高慧芬 周小芳 黃學(xué)勤
1) (長治學(xué)院物理系,長治 046011)
2) (華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院,廣州 510640)
界面態(tài)具有巨大的實際應(yīng)用價值,因此尋找界面態(tài)是一個既有科學(xué)意義也有應(yīng)用前景的課題.在本文中,我們通過把二維正方晶格聲子晶體的結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行傾斜,構(gòu)造出具有線性狄拉克色散的斜方晶格體系.狄拉克色散引起體能帶Zak 相位的π 躍變,使得位于狄拉克錐投影能帶兩邊的帶隙具有不同符號的表面阻抗,從而導(dǎo)致由正方晶體體系與由其“傾斜”的斜方晶格體系構(gòu)成的界面處存在確定性的界面態(tài).
界面態(tài)是指束縛在兩種不同材料界面處傳播的態(tài),其態(tài)分布沿著垂直于界面方向呈指數(shù)衰減.由于局域的場增強(qiáng)效應(yīng)和亞波長特性,界面態(tài)擁有許多有趣的現(xiàn)象,并具有實際的應(yīng)用價值[1-4].近年來,受電子體系拓?fù)鋺B(tài)研究的啟發(fā)[5,6],拓?fù)渎晫W(xué)的概念也應(yīng)運而生,并引起廣泛關(guān)注[7].作為經(jīng)典波體系的典型代表,聲子晶體是由質(zhì)量密度和彈性模量周期性排列而成的人工周期性結(jié)構(gòu)晶體[8].由于其宏觀尺寸,易于制備樣品和實驗測量,是一個研究拓?fù)湮飸B(tài)的良好平臺.根據(jù)體系體能帶的閉合情況,傳統(tǒng)拓?fù)渎曌泳w可分為聲學(xué)拓?fù)浣^緣體和聲學(xué)拓?fù)浒虢饘賉9-21].聲學(xué)拓?fù)浣^緣體主要包括:聲學(xué)陳數(shù)拓?fù)浣^緣體[9-12]、聲學(xué)量子自旋霍爾拓?fù)浣^緣體[13]、聲學(xué)能谷拓?fù)浣^緣體[14,15]和聲學(xué)自旋陳數(shù)拓?fù)浣^緣體[16];而聲學(xué)拓?fù)浒虢饘僦饕?聲學(xué)狄拉克半金屬[17]、聲學(xué)外爾半金屬[18,19]和聲學(xué)節(jié)線簡并拓?fù)浒虢饘賉20,21].根據(jù)體邊對應(yīng)關(guān)系,這些體系體能帶的拓?fù)涮匦詫?dǎo)致了不受缺陷和無序影響的拓?fù)溥吔鐟B(tài)的出現(xiàn).這些邊界態(tài)在信號處理、聲多功能器件設(shè)計等方面都具有潛在的應(yīng)用價值.
線性狄拉克錐能帶關(guān)系首次在石墨烯中被發(fā)現(xiàn),并伴隨著許多奇特的輸運現(xiàn)象,如Zitterbewegung顫動[22]、Klein 隧穿等[23].由于狄拉克點擁有π Berry相位,隨著參數(shù)的變化,體系從帶隙的打開到關(guān)閉(出現(xiàn)狄拉克點),再到帶隙的打開,這個變化過程往往會伴隨拓?fù)湎嘧兊陌l(fā)生,于是,也可利用它來實現(xiàn)界面態(tài).研究表明,根據(jù)體能帶Zak 相位與表面阻抗的關(guān)系,構(gòu)成界面的兩個體系體能帶Zak相位的躍變能導(dǎo)致界面態(tài)的出現(xiàn),這些體系包括:布里淵區(qū)中心處存在類狄拉克點體系[24]、正反結(jié)構(gòu)構(gòu)成體系[25]、原結(jié)構(gòu)與其平移結(jié)構(gòu)構(gòu)成體系等[26].眾所周知,蜂巢結(jié)構(gòu)體系由于對稱性的保證,具有確定性的線性狄拉克點.通過改變最近鄰相互作用,可以實現(xiàn)狄拉克在對稱性線方向上的移動.利用狄拉克點的這種移動,可以實現(xiàn)贗磁場,從而實現(xiàn)朗道能級[27,28].
