F5f2-F8f2-F3f6-

F3f7+F6f2-F7f2-2iDzf8，

F1f7+F2f5-F3f5+F4f6-F5f3+F8f3-

F3f7+F3f6-F6f3+F7f3-2iDzf5

F4f5-F4f8-F5f4+F8f4+F1f6-F2f8-

F3f5-F4f6-F6f4+F7f4+2iDzf6

f1(t,t=s)=1，f5(t,t=s)=0，

f2(t,t=s)=1，f6(t,t=s)=0，

f3(t,t=s)=0，f7(t,t=s)=0，

f4(t,t=s)=0，f8(t,t=s)=0.

兩比特海森堡XYZ系統(tǒng)中的量子態(tài)隨時(shí)間演化的過程能夠通過上述方程進(jìn)行精確的數(shù)值模擬，量子態(tài)擴(kuò)散方程能夠簡明緊湊地寫為時(shí)間的局域方程，如下式所示：

(15)

4 數(shù)值模擬結(jié)果

利用量子態(tài)擴(kuò)散方法得到了密度矩陣的時(shí)間演化過程，把隨時(shí)間演化的密度矩陣代入系統(tǒng)的幾何量子失協(xié)方程里，在非馬爾科夫環(huán)境下通過數(shù)值模擬、計(jì)算、分析系統(tǒng)的幾何量子失協(xié)隨時(shí)間演化的過程.具體討論了環(huán)境關(guān)聯(lián)參數(shù)、海森堡自旋系統(tǒng)中兩比特間的自旋耦合系數(shù)、時(shí)變磁場、Dzyaloshinski—Moriya相互作用Dz等參數(shù)在幾何量子失協(xié)中的影響.下面分析各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幾何量子失協(xié)的影響.

5 結(jié) 論

研究結(jié)果表明：在本系統(tǒng)中不同類型的參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幾何量子失協(xié)的影響不同.

(1)當(dāng)環(huán)境關(guān)聯(lián)系數(shù)取值越小也就是非馬爾科夫性越強(qiáng)時(shí)，能夠非常顯著地提高系統(tǒng)的幾何量子失協(xié)，因此非馬爾科夫環(huán)境相比馬爾可夫環(huán)境的優(yōu)越性被體現(xiàn).

(2)當(dāng)自旋耦合系數(shù)J越大時(shí)能夠非常顯著地提高系統(tǒng)的幾何量子失協(xié).

(3)當(dāng)時(shí)變磁場強(qiáng)度B越大時(shí)也能夠非常顯著地提高幾何量子失協(xié).此外，其它參數(shù)的選取在一定程度上對(duì)幾何量子失協(xié)也有影響.

綜上所述，在非馬爾科夫條件下的兩比特海森堡XYZ系統(tǒng)中，可以通過合理的組合各種參數(shù)實(shí)現(xiàn)較大的幾何量子失協(xié).