自旋為1 的雙層平方晶格阻挫模型的相變*

卿煜林 彭小莉 胡愛元

(重慶師范大學物理與電子工程學院，重慶 401331)

采用雙時格林函數(shù)方法研究了自旋為1 的雙層平方晶格阻挫模型的相變行為.詳細探討了層間耦合相互作用 Jc 和單離子各向異性參數(shù)D 對奈爾態(tài)(AF1)和共線態(tài)(AF2)之間相轉換的影響.結果顯示:只要參數(shù)Jc 和D 不同時為零，奈爾態(tài)和共線態(tài)在 J2 J1/2 (這里 J1 和 J2 分別描述的是系統(tǒng)自旋間最近鄰和次近鄰交換作用)時的相變溫度相等，兩個態(tài)共存.在低于相變點的溫度范圍內(nèi)，AF1-AF2 態(tài)之間可以發(fā)生相轉換，其相變類型為一階相變.當 J2 ／J1/2時，盡管AF1-AF2 態(tài)有不同相變溫度，但它們也可以共存.如果AF1(AF2)態(tài)的相變溫度大，在低溫，AF1(AF2)態(tài)更穩(wěn)定;在高溫，AF2(AF1)態(tài)更穩(wěn)定;在中間溫度范圍內(nèi)，AF1-AF2態(tài)之間也可以發(fā)生一階相轉換.

1 引言

平方晶格反鐵磁體可采用J1-J2模型來描述.在這個模型中，J1和J2皆大于零，為反鐵磁交換作用.因此，它被認為是一個阻挫系統(tǒng).一些材料的磁性質可采用該模型來描述.如銅基高溫超導材料的磁性質可以采用J2/J1較小時的J1-J2模型來描述[1-3]，而鐵基超導材料的磁性質則可采用J2/J1較大時的J1-J2模型來描述[4-6].需要注意的是，實際材料一般是層狀結構，層間耦合相互作用通常是不能忽略的，這在以往的研究中已經(jīng)得到了證實[1-6].

理論上，對于一個考慮了層間耦合相互作用的J1-J2-Jc(這里Jc是層間耦合相互作用)模型是非常重要的.根據(jù)Mermin-Wagner 定理[7]，各向同性的二維平方晶格J1-J2模型在有限溫度時是不存在長程有序的，但如果引入了層間耦合相互作用，無論它多弱，系統(tǒng)都將存在長程有序.因此，對于研究非零溫度二維平方晶格J1-J2模型的磁性質，引入Jc是重要的.

由于該模型的重要性，人們已經(jīng)采用不同方法對它進行了細致的研究.如旋轉不變格林函數(shù)法[8]、有效場理論[9]、線性自旋波理論[10]、高溫系列展開法[11]、團簇平均場理論[12]和耦合團簇方法[13].這些研究都集中在其基態(tài)性質，對其在有限溫度時的研究非常有限.基于此，本文聚焦其在有限溫度的磁性質.鑒于實際材料通常存在各向異性，模型引入了單離子各向異性D.同時，注意到已有的研究大多考慮層間耦合為反鐵磁的情況[9-12]，對于其鐵磁情況很少涉及[13]，本文將全面考慮這兩種層間耦合相互作用對系統(tǒng)相變的影響.結果顯示:只要參數(shù)Jc和D不同時為零，當J2J1/2時，AF1 態(tài)和AF2 態(tài)具有相同的相變溫度并且共存;當J2／J1/2時，盡管AF1-AF2 態(tài)有不同相變溫度，但它們也可以共存.對于這兩種情況，當溫度低于相變點時，AF1-AF2 態(tài)之間可以發(fā)生相轉換.

