二維聲子晶體中Zak 相位誘導(dǎo)的界面態(tài)*

高慧芬 周小芳 黃學(xué)勤

1) (長(zhǎng)治學(xué)院物理系，長(zhǎng)治 046011)

2) (華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院，廣州 510640)

界面態(tài)具有巨大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，因此尋找界面態(tài)是一個(gè)既有科學(xué)意義也有應(yīng)用前景的課題.在本文中，我們通過(guò)把二維正方晶格聲子晶體的結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行傾斜，構(gòu)造出具有線性狄拉克色散的斜方晶格體系.狄拉克色散引起體能帶Zak 相位的π 躍變，使得位于狄拉克錐投影能帶兩邊的帶隙具有不同符號(hào)的表面阻抗，從而導(dǎo)致由正方晶體體系與由其“傾斜”的斜方晶格體系構(gòu)成的界面處存在確定性的界面態(tài).

1 引言

界面態(tài)是指束縛在兩種不同材料界面處傳播的態(tài)，其態(tài)分布沿著垂直于界面方向呈指數(shù)衰減.由于局域的場(chǎng)增強(qiáng)效應(yīng)和亞波長(zhǎng)特性，界面態(tài)擁有許多有趣的現(xiàn)象，并具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值[1-4].近年來(lái)，受電子體系拓?fù)鋺B(tài)研究的啟發(fā)[5，6]，拓?fù)渎晫W(xué)的概念也應(yīng)運(yùn)而生，并引起廣泛關(guān)注[7].作為經(jīng)典波體系的典型代表，聲子晶體是由質(zhì)量密度和彈性模量周期性排列而成的人工周期性結(jié)構(gòu)晶體[8].由于其宏觀尺寸，易于制備樣品和實(shí)驗(yàn)測(cè)量，是一個(gè)研究拓?fù)湮飸B(tài)的良好平臺(tái).根據(jù)體系體能帶的閉合情況，傳統(tǒng)拓?fù)渎曌泳w可分為聲學(xué)拓?fù)浣^緣體和聲學(xué)拓?fù)浒虢饘賉9-21].聲學(xué)拓?fù)浣^緣體主要包括:聲學(xué)陳數(shù)拓?fù)浣^緣體[9-12]、聲學(xué)量子自旋霍爾拓?fù)浣^緣體[13]、聲學(xué)能谷拓?fù)浣^緣體[14，15]和聲學(xué)自旋陳數(shù)拓?fù)浣^緣體[16];而聲學(xué)拓?fù)浒虢饘僦饕?聲學(xué)狄拉克半金屬[17]、聲學(xué)外爾半金屬[18，19]和聲學(xué)節(jié)線簡(jiǎn)并拓?fù)浒虢饘賉20，21].根據(jù)體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系，這些體系體能帶的拓?fù)涮匦詫?dǎo)致了不受缺陷和無(wú)序影響的拓?fù)溥吔鐟B(tài)的出現(xiàn).這些邊界態(tài)在信號(hào)處理、聲多功能器件設(shè)計(jì)等方面都具有潛在的應(yīng)用價(jià)值.

線性狄拉克錐能帶關(guān)系首次在石墨烯中被發(fā)現(xiàn)，并伴隨著許多奇特的輸運(yùn)現(xiàn)象，如Zitterbewegung顫動(dòng)[22]、Klein 隧穿等[23].由于狄拉克點(diǎn)擁有π Berry相位，隨著參數(shù)的變化，體系從帶隙的打開到關(guān)閉(出現(xiàn)狄拉克點(diǎn))，再到帶隙的打開，這個(gè)變化過(guò)程往往會(huì)伴隨拓?fù)湎嘧兊陌l(fā)生，于是，也可利用它來(lái)實(shí)現(xiàn)界面態(tài).研究表明，根據(jù)體能帶Zak 相位與表面阻抗的關(guān)系，構(gòu)成界面的兩個(gè)體系體能帶Zak相位的躍變能導(dǎo)致界面態(tài)的出現(xiàn)，這些體系包括:布里淵區(qū)中心處存在類狄拉克點(diǎn)體系[24]、正反結(jié)構(gòu)構(gòu)成體系[25]、原結(jié)構(gòu)與其平移結(jié)構(gòu)構(gòu)成體系等[26].眾所周知，蜂巢結(jié)構(gòu)體系由于對(duì)稱性的保證，具有確定性的線性狄拉克點(diǎn).通過(guò)改變最近鄰相互作用，可以實(shí)現(xiàn)狄拉克在對(duì)稱性線方向上的移動(dòng).利用狄拉克點(diǎn)的這種移動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)贗磁場(chǎng)，從而實(shí)現(xiàn)朗道能級(jí)[27，28].

