初中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合思想的應用探究

陳其濤

數(shù)學這門學科具有極強的抽象性、邏輯性，特別是初中階段的數(shù)學，難度較大，學生在學習過程中會遇到很多的困難和阻礙。隨著素質(zhì)教育理念的不斷深入，初中數(shù)學作為基礎教育中重要環(huán)節(jié)之一，教師也應該對傳統(tǒng)的教學模式進行改革。數(shù)形結(jié)合能夠?qū)?shù)字和圖形進行有機轉(zhuǎn)換，在課堂中運用數(shù)形結(jié)合的思想，學生能夠加強對數(shù)學知識的整合、融匯，靈活地構(gòu)建系統(tǒng)性的知識結(jié)構(gòu)，在潛移默化的過程中，學生學科素養(yǎng)得到發(fā)展，高效初中數(shù)學課堂構(gòu)建目標得以落地。

（一）數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合是一種以數(shù)字和圖形為基礎的直觀性教學方法，主要通過以形化數(shù)、以數(shù)化形、數(shù)形互變等方式，讓學生能夠更深刻理解、學習數(shù)學知識，掌握學習技巧、技能。

首先，根據(jù)數(shù)的精確性特點與數(shù)量型的特征，數(shù)將輔助形并突出形所含有的數(shù)學屬性；根據(jù)形的直觀性特點與幾何型特征，形在數(shù)的問題中的應用，將幫助解題者有機簡化實際數(shù)學問題的文本，將抽象數(shù)學語言轉(zhuǎn)化為直觀圖形、位置關(guān)系，最終實現(xiàn)復雜問題簡單化、抽象問題具象化的應用目標。

（二）數(shù)形結(jié)合的方式

就數(shù)形結(jié)合的方式而言，具體可以分為三個方面。其一，以數(shù)化形。在數(shù)學學習中，數(shù)和形是兩種最基本的形態(tài)，且彼此之間存在著密切的關(guān)聯(lián)，不可分割、相輔相成。形具有極強的直觀性、圖像化特征，能夠引領(lǐng)學生進入具體的情境中。以數(shù)化形的關(guān)鍵則是將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，使學生獲得直觀的感官體驗與啟迪，快速解決數(shù)學問題，實現(xiàn)深度學習。其二，以形變數(shù)。雖然形具有直觀性的特點，但是對于定量、精確的數(shù)學表達式而言，則需要借助數(shù)才能夠?qū)崿F(xiàn)由形向數(shù)的轉(zhuǎn)化。通常情況下，在運用“以形變數(shù)”這一方法時，強調(diào)學生應該加強對問題的深入分析，結(jié)合問題所展示的圖表，獲取關(guān)鍵信息，找到相應的數(shù)字關(guān)系，用簡潔明了的數(shù)量關(guān)系解決實際問題。其三，數(shù)與形互變。在數(shù)學學習中，學生要靈活實現(xiàn)數(shù)與形之間的有機轉(zhuǎn)化，動態(tài)轉(zhuǎn)變，將形的直觀性特征與數(shù)的嚴謹性特征緊密結(jié)合，使學生思維更加靈活。

（一）有助于引領(lǐng)學生的學習興趣

就初中階段的數(shù)學知識而言，所囊括的知識范圍比較廣，有大量抽象性、概念性的知識點，晦澀難懂，這無疑給學生的數(shù)學學習造成了極大的阻礙，逐漸消磨了學生的學習興趣，甚至有很多學生對數(shù)學學習產(chǎn)生了排斥抗拒的情緒。為了有效改善當前的現(xiàn)狀，讓學生重新迸發(fā)出數(shù)學學習的熱情、動力、激情，教師在教學過程中應該主動融合滲透數(shù)形結(jié)合思想。比如，可以借助圖片、視頻等方式將抽象的知識具象化呈現(xiàn)，讓學生獲得直觀的體驗、感知，帶給學生更多的思想碰撞、思維啟迪。同時，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學課堂中的運用，能夠真正意義上做到化繁為簡，讓學生不斷攻克數(shù)學學習的難關(guān)，重新拾起數(shù)學學習的自信，提升參與數(shù)學學習的主動性、積極性。

（二）有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力

在素質(zhì)教育背景之下，初中數(shù)學教學的主要落腳點之一在于提升學生的數(shù)學思維層次、強化學生的認知能力?；诖?，教師在初中數(shù)學教學的推進過程中，應該將數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于各個教學環(huán)節(jié)，在潛移默化的過程中促進學生思維的有效發(fā)展，助力學生形成發(fā)散思維、邏輯思維、抽象思維等，能夠?qū)?shù)與形進行靈活、動態(tài)化、有機的切換，根據(jù)數(shù)學知識，了解數(shù)學現(xiàn)象，進一步挖掘數(shù)學規(guī)律，走進數(shù)學世界，在知識的海洋中遨游，讓學生的數(shù)學思維能力、綜合能力獲得真正意義上的強化，切實落實素質(zhì)教育的根本任務。

（三）有助于構(gòu)建高校的初中數(shù)學課堂

初中數(shù)學是基礎教育中非常重要的一門學科，學好數(shù)學對學生的未來發(fā)展而言具有深遠意義和重要影響。數(shù)和形是學生在數(shù)學學習中不可避免的兩大要素，教師在實際的教學環(huán)節(jié)，要科學地滲透數(shù)形結(jié)合的思想，將龐大的“形”和虛擬世界的“數(shù)”進行連接，這是構(gòu)建高效數(shù)學課堂的關(guān)鍵。教師熟練運用數(shù)形結(jié)合思想落實教學，同時引導學生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決具體的數(shù)學問題，讓學生在不斷學習的過程中建立起良好的數(shù)學思維，在課堂中和同學、教師達成有機的互動，形成多元互動關(guān)系網(wǎng)，循序漸進地攻破數(shù)學學習中的重點和難點，真正意義上提升課堂教學效率，優(yōu)化課堂教學效果，凸顯數(shù)形結(jié)合思想運用的價值和意義。