2 理論模型

考慮一個雙層平方晶格阻挫模型，其磁構型有1 種，如圖1 所示.其哈密頓量可以采用如下形式來描述:

這里，J1，J2，Jc分別是描述自旋間最近鄰、次近鄰和層間耦合相互作用的參數(shù).令J1和J2取正值，對應于反鐵磁交換作用.Jc的取值可正可負，分別對應反鐵磁和鐵磁交換作用，其中反鐵磁交換作用對應的模型為圖1(a)和圖1(b)，鐵磁交換作用對應的模型為圖1(c)和圖1(d).在結果與討論部分，取J11.〈ij〉，[ij]，{ij}分別表示對最近鄰、次近鄰和層間最近鄰格點求和.D為單離子各向異性參數(shù).由于晶格中自旋取向向上和向下的數(shù)目相等，于是根據(jù)晶格中自旋取向將其分成兩個子晶格，取向相同為一個子晶格.選取z軸為量子化軸，則子晶格磁化強度定義為自旋算符的統(tǒng)計平均，即在 沒有外場的情況下，它們之間存在如下關系:mmup-mdwon.

圖1 奈爾態(tài)和共線態(tài)的磁構型.(a)，(b)和(c)，(d)分別對應層間耦合為反鐵磁和鐵磁相互作用.實心和空心圓圈分別描述的是自旋取向相上和向下Fig.1.Spin configurations of the Néel and collinear states.(a)，(b) and (c)，(d) correspond to the interlayer coupling as antiferromagnetic and ferromagnetic interactions，respectively.The solid and empty circles represent the up-spins and down-spins，respectively.

根據(jù)格林函數(shù)方法的一般步驟，首先要構建格林函數(shù).由于本文研究的模型存在4 種磁構型，基于格林函數(shù)方法給出每一個模型的推導過程過于繁瑣.因此，這里以圖1(a)的磁構型為例，給出其磁化強度和相變溫度解析表達式的推導過程，其余3 種磁構型將不再贅述.

為了得到系統(tǒng)子晶格磁化強度，構建如下格林函數(shù)[14，15]:

其中u是Callen 參數(shù)[16].然后建立格林函數(shù)運動方程，在推導運動方程的過程中，將會出現(xiàn)一組不閉合的高階格林函數(shù)方程組.為了求得高階格林函數(shù)，繼續(xù)推導其運動方程，這樣又會得到更高階的格林函數(shù)組.如此反復，將會得到一系列不閉合高階格林函數(shù)方程組.為了使格林函數(shù)方程組閉合，必須采用退耦使方程組閉合.本文采用Tyablikov退耦近似[14，15]，即

對于單離子各向異性，采用Anderson-Callen退耦近似[17]，即

其中

其中mF表示子晶格磁化強度.

令

式中N是晶格格點數(shù).對波矢k求和遍及第一布里淵區(qū).當u0 時ΘF(0)2mF.應用譜定理，對進行空間傅里葉變換得到，即

其中

其中κB是玻爾茲曼常數(shù).為了方便，令κB1，則系統(tǒng)所有的量，包括交換常數(shù)、磁化強度、溫度皆是一個無量綱的量.晶格結構因子γ1xkcoskx;γ1ykcosky;γ2kcoskxcosky;γckcoskz.利用 關系得到子晶格磁化強度的表達式[14-19]:

其中

當溫度趨于相變點時，m是一個小量，則(11)式的自旋波譜也是一個小量.對(11)式右邊進行泰勒展開得:

在這種情況下，(10)式可近似為

聯(lián)合(12)式和(13)式，可得系統(tǒng)相變溫度的解析表達式:

3 結果與討論

從(14)式可以看出，系統(tǒng)相變溫度的大小是依賴參數(shù)取值的.為了詳細理解參數(shù)對系統(tǒng)相變溫度的影響，圖2 給出了參數(shù)Jc和D取不同值時，相變溫度TN與J2之間的變化關系.首先考慮系統(tǒng)是各向同性的情況，即D0，見圖2(a)和圖2(d) .它是系統(tǒng)的相圖，被分成了3 個區(qū)域，即每條實線是順磁相P 和AF1 態(tài)的邊界線，每條虛線是順磁相P 和AF2 態(tài)的邊界線，順磁相P 位于線上方.只要|Jc|／0，AF1與AF2 態(tài)在J20.5處重疊.注意:由于本文取了J11，它對應的關系實際上是J2J1/2.從 圖2可以看出，當|Jc|從0.01 到1 取值時(注意:對于各向同性系統(tǒng)，當Jc0時，模型描述的是一個各向同性的二維平方晶格反鐵磁體，此時系統(tǒng)在有限溫度時是不存在長程有序的[7]，這也是圖2(a)和圖2(d) 中Jc取有限值的原因)，系統(tǒng)的相變溫度TN隨著 |Jc|增大而升高.這是因為，當 |Jc|從0 增加時，不僅增多了最近鄰鍵的數(shù)目，而且也增強了其強度，使得系統(tǒng)更加有序，導致了一個大的相變溫度.對于確定的 |Jc|值，AF1態(tài)的TN隨著J2的增大而減小，而AF2 態(tài)的TN隨著J2的增大而增大.這是因為，當J20時，哈密頓量描述的是一個普通的反鐵磁體.當J2的值從零增加時，系統(tǒng)引入了阻挫，J1和J2之間開始出現(xiàn)相互競爭，且它們之間相互競爭的強度會隨著J2的增大而增強，這使得系統(tǒng)更加無序，導致了一個較小的TN值.當J20.5時，它們之間的競爭強度達到最大.因此，當 0 ≤J2≤0.5時，系統(tǒng)對應的是AF1 態(tài).當J2從0.5 進一步增大時，J1和J2之間的競爭強度開始變?nèi)?，J2的作用將變得越發(fā)重要.因此，TN隨著J2的增大而變大，此時對于J2≥0.5，系統(tǒng)對應的是AF2 態(tài).換句話講，J20.5是AF1態(tài)與AF2 態(tài)的分界點.

圖2 不同參數(shù)時的相變溫度T N 與 J2之間的變化關系 (a) D=0，Jc=0.01，0.2，0.4，0.6，0.8，1 ;(b) Jc=0.5，D=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1 ;(c) Jc=0.5，D=0.4 ;(d) D=0，Jc=-0.01，-0.2，-0.4，-0.6，-0.8，-1 ;(e) Jc=-0.5，D=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1 ;(f) Jc=-0.5，D=0.4Fig.2.Transition temperature T N as a function of J2 for different parameters:(a) D=0，Jc=0.01，0.2，0.4，0.6，0.8，1 ;(b) Jc=0.5，D=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1 ;(c) Jc=0.5，D=0.4 ;(d) D=0，Jc=-0.01，-0.2，-0.4，-0.6，-0.8，-1 ;(e) Jc=-0.5，D=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1 ;(f) Jc=-0.5，D=0.4 .

圖2(b)和圖2(e) 分別討論了當Jc0.5和Jc-0.5 時，不同單離子各向異性D下的TN與J2之間的變化關系.可以看出，對于D≥0，兩個態(tài)在J20.5 處始終有相同的相變溫度.對于D＞0時，兩個態(tài)的相變溫度曲線交叉，且交叉區(qū)域隨著D的增大而變大.這是因為各向異性抑制了系統(tǒng)的阻挫，即越大的各向異性對應著越弱的阻挫.因此，當D增大時，兩個態(tài)的相變溫度變大，曲線的交點也隨之提升，相應的曲線交叉區(qū)域變大.當各向異性變?nèi)鯐r，曲線交叉區(qū)域消失.

圖2(b)和圖2(e) 也是系統(tǒng)的相圖，它被分成了4 個區(qū)域.為了更清楚這4 個區(qū)域所對應的態(tài)，這里給出了D0.4時相圖的放大圖，見圖2(c)和圖2(f).可以看出，小的J2值對應的是AF1 態(tài)，大的J2值對應的是AF2 態(tài)，曲線上方對應順磁相P.在J20.5附近，兩個態(tài)重疊，重疊區(qū)域內(nèi)兩個態(tài)具有相同參數(shù).在重疊區(qū)域J20.5處，兩個態(tài)相變溫度相等，其他重疊區(qū)域則具有不同的相變溫度.盡管如此，在重疊區(qū)域AF1 態(tài)和AF2 態(tài)都是系統(tǒng)可能的態(tài).