本工作將研究正方晶格體系中由對(duì)稱性保證的二次型狄拉克點(diǎn)，通過(guò)“傾斜”正方晶格形成斜方晶格，導(dǎo)致二次型狄拉克點(diǎn)演變成一對(duì)線性狄拉克點(diǎn).體能帶在經(jīng)過(guò)線性狄拉克點(diǎn)時(shí)發(fā)生能帶翻轉(zhuǎn)，導(dǎo)致能帶的幾何相位出現(xiàn)π 的躍變.于是，被狄拉克點(diǎn)投影能帶分隔開的兩部分帶隙具有相反的表面阻抗虛部，從而保證由正方晶格與斜方晶體體系構(gòu)成的界面處一定存在界面態(tài).該界面態(tài)同時(shí)也能通過(guò)單一結(jié)構(gòu)單元體能帶的幾何相位來(lái)解釋.值得一提的是，這些界面態(tài)的實(shí)現(xiàn)并不需要改變結(jié)構(gòu)單元中散射體的材料參數(shù)和幾何形狀，只需要通過(guò)將正方晶格傾斜為斜方晶格即可獲得，這極大方便了樣品的制備和實(shí)驗(yàn)的測(cè)量.

2 聲子晶體的體能帶

首先構(gòu)造晶格常數(shù)為a的二維正方晶格聲子晶體，其由半徑R0.15a的橡膠圓柱置于水中所構(gòu)成.需要指出的是在數(shù)值模擬中，沒(méi)有考慮橡膠的黏彈性.聲子晶體的體能帶如圖1(a)所示.由于受C4v對(duì)稱性的保護(hù)，在布里淵區(qū)的M點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)二重簡(jiǎn)并的二次型色散關(guān)系，如圖1(a)中的第一和第二條能帶所示.為了形象展示這種色散關(guān)系，圖1(b)畫出了M點(diǎn)附近的三維能帶結(jié)構(gòu).Chong 等[29]的研究工作表明:M點(diǎn)的二重簡(jiǎn)并點(diǎn)是一個(gè)二次型狄拉克點(diǎn)，具有 2π 的Berry 相位.如果通過(guò)拉伸或壓縮體系來(lái)破壞C4v對(duì)稱性，二次型狄拉克點(diǎn)就會(huì)轉(zhuǎn)變成一對(duì)線性狄拉克點(diǎn).

圖1 (a) 二維正方晶格聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，插圖是原胞示意圖;(b) M 點(diǎn)附近的三維能帶結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)于圖(a)中的虛線區(qū)域.橡膠與水的質(zhì)量密度和聲速分別為:ρ=1.3×103 kg/m3，v=500 m/s ;ρ0=1.0×103 kg/m3，v0=1500 m/sFig.1.(a) Bulk band structure of a two-dimensional phononic crystal with a square lattice，consisting of a rubber cylinder in water.Inset:the unit cell.(b) 3 D bulk band structure around the M point，corresponding to the dashed region in (a).Here，the lattice constant and the radius of the cylinder are a=1 m，and R=0.15a，respectively.The mass densities and sound velocity of the rubber and water are:ρ=1.3×103 kg/m3，v=500 m/s ;and ρ0=1.0×103 kg/m3，v0=1500 m/s，respectively.

本工作中，在保持原胞邊長(zhǎng)不變的前提下，把正方晶體體系傾斜成斜方晶格體系，從而打破體系的C4v對(duì)稱性，如圖2(a)中的左插圖所示.對(duì)于傾斜角α70°時(shí)，聲子晶體的體能帶如圖2(a)所示.其中，在K1-Γ方向上，K1點(diǎn)附近存在二重簡(jiǎn)并的線性色散關(guān)系，其放大圖如圖2(a)中的右插圖所示.這個(gè)線性狄拉克點(diǎn)產(chǎn)生機(jī)理與文獻(xiàn)[29]一樣.斜方晶格的第一布里淵區(qū)如圖2(b)所示.圖2(c)是狄拉克點(diǎn)附近的三維色散關(guān)系.