本工作將研究正方晶格體系中由對稱性保證的二次型狄拉克點,通過“傾斜”正方晶格形成斜方晶格,導(dǎo)致二次型狄拉克點演變成一對線性狄拉克點.體能帶在經(jīng)過線性狄拉克點時發(fā)生能帶翻轉(zhuǎn),導(dǎo)致能帶的幾何相位出現(xiàn)π 的躍變.于是,被狄拉克點投影能帶分隔開的兩部分帶隙具有相反的表面阻抗虛部,從而保證由正方晶格與斜方晶體體系構(gòu)成的界面處一定存在界面態(tài).該界面態(tài)同時也能通過單一結(jié)構(gòu)單元體能帶的幾何相位來解釋.值得一提的是,這些界面態(tài)的實現(xiàn)并不需要改變結(jié)構(gòu)單元中散射體的材料參數(shù)和幾何形狀,只需要通過將正方晶格傾斜為斜方晶格即可獲得,這極大方便了樣品的制備和實驗的測量.
首先構(gòu)造晶格常數(shù)為a的二維正方晶格聲子晶體,其由半徑R0.15a的橡膠圓柱置于水中所構(gòu)成.需要指出的是在數(shù)值模擬中,沒有考慮橡膠的黏彈性.聲子晶體的體能帶如圖1(a)所示.由于受C4v對稱性的保護(hù),在布里淵區(qū)的M點會出現(xiàn)二重簡并的二次型色散關(guān)系,如圖1(a)中的第一和第二條能帶所示.為了形象展示這種色散關(guān)系,圖1(b)畫出了M點附近的三維能帶結(jié)構(gòu).Chong 等[29]的研究工作表明:M點的二重簡并點是一個二次型狄拉克點,具有 2π 的Berry 相位.如果通過拉伸或壓縮體系來破壞C4v對稱性,二次型狄拉克點就會轉(zhuǎn)變成一對線性狄拉克點.
圖1 (a) 二維正方晶格聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu),插圖是原胞示意圖;(b) M 點附近的三維能帶結(jié)構(gòu),對應(yīng)于圖(a)中的虛線區(qū)域.橡膠與水的質(zhì)量密度和聲速分別為:ρ=1.3×103 kg/m3,v=500 m/s ;ρ0=1.0×103 kg/m3,v0=1500 m/sFig.1.(a) Bulk band structure of a two-dimensional phononic crystal with a square lattice,consisting of a rubber cylinder in water.Inset:the unit cell.(b) 3 D bulk band structure around the M point,corresponding to the dashed region in (a).Here,the lattice constant and the radius of the cylinder are a=1 m,and R=0.15a,respectively.The mass densities and sound velocity of the rubber and water are:ρ=1.3×103 kg/m3,v=500 m/s ;and ρ0=1.0×103 kg/m3,v0=1500 m/s,respectively.
本工作中,在保持原胞邊長不變的前提下,把正方晶體體系傾斜成斜方晶格體系,從而打破體系的C4v對稱性,如圖2(a)中的左插圖所示.對于傾斜角α70°時,聲子晶體的體能帶如圖2(a)所示.其中,在K1-Γ方向上,K1點附近存在二重簡并的線性色散關(guān)系,其放大圖如圖2(a)中的右插圖所示.這個線性狄拉克點產(chǎn)生機(jī)理與文獻(xiàn)[29]一樣.斜方晶格的第一布里淵區(qū)如圖2(b)所示.圖2(c)是狄拉克點附近的三維色散關(guān)系.