圖2 呈現(xiàn)了一個事實:只要參數(shù)Jc和D不同時為零，兩個態(tài)的曲線在J20.5處重疊.既然兩個態(tài)在此條件下皆系統(tǒng)可能的態(tài)，那么哪一個態(tài)更穩(wěn)定呢? 接下來將具體回答這個問題.

對于兩個態(tài)在相同體積和熵的條件下，內(nèi)能低的態(tài)更穩(wěn)定.然而，AF1 態(tài)和AF2 態(tài)在相同溫度時的熵是不同的.因此，不能采用內(nèi)能低來判斷哪個態(tài)更穩(wěn)定.在相同體積和溫度下，自由能低的態(tài)更穩(wěn)定.

系統(tǒng)的內(nèi)能定義為E(T)〈H〉/N.自由能F(T) 與內(nèi)能E(T) 有如下關系:F(T)E(0)-[19].如果得到內(nèi)能的解析表達式，則可以通過數(shù)值計算得到自由能.推導內(nèi)能的解析表達式必須首先求出橫向和縱向關聯(lián)函數(shù)的解析表達式，前者可以通過譜定理直接求得，后者一般采用平均場近似得到，即.這里z為晶格配位數(shù).顯然，平均場近似是一種較粗糙的方式.最近，文獻[20]給出了一種更好的處理方法，本文采用此方式來求系統(tǒng)縱向關聯(lián)函數(shù).由于其推導過程和表達式過于冗繁，細節(jié)可參考文獻[20].

圖2 表明當J2在0.5 附近取值時，不同的兩個態(tài)能共存，具體見圖2(c)和圖2(f).接下來，在T≤TN的溫度范圍內(nèi)，通過對比兩個態(tài)自由能來探究重疊區(qū)域哪個態(tài)更穩(wěn)定.重疊區(qū)域分兩種情況:一種是兩個態(tài)具有相同的相變溫度，對應J20.5的情況;另一種是兩個態(tài)相變溫度不相等，對應J2／0.5的情況.

首先探討J20.5的情況，即兩個態(tài)具有相同相變溫度.圖3 給出在D0.01 時，Jc≥0的自由能F與溫度T之間的變化關系.可以看出，F(xiàn)始終隨著T的升高而單調減小.當Jc0時，在溫度低于相變點的溫度范圍內(nèi)，AF2 態(tài)的自由能始終小于AF1，這表明AF2 態(tài)更穩(wěn)定.當Jc從0 開始增大時，F(xiàn)AF1(0) 與FAF2(0) 之間的差異逐漸變小.在Jc0.153時，兩個態(tài)自由能在零溫時相等，即FAF1(0)FAF2(0).盡管如此，在 0＜T≤TN的范圍內(nèi)始終有FAF2＜FAF1，即在這種情況下AF2 態(tài)更穩(wěn)定.當Jc繼續(xù)增大時，兩個態(tài)的自由能曲線相交.例子見Jc0.7，1.在這種情況下，F(xiàn)AF1(0)＜FAF2(0)，此時AF1 態(tài)更穩(wěn)定;在相變溫度附近有FAF2＜FAF1，此時AF2 態(tài)更穩(wěn)定;在交點系統(tǒng)將會發(fā)生一個從AF1態(tài)向AF2 態(tài)轉換的相變.由于在交點處兩個態(tài)的內(nèi)能不等(本文沒有給出此時的結果)，這表明兩個態(tài)的熱容在交點不連續(xù)，即AF1-AF2 之間發(fā)生的相變類型為一階相變.

圖3 當 D=0.01 時，Jc ≥0 的自由能F 與溫度T 之間 的變化關系Fig.3.Free energy F as a function of temperature T for Jc ≥0 when D=0.01 .