圖2 (a) 傾斜角 α=70° 的斜方晶格體系的能帶結(jié)構(gòu)，左插圖是二維斜方晶格聲子晶體的原胞，右插圖表示虛線區(qū)域的放大能帶結(jié)構(gòu);(b)斜方晶格的第一布里淵區(qū);(c) 線性狄拉克點(diǎn)附近的三維能帶結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)圖(a)中的虛線區(qū)域Fig.2.(a) Bulk band structure of an oblique lattice with the tilted angle α=70°，Inset:the unit cell (left);the enlarged band structure around the Dirac point near K1 point (right);(b) first Brillouin zone of the oblique lattice;(c) 3D bulk band structure around the Dirac point，corresponding to the dashed region in (a).

由于線性狄拉克點(diǎn)的特性，我們不禁要問(wèn):如果把體能帶沿某一方向(例如:x方向)作投影，狄拉克錐的投影能帶將把帶隙分成左右兩部分，這兩部分帶隙的特性是一樣的嗎? 眾所周知，在無(wú)損耗體系中，以體系的某一方向構(gòu)造一界面，導(dǎo)帶具有實(shí)的表面阻抗，即:I m(Z(ω，k//))0，而帶隙則具有純虛數(shù)的表面阻抗，即:I m(Z(ω，k//))／0 .換句話說(shuō)，線性狄拉克錐分隔開的這兩部分帶隙具有相同符號(hào)的I m(Z(ω，k//))嗎?如果不是，那么根據(jù)界面態(tài)的表面阻抗理論，只要滿足ZU(ω，k//)+ZL(ω，k//)0，則界面處一定存在界面態(tài).其中，ZL(ω，k//) 和ZU(ω，k//)分別表示在某一特定頻率ω和平行于界面的波矢k//的情況下，界面兩邊體系的表面阻抗.也就是說(shuō)，通過(guò)利用狄拉克錐兩邊不同符號(hào)的表面阻抗，有可能構(gòu)造出界面態(tài).

3 聲子晶體的界面態(tài)

正方晶格沿x方向的投影能帶如圖3(a)所示.首先通過(guò)把該聲子晶體與水構(gòu)成一個(gè)沿x方向的界面，可以計(jì)算此時(shí)投影能帶不同區(qū)域的表面阻抗.由圖3(a)可見(jiàn)，在導(dǎo)帶的投影區(qū)域，I m(Z)0，而在第一和第二帶隙區(qū)域，I m(Z) 分別小于0 和大于0.然后利用同樣的方法，計(jì)算α70°時(shí)的斜方晶格聲子晶體沿x方向的投影能帶，如圖3(b)所示.類似地，在導(dǎo)帶的投影區(qū)域，I m(Z)0，第一帶隙區(qū)域的 I m(Z) 還是小于0;不同的是，在斜方晶格中的第二帶隙被狄拉克錐投影分成兩個(gè)區(qū)域，其中，左邊區(qū)域的 I m(Z) 仍然大于0，而右邊區(qū)域的Im(Z)則小于0.這驗(yàn)證了我們之前提出的設(shè)想:狄拉克錐把原來(lái)的帶隙分成兩個(gè)性質(zhì)不同的帶隙.需要指出的是:對(duì)于給定的k//，在 I m(Z(ω，k//))＜0 帶隙中，隨著頻率的增大，I m(Z(ω，k//)) 從0 到 -∞單調(diào)遞減，而在 I m(Z(ω，k//))＞0 的帶隙中，Im(Z(ω，k//))隨頻率增大從 +∞單調(diào)遞減到0[24，25].此外，正方晶格和斜方晶格體系在頻率 9 50 Hz 附近具有兩個(gè)共同的帶隙，左邊共同帶隙的 I m(Z(ω，k//)) 都大于0，而右邊共同帶隙具有相反符號(hào)的 I m(Z(ω，k//)) .因此，如果把這兩個(gè)體系沿著x方向構(gòu)成一個(gè)界面(如圖3(d)左圖所示)，界面處一定存在界面態(tài).圖3(c)是界面態(tài)的投影色散，其中粉色線表示界面態(tài)的色散.同時(shí)，圖3(d)右圖顯示了處于頻率937.4 Hz 的界面態(tài)聲壓場(chǎng)本征態(tài)分布.由圖中可清晰看出，聲壓場(chǎng)局域在界面上，并沿垂直于界面的方向指數(shù)衰減.