圖2 (a) 傾斜角 α=70° 的斜方晶格體系的能帶結(jié)構(gòu),左插圖是二維斜方晶格聲子晶體的原胞,右插圖表示虛線區(qū)域的放大能帶結(jié)構(gòu);(b)斜方晶格的第一布里淵區(qū);(c) 線性狄拉克點附近的三維能帶結(jié)構(gòu),對應(yīng)圖(a)中的虛線區(qū)域Fig.2.(a) Bulk band structure of an oblique lattice with the tilted angle α=70°,Inset:the unit cell (left);the enlarged band structure around the Dirac point near K1 point (right);(b) first Brillouin zone of the oblique lattice;(c) 3D bulk band structure around the Dirac point,corresponding to the dashed region in (a).
由于線性狄拉克點的特性,我們不禁要問:如果把體能帶沿某一方向(例如:x方向)作投影,狄拉克錐的投影能帶將把帶隙分成左右兩部分,這兩部分帶隙的特性是一樣的嗎? 眾所周知,在無損耗體系中,以體系的某一方向構(gòu)造一界面,導(dǎo)帶具有實的表面阻抗,即:I m(Z(ω,k//))0,而帶隙則具有純虛數(shù)的表面阻抗,即:I m(Z(ω,k//))/0 .換句話說,線性狄拉克錐分隔開的這兩部分帶隙具有相同符號的I m(Z(ω,k//))嗎?如果不是,那么根據(jù)界面態(tài)的表面阻抗理論,只要滿足ZU(ω,k//)+ZL(ω,k//)0,則界面處一定存在界面態(tài).其中,ZL(ω,k//) 和ZU(ω,k//)分別表示在某一特定頻率ω和平行于界面的波矢k//的情況下,界面兩邊體系的表面阻抗.也就是說,通過利用狄拉克錐兩邊不同符號的表面阻抗,有可能構(gòu)造出界面態(tài).
正方晶格沿x方向的投影能帶如圖3(a)所示.首先通過把該聲子晶體與水構(gòu)成一個沿x方向的界面,可以計算此時投影能帶不同區(qū)域的表面阻抗.由圖3(a)可見,在導(dǎo)帶的投影區(qū)域,I m(Z)0,而在第一和第二帶隙區(qū)域,I m(Z) 分別小于0 和大于0.然后利用同樣的方法,計算α70°時的斜方晶格聲子晶體沿x方向的投影能帶,如圖3(b)所示.類似地,在導(dǎo)帶的投影區(qū)域,I m(Z)0,第一帶隙區(qū)域的 I m(Z) 還是小于0;不同的是,在斜方晶格中的第二帶隙被狄拉克錐投影分成兩個區(qū)域,其中,左邊區(qū)域的 I m(Z) 仍然大于0,而右邊區(qū)域的Im(Z)則小于0.這驗證了我們之前提出的設(shè)想:狄拉克錐把原來的帶隙分成兩個性質(zhì)不同的帶隙.需要指出的是:對于給定的k//,在 I m(Z(ω,k//))<0 帶隙中,隨著頻率的增大,I m(Z(ω,k//)) 從0 到 -∞單調(diào)遞減,而在 I m(Z(ω,k//))>0 的帶隙中,Im(Z(ω,k//))隨頻率增大從 +∞單調(diào)遞減到0[24,25].此外,正方晶格和斜方晶格體系在頻率 9 50 Hz 附近具有兩個共同的帶隙,左邊共同帶隙的 I m(Z(ω,k//)) 都大于0,而右邊共同帶隙具有相反符號的 I m(Z(ω,k//)) .因此,如果把這兩個體系沿著x方向構(gòu)成一個界面(如圖3(d)左圖所示),界面處一定存在界面態(tài).圖3(c)是界面態(tài)的投影色散,其中粉色線表示界面態(tài)的色散.同時,圖3(d)右圖顯示了處于頻率937.4 Hz 的界面態(tài)聲壓場本征態(tài)分布.由圖中可清晰看出,聲壓場局域在界面上,并沿垂直于界面的方向指數(shù)衰減.