圖3 討論了弱各向異性的情況，圖4 給出了強各向異性的結果，即D0.2.當Jc0時，兩個態(tài)的自由能曲線在零溫相切，即FAF1(0)FAF2(0)，在低于相變點的溫度范圍內(nèi)始終有FAF2＜FAF1，即在這種情況下AF2 態(tài)更穩(wěn)定.當Jc從0(見圖4(b))開始增加時，兩個態(tài)的自由能曲線相交，結果與圖3中Jc0.7，1 的結果完全類似，即在零溫附近FAF1(0)＜FAF2(0)，AF1 態(tài)更穩(wěn)定;在相變溫度附近有FAF2＜FAF1，AF2 態(tài)更穩(wěn)定;在交點系統(tǒng)將會發(fā)生一個從AF1 態(tài)向AF2 態(tài)轉換的一階相變.當Jc在從0.1增大時，兩個態(tài)自由能曲線在相變溫度附近之間的差異開始減小.當Jc增大到0.17 時，F(xiàn)AF1(TN)FAF2(TN)，在 0 ≤T ＜TN的溫度范圍內(nèi)有FAF1＜FAF2.在這種情況下，AF1 態(tài)更穩(wěn)定.當Jc從0.17 繼續(xù)增大，直到0.42，在這個范圍內(nèi)始終有FAF1＜FAF2，此時AF1 態(tài)更穩(wěn)定，具體的例子見圖4(d).當Jc＞0.42時，兩個態(tài)的自由能曲線相交，即零溫附近FAF1＜FAF2，AF1 態(tài)更穩(wěn)定;相變溫度附近有FAF2＜FAF1，AF2 態(tài)更穩(wěn)定;在交點系統(tǒng)將會發(fā)生一個從AF1態(tài)向AF2 態(tài)轉換的一階相變.

圖4 當D=0.2 時，不同Jc 值時的自由能F 與溫度T 之間的變化關系 (a) Jc=0 ;(b) Jc=0.1 ;(c) Jc=0.17 ;(d) Jc=0.3 ;(e) Jc=0.42 ;(f) Jc=1Fig.4.Free energy F as a function of temperature T for different Jc values when D=0.2 :(a) Jc=0 ;(b) Jc=0.1 ;(c) Jc=0.17 ;(d) Jc=0.3 ;(e) Jc=0.42 ;(f) Jc=1 .

對于Jc＜0的情況，數(shù)值結果顯示兩個態(tài)自由能之間的曲線特征與Jc＞0的情況完全類似.因此，結果在這里就不再贅述.

圖(3)和圖(4)只探討了這一組參數(shù)中少量幾組取值對兩個態(tài)穩(wěn)定性的影響，人們可能期望得到這一組參數(shù)對兩個態(tài)穩(wěn)定性更全面的影響.圖5 給出了在參數(shù)Jc和D空間中，兩個態(tài)自由能在溫度低于相變溫度范圍內(nèi)的大小關系.可以看出，在參數(shù)Jc和D空間所描述的平面內(nèi)，平面被分成了3 個區(qū)域，即區(qū)域I，II 和III.在區(qū)域I，AF2 態(tài)的自由能總是小于AF1 態(tài).相應的例子見圖3 中Jc0的曲線.這個區(qū)域表示為FAF2＜FAF1.因此，在區(qū)域I，系統(tǒng)的狀態(tài)是AF2 態(tài).在區(qū)域II，兩個態(tài)的自由能曲線總是相交.相應的例子見圖3、圖4(b)和圖4(f).在零溫附近有FAF1(0)＜FAF2(0)，在相變溫度附近有FAF2＜FAF1.因此，在零溫附近，系統(tǒng)的狀態(tài)是AF1 態(tài).當溫度升高，系統(tǒng)的狀態(tài)將由AF1態(tài)向AF2 態(tài)轉換，其相變?yōu)橐浑A相變.區(qū)域III，AF1態(tài)的自由能總是小于AF2 態(tài).相應的例子見圖4(d).這個區(qū)域表示為FAF1＜FAF2.因此，在區(qū)域III，系統(tǒng)的狀態(tài)是AF1 態(tài).