圖3 (a) 正方晶格聲子晶體沿x 方向的投影能帶;(b) 傾斜角 α=70° 的斜方晶格聲子晶體沿x 方向的投影能帶，Im(Z) 表示表面阻抗的虛部;(c) 由上述兩個(gè)聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向界面的界面態(tài)色散關(guān)系，粉色線表示界面態(tài)色散;(d)正方晶格和斜方晶格聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向的界面(左圖)，頻率為 9 37.4 Hz 的界面態(tài)本征聲壓場(chǎng)分布(右圖)Fig.3.(a)Projected band structures along the kx direction of the phononic crystals with a square lattice;(b) projected band structures along the k x direction of phononic crystals with an oblique lattice of α=70°，Im(Z) represents the imaginary part of surface impedance;(c)interface state dispersion along the k x direction of the interface constructed by two phononic crystals with the square and oblique lattices，the pink lines denote the interface states;(d) the interface constructed by two phononic crystals with the square and oblique lattices(left)，the eigen pressure field distribution of the interface state at 9 37.4 Hz(right) .

除了利用表面阻抗理論來(lái)判定界面態(tài)的存在與否，還可利用體能帶的幾何相位來(lái)預(yù)測(cè)界面態(tài)的存在[30].這樣就可以通過(guò)體系的一個(gè)結(jié)構(gòu)單元的信息來(lái)預(yù)測(cè)界面態(tài)的存在性，不需要構(gòu)造實(shí)際的界面結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的全波數(shù)值模擬，節(jié)省了計(jì)算內(nèi)存和時(shí)間.基于前期的研究可知，兩個(gè)相鄰帶隙符號(hào)的比值與體能帶的Zak 相位之間的關(guān)系可表示為[30]

其中，Zi(ω，k//) 和Zi-1(ω，k//) 分別是兩個(gè)相鄰帶隙的表面阻抗，φi是這兩個(gè)帶隙之間體能帶的Zak相位.因?yàn)樽畹蛶?I m(Z(ω，k//)) 總是負(fù)的，所以只要知道每條體能帶的Zak 相位，相應(yīng)地就可以通過(guò)(1)式來(lái)確定其他帶隙 I m(Z(ω，k//)) 的符號(hào).固定k//kx，可以得到體系沿ky方向的體能帶.根據(jù)圖2(a)體能帶中狄拉克點(diǎn)的位置，可以分別得到k//＜kD，x(狄拉克點(diǎn)左邊)和k//＞kD，x(狄拉克點(diǎn)右邊)的體能帶，如圖4(a)和4(b)所示.最低能帶的Zak 相位都是π，而第二條能帶的Zak 相位則分別是0 和π，這是由于從k//＜kD，x變化到k//＞kD，x時(shí)，經(jīng)歷了能帶的翻轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致Zak 相位的跳變.利用(1)式，就可得到第二和第三帶隙Im(Z(ω，k//))的符號(hào).對(duì)于k//＜kD，x情況，第三帶隙的I m(Z(ω，k//))＞0，而對(duì)于k//＞kD，x情況，Im(Z(ω，k//))＜0.同時(shí)也計(jì)算了正方晶格固定k//kx情況下的體能帶以及相應(yīng)的Zak 相位，如圖4(c)所示.其最低兩個(gè)帶隙的 I m(Z(ω，k//))＜0，而最高帶隙的 I m(Z(ω，k//))＞0 .這些結(jié)果與圖3中通過(guò)全波數(shù)值模擬得到的結(jié)果完全一致.仔細(xì)比較圖4(b)和4(c)，可以發(fā)現(xiàn)在頻率 9 50 Hz 附近，兩個(gè)體能帶存在共同帶隙，而且對(duì)應(yīng) I m(Z(ω，k//)) 的符號(hào)正好相反.因此，可以判斷它們之間一定存在界面態(tài).