圖3 (a) 正方晶格聲子晶體沿x 方向的投影能帶;(b) 傾斜角 α=70° 的斜方晶格聲子晶體沿x 方向的投影能帶,Im(Z) 表示表面阻抗的虛部;(c) 由上述兩個聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向界面的界面態(tài)色散關(guān)系,粉色線表示界面態(tài)色散;(d)正方晶格和斜方晶格聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向的界面(左圖),頻率為 9 37.4 Hz 的界面態(tài)本征聲壓場分布(右圖)Fig.3.(a)Projected band structures along the kx direction of the phononic crystals with a square lattice;(b) projected band structures along the k x direction of phononic crystals with an oblique lattice of α=70°,Im(Z) represents the imaginary part of surface impedance;(c)interface state dispersion along the k x direction of the interface constructed by two phononic crystals with the square and oblique lattices,the pink lines denote the interface states;(d) the interface constructed by two phononic crystals with the square and oblique lattices(left),the eigen pressure field distribution of the interface state at 9 37.4 Hz(right) .
除了利用表面阻抗理論來判定界面態(tài)的存在與否,還可利用體能帶的幾何相位來預(yù)測界面態(tài)的存在[30].這樣就可以通過體系的一個結(jié)構(gòu)單元的信息來預(yù)測界面態(tài)的存在性,不需要構(gòu)造實際的界面結(jié)構(gòu)來進(jìn)行相應(yīng)的全波數(shù)值模擬,節(jié)省了計算內(nèi)存和時間.基于前期的研究可知,兩個相鄰帶隙符號的比值與體能帶的Zak 相位之間的關(guān)系可表示為[30]
其中,Zi(ω,k//) 和Zi-1(ω,k//) 分別是兩個相鄰帶隙的表面阻抗,φi是這兩個帶隙之間體能帶的Zak相位.因為最低帶隙 I m(Z(ω,k//)) 總是負(fù)的,所以只要知道每條體能帶的Zak 相位,相應(yīng)地就可以通過(1)式來確定其他帶隙 I m(Z(ω,k//)) 的符號.固定k//kx,可以得到體系沿ky方向的體能帶.根據(jù)圖2(a)體能帶中狄拉克點的位置,可以分別得到k//<kD,x(狄拉克點左邊)和k//>kD,x(狄拉克點右邊)的體能帶,如圖4(a)和4(b)所示.最低能帶的Zak 相位都是π,而第二條能帶的Zak 相位則分別是0 和π,這是由于從k//<kD,x變化到k//>kD,x時,經(jīng)歷了能帶的翻轉(zhuǎn),從而導(dǎo)致Zak 相位的跳變.利用(1)式,就可得到第二和第三帶隙Im(Z(ω,k//))的符號.對于k//<kD,x情況,第三帶隙的I m(Z(ω,k//))>0,而對于k//>kD,x情況,Im(Z(ω,k//))<0.同時也計算了正方晶格固定k//kx情況下的體能帶以及相應(yīng)的Zak 相位,如圖4(c)所示.其最低兩個帶隙的 I m(Z(ω,k//))<0,而最高帶隙的 I m(Z(ω,k//))>0 .這些結(jié)果與圖3中通過全波數(shù)值模擬得到的結(jié)果完全一致.仔細(xì)比較圖4(b)和4(c),可以發(fā)現(xiàn)在頻率 9 50 Hz 附近,兩個體能帶存在共同帶隙,而且對應(yīng) I m(Z(ω,k//)) 的符號正好相反.因此,可以判斷它們之間一定存在界面態(tài).