圖5 當 J2=0.5 時，兩個態(tài)的自由能在參數(shù) Jc-D 空間中大小比較Fig.5.Comparison of the free energies of the two states in the Jc and D parameter space when J2=0.5 .

接下來探討兩個態(tài)具有不同相變溫度時的穩(wěn)定性，即J2／0.5的情況.

圖6 給出了當Jc0.5 和D0.4時，不同J2下兩個態(tài)自由能與溫度之間的變化關系.總體而言，在J2值增大的過程中，圖6 顯示了兩個明顯的特征:一個特征是AF1 態(tài)的相變溫度是減小的，而AF2 態(tài)的相變溫度是增大的，這一結果與圖2(a)的結果是一致的;另一個特征是AF1 態(tài)的自由能曲線呈整體向上提升，而AF2 態(tài)的自由能曲線呈整體下降.當J20.4667時，在低于相變溫度的范圍內(nèi)，AF1 態(tài)的自由能總是小于AF2 態(tài)，即AF1態(tài)更穩(wěn)定(見圖6(a)).隨著J2的增大，兩個態(tài)的自由能之間的差異逐漸減小.當J20.4675時，AF2態(tài)的自由能在其相變點與AF1 態(tài)自由能匯合，即

圖6 當 Jc=0.5，D=0.4，不同 J2 值時的自由能與溫度之間的變化關系 (a) J2=0.4667 ;(b) J2=0.4675 ;(c) J2=0.48 ;(d) J2=0.4970.497 ;(e) J2=0.5155 ;(f) J2=0.5333Fig.6.Free energy as a function of temperature for different J2 values when Jc=0.5 and D=0.4 :(a) J2=0.4667 ;(b) J2=0.4675 ;(c) J2=0.48 ;(d) J2=0.497 ;(e) J2=0.5155 ;(f) J2=0.5333 .

在T＜TN(AF2) 的溫度范圍內(nèi)FAF1＜FAF2，即AF1態(tài)更穩(wěn)定(見圖6(b)).當 0 .4675＜Jc＜0.497時，兩個態(tài)的自由能曲線相交(見圖6(c)).因此，在零溫附近有FAF1(0)＜FAF2(0)，此時AF1 態(tài)更穩(wěn)定.當溫度升高，系統(tǒng)的狀態(tài)將發(fā)生由AF1 態(tài)向AF2 態(tài)轉換的一階相變.當J2值增大到 0 .497時，結果與圖6(b)類似，即在T＜TN(AF2)的溫度范圍內(nèi)有FAF1＜FAF2，即AF1 態(tài)更穩(wěn)定(見圖6(d)).在J2的值從 0 .497 增大到 0 .5155的過程中，AF2 態(tài)的自由能曲線是先遠離，然后接近AF1 態(tài)的，但AF1 態(tài)的自由能始終是小于AF2 態(tài).在這種情況下，AF1態(tài)更穩(wěn)定.但在J20.5155 時，在零溫時有FAF1(0)FAF2(0)，但 0＜T≤TN溫度的范圍內(nèi)有FAF1＜FAF2，即在這種情況下，AF1 態(tài)更穩(wěn)定(見圖6(e)).當J2＞0.5155時，兩個態(tài)的自由能曲線相交(見圖6(f)).在零溫附近有FAF2＜FAF1，此時AF2 態(tài)更穩(wěn)定.當溫度升高，系統(tǒng)的狀態(tài)將發(fā)生由AF2 態(tài)向AF1 態(tài)轉換的一階相變.