圖4 傾斜角 α=70° 的斜方晶格聲子晶體在 k x=0.6 π/a (a) 和 k x=0.85 π/a (b)時(shí)沿 ky 方向的體能帶;(c) 在kx=0.85 π/a時(shí)，正方晶格聲子晶體沿 ky 方向的體能帶，其中紅色區(qū)域和藍(lán)色區(qū)域分別表示 I m(Z)＜0 和Im(Z)＞0Fig.4.Bulk band structures along the ky direction of the phononic crystal with an oblique lattice with α=70° forkx=0.6 π/a(a) and k x=0.85 π/a (b);(c) bulk band structures along the k x direction of the phononic crystal with a square lattice for kx=0.85 π/a.The red and blue regions represent I m(Z)＜0 and I m(Z)＞0，respectively.

在上述討論中，選擇了傾斜角α70°的斜方晶格.事實(shí)上，對(duì)于固定大小的圓柱體，傾斜角α可以從20°到90°變化.圖5 是由α50°的斜方晶格與正方晶格構(gòu)成的界面的界面態(tài)色散，除了發(fā)現(xiàn)由于狄拉克點(diǎn)引起的界面態(tài)(粉色線)之外，在低頻處還存在額外的界面態(tài)色散(綠色線).該界面態(tài)色散的存在同樣可以由體能帶的Zak 相位來(lái)解釋.

圖5 由 α=50° 斜方晶格與正方晶格聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向界面的界面態(tài)色散，紅色線和綠色線分別表示兩個(gè)共同帶隙中的界面態(tài)色散Fig.5.Interface state dispersion along the k x direction of the interface constructed by two phononic crystals with the square and oblique lattices with α=50°，the red line and the green line represent the interface state dispersion in the two common band gaps，respectively.

基于能帶翻轉(zhuǎn)的思路，本文結(jié)論可以拓展到固體-固體體系中.將鐵柱子置于環(huán)氧樹脂中進(jìn)行周期性排列，構(gòu)成晶格常數(shù)為a1 m 的二維聲子晶體.其中，鐵柱子的半徑R0.215a，鐵與環(huán)氧樹脂的質(zhì)量密度分別為:ρFe7.7×103kg/m3;ρEP1.18×103kg/m3，它們的縱波聲速和橫波聲速分別為:vl-Fe5850 m/s，vt-Fe3230 m/s ;vl-EP2605 m/s，vt-EP1068 m/s .正方晶格和斜方晶格(α70°)結(jié)構(gòu)的體能帶如圖6(a)和6(b)所示.二次型狄拉克點(diǎn)和線性狄拉克點(diǎn)仍然存在.同樣將這兩種聲子晶體構(gòu)成沿x方向的界面，雖然共同帶隙很小，但是界面態(tài)仍然存在，如圖6(c)左圖的粉色線所示.此外，圖6(c)右圖清晰地展示了頻率為529.6 Hz 的界面態(tài)本征位移場(chǎng)分布.

圖6 鐵柱子在環(huán)氧樹脂中周期性排列構(gòu)成二維聲子晶體 (a) 二維正方晶格聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu);(b) 傾斜角α=70°的斜方晶格體系的能帶結(jié)構(gòu);(c)由上述兩個(gè)聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向界面的界面態(tài)色散關(guān)系(左)，粉色線表示界面態(tài)色散，頻率為 5 29.6 Hz 的界面態(tài)本征位移場(chǎng)分布(右)Fig.6.Two-dimensional phononic crystals are constructed by steel cylinders in epoxy:(a) Bulk band structure of a square lattice;(b) bulk band structure of an oblique lattice with the tilted angle α=70° ;(c) the interface state dispersion along the k x direction of the interface constructed by these two phononic crystals(Left)，the pink line denotes the interface states，the eigen displacement field distribution of the interface state at 5 29.6 Hz(right) .

4 結(jié)論

本文提出了在二維正方晶格聲子晶體與其傾斜結(jié)構(gòu)所形成的界面處一定存在界面態(tài).該界面態(tài)的存在既可以通過(guò)表面阻抗的理論來(lái)解釋，也可以通過(guò)單一結(jié)構(gòu)單元體能帶的Zak 相位來(lái)判定.界面態(tài)作為波傳輸能量的重要途徑，具有廣泛的應(yīng)用前景.這種構(gòu)造確定性界面態(tài)的方法可以推廣到其他的經(jīng)典波體系中.