圖4 傾斜角 α=70° 的斜方晶格聲子晶體在 k x=0.6 π/a (a) 和 k x=0.85 π/a (b)時沿 ky 方向的體能帶;(c) 在kx=0.85 π/a時,正方晶格聲子晶體沿 ky 方向的體能帶,其中紅色區(qū)域和藍(lán)色區(qū)域分別表示 I m(Z)<0 和Im(Z)>0Fig.4.Bulk band structures along the ky direction of the phononic crystal with an oblique lattice with α=70° forkx=0.6 π/a(a) and k x=0.85 π/a (b);(c) bulk band structures along the k x direction of the phononic crystal with a square lattice for kx=0.85 π/a.The red and blue regions represent I m(Z)<0 and I m(Z)>0,respectively.
在上述討論中,選擇了傾斜角α70°的斜方晶格.事實上,對于固定大小的圓柱體,傾斜角α可以從20°到90°變化.圖5 是由α50°的斜方晶格與正方晶格構(gòu)成的界面的界面態(tài)色散,除了發(fā)現(xiàn)由于狄拉克點引起的界面態(tài)(粉色線)之外,在低頻處還存在額外的界面態(tài)色散(綠色線).該界面態(tài)色散的存在同樣可以由體能帶的Zak 相位來解釋.
圖5 由 α=50° 斜方晶格與正方晶格聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向界面的界面態(tài)色散,紅色線和綠色線分別表示兩個共同帶隙中的界面態(tài)色散Fig.5.Interface state dispersion along the k x direction of the interface constructed by two phononic crystals with the square and oblique lattices with α=50°,the red line and the green line represent the interface state dispersion in the two common band gaps,respectively.
基于能帶翻轉(zhuǎn)的思路,本文結(jié)論可以拓展到固體-固體體系中.將鐵柱子置于環(huán)氧樹脂中進(jìn)行周期性排列,構(gòu)成晶格常數(shù)為a1 m 的二維聲子晶體.其中,鐵柱子的半徑R0.215a,鐵與環(huán)氧樹脂的質(zhì)量密度分別為:ρFe7.7×103kg/m3;ρEP1.18×103kg/m3,它們的縱波聲速和橫波聲速分別為:vl-Fe5850 m/s,vt-Fe3230 m/s ;vl-EP2605 m/s,vt-EP1068 m/s .正方晶格和斜方晶格(α70°)結(jié)構(gòu)的體能帶如圖6(a)和6(b)所示.二次型狄拉克點和線性狄拉克點仍然存在.同樣將這兩種聲子晶體構(gòu)成沿x方向的界面,雖然共同帶隙很小,但是界面態(tài)仍然存在,如圖6(c)左圖的粉色線所示.此外,圖6(c)右圖清晰地展示了頻率為529.6 Hz 的界面態(tài)本征位移場分布.
圖6 鐵柱子在環(huán)氧樹脂中周期性排列構(gòu)成二維聲子晶體 (a) 二維正方晶格聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu);(b) 傾斜角α=70°的斜方晶格體系的能帶結(jié)構(gòu);(c)由上述兩個聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向界面的界面態(tài)色散關(guān)系(左),粉色線表示界面態(tài)色散,頻率為 5 29.6 Hz 的界面態(tài)本征位移場分布(右)Fig.6.Two-dimensional phononic crystals are constructed by steel cylinders in epoxy:(a) Bulk band structure of a square lattice;(b) bulk band structure of an oblique lattice with the tilted angle α=70° ;(c) the interface state dispersion along the k x direction of the interface constructed by these two phononic crystals(Left),the pink line denotes the interface states,the eigen displacement field distribution of the interface state at 5 29.6 Hz(right) .
本文提出了在二維正方晶格聲子晶體與其傾斜結(jié)構(gòu)所形成的界面處一定存在界面態(tài).該界面態(tài)的存在既可以通過表面阻抗的理論來解釋,也可以通過單一結(jié)構(gòu)單元體能帶的Zak 相位來判定.界面態(tài)作為波傳輸能量的重要途徑,具有廣泛的應(yīng)用前景.這種構(gòu)造確定性界面態(tài)的方法可以推廣到其他的經(jīng)典波體系中.