圖7 給出了當Jc-0.5 和D0.4時，不同J2

圖7 當 Jc=-0.5，D=0.4 時，不同 J2 值時的自由能與溫度之間的變化關系 (a) J2=0.4667 ;(b) J2=0.467 ;(c) J2=0.48 ;(d) J2=0.4975 ;(e) J2=0.5156 ;(f) J2=0.5333Fig.7.Free energy as a function of temperature for different J2 values when Jc=-0.5 and D=0.4 :(a) J2=0.4667 ;(b) J2=0.467 ;(c) J2=0.48 ;(d) J2=0.4975 ;(e) J2=0.5156 ;(f) J2=0.5333 .

下兩個態(tài)自由能與溫度之間的變化關系.由于圖7呈現(xiàn)的結果與圖6 的結果類似，這里就不再贅述.

對于J2／0.5 的情況，無論Jc值是大于零還是小于零，都能得到如下結論:1)相變溫度越高的態(tài)，零溫自由能越小;兩個態(tài)的相變溫度差異越大，其零溫自由能的差異也越大.2)兩個態(tài)在重疊區(qū)域，穩(wěn)定性呈現(xiàn)4 個特征:(i)當J2時有FAF1＜FAF2，在這種情況下，AF1 態(tài)更穩(wěn)定;(ii)當時，兩個態(tài)自由能曲線相交，在這種情況下，零溫附近有FAF1＜FAF2，AF1 態(tài)更穩(wěn)定.當溫度升高，系統(tǒng)的狀態(tài)將發(fā)生由AF1 態(tài)向AF2 態(tài)轉換的一階相變;(iii)當時，AF1 態(tài)的自由能總是小于AF2 態(tài)，此時AF1 態(tài)更穩(wěn)定;(iv)當J2時，兩個態(tài)自由能曲線相交，在這種情況下，零溫附近有FAF2＜FAF1，AF2 態(tài)更穩(wěn)定.當溫度升高，系統(tǒng)的狀態(tài)將發(fā)生由AF2 態(tài)向AF1 態(tài)轉換的一階相變.

4 結論

本文基于雙時格林函數(shù)，在Tyablikov 退耦近似下，研究了自旋為1 的各向異性的雙層平方晶格阻挫模型的相變行為.結果表明:只要參數(shù)Jc和D不同時為零，AF1 態(tài)和AF2 態(tài)在J20.5處有相同的相變溫度.當J2／0.5時，盡 管AF1 態(tài)和AF2 態(tài)的相變溫度不等，但它們也能共存.因此，分J20.5 與J2／0.5兩種情況探討AF1-AF2 態(tài)之間的穩(wěn)定性以及它們之間可能發(fā)生的相變.

對于J20.5，參數(shù)Jc和D對兩個態(tài)自由能的影響可以分成3 個區(qū)域.在區(qū)域I，F(xiàn)AF2＜FAF1，AF2態(tài)更穩(wěn)定.在區(qū)域II，系統(tǒng)的狀態(tài)將發(fā)生由AF1 態(tài)向AF2 態(tài)轉換的一階相變.在零溫附近，AF1 態(tài)更穩(wěn)定.在相變溫度附近，AF2 態(tài)更穩(wěn)定.在區(qū)域III，F(xiàn)AF1＜FAF2，AF1 態(tài)更穩(wěn)定.

對于J2／0.5，AF1 態(tài) 和AF2 態(tài)之間存在如下關系(見圖6 和圖7):當J2和2時，F(xiàn)AF1＜FAF2，AF1 態(tài)更穩(wěn)定;當＜J2和2時，前者系統(tǒng)的狀態(tài)將發(fā)生由AF1 態(tài)向AF2 態(tài)轉換的一階相變，且在零溫時，AF1 態(tài)更穩(wěn)定，相變溫度附近，AF2 態(tài)更穩(wěn)定;后者系統(tǒng)的狀態(tài)將發(fā)生由AF2 態(tài)向AF1 態(tài)轉換的一階相變，且在零溫時，AF2 態(tài)更穩(wěn)定，相變溫度附近，AF1 態(tài)更穩(wěn)定.