（一）在概念教學中運用數(shù)形結(jié)合思想

在初中數(shù)學教材中，涉及很多的概念性內(nèi)容，數(shù)學概念是對數(shù)學重點知識的提煉、濃縮。但不可忽視的是，數(shù)學概念本身也具有極強的抽象性，很多學生只是處于感性的認知層面，難以上升到理性的認知高度，這使得學生在后續(xù)學習中受到阻礙和限制。在教學改革的背景之下，著重強調(diào)教師要加強對初中數(shù)學教學模式的創(chuàng)新性探究，特別是針對概念性的內(nèi)容，不能夠一味地以灌輸為主，讓學生死記硬背，而是應該注重數(shù)形結(jié)合思想的滲透，使學生對數(shù)學概念形成具象化的認知，切實掌握數(shù)學概念的內(nèi)涵。

例如，以北師大版九年級下冊“直線與圓的位置關(guān)系”這一模塊知識為例，教師在指導學生學習直線與圓的三種位置關(guān)系的概念時，可以借助多媒體技術(shù)，將抽象的知識具象化、生動化呈現(xiàn)，借助圖片展示日出，然后讓學生仔細觀察太陽升起的整個過程，牢牢地把握住在這一環(huán)節(jié)中所存在的特殊位置關(guān)系，其中主要涉及三個關(guān)鍵點，老師則可以根據(jù)三個關(guān)鍵點切入直線與圓位置關(guān)系的教學，自然而然地滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學生能夠更加直觀感知直線和圓之間的位置關(guān)系。學生可以將圓看作太陽，將線看作地平線，然后根據(jù)太陽和地平線有2個、1個、0個公共點的三種情況，展開具體的探究，讓學生深刻把握直線與圓的三種位置關(guān)系的定義。就第一種情況而言，太陽和地平線相交，那么學生則可以利用數(shù)形結(jié)合思想將抽象的事物具象化，這個時候直線叫作圓的切線。就第二種情況而言，太陽和地平線有一個交點，學生則可以抽象出圓和直線相切，將交點叫作切點。就第三種情況而言，太陽和地平線沒有交點，學生則抽象出圓和直線相離?；趫D片的直觀化展示，教師可以組織學生就直線與圓的不同位置進行總結(jié)和判定，對相交、相切、相離三種情況進行判定。在圓與直線位置關(guān)系的教學中，教師主要是讓學生從形的認知上著手，然后逐漸過渡到數(shù)的認知上，由此讓學生把握相關(guān)的數(shù)學概念，強化內(nèi)化遷移能力和應用能力，為學生后續(xù)解決圓與直線位置關(guān)系的實際問題打牢基礎。

（二）在數(shù)軸教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想

在初中教育階段，數(shù)軸作為教材中的重要內(nèi)容，具有基礎性作用，學好這一知識內(nèi)容對學生的后續(xù)學習會產(chǎn)生直接影響，同時也是學生數(shù)學學習和研究的重要工具。在具體的學習探究中，數(shù)軸在學生學習絕對值概念、有理數(shù)運算法則的推導以及不等式的求解等領(lǐng)域都發(fā)揮著不可忽視的作用。老師在具體的教學環(huán)節(jié)，則可以以數(shù)軸教學作為數(shù)形結(jié)合思想滲透的起點，以數(shù)軸教學為切入點，將數(shù)與形進行有機轉(zhuǎn)化，讓學生能夠深刻認識到數(shù)軸在數(shù)學問題以及生活實際中的具體運用。

以北師大版七年級上冊“數(shù)軸”這一模塊知識為例，首先在課前導入環(huán)節(jié)，教師可以從三個層次出發(fā)實現(xiàn)情境引入，揭示課程主題。在第1層次中，教師可以讓學生根據(jù)家鄉(xiāng)地圖，標出自己家位于學校的什么方位。就第2個層次而言，教師則可以讓學生在一條直線上畫出各個物體的相對位置。而就第3個層次而言，教師則可以讓學生仔細觀察溫度計，認識到溫度計主要是以0刻度為分水嶺，具體劃分為正數(shù)以及負數(shù)。在這一環(huán)節(jié)中，教師將動手、動口、動腦相結(jié)合，激活學生的求知欲望，為接下來數(shù)形結(jié)合思想的滲透奠定良好的基礎。而后教師可以引導學生探究有理數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系。教師展示溫度計圖片，提出問題：我們通過觀察可以看到當前溫度計上所顯示的度數(shù)值是多少？溫度計和數(shù)軸具有哪些相似點？可以將溫度計看作是一條數(shù)軸嗎？在這一環(huán)節(jié)中，教師提出啟發(fā)性問題，引導學生將溫度計看成一條數(shù)軸，在溫度計上初步建立“由點表示數(shù)，由數(shù)找到點”的數(shù)形結(jié)合思想，幫助學生進一步了解數(shù)軸，強化學生的圖形識別能力，凸顯數(shù)形結(jié)合的重要應用價值。

（三）在一元二次方程教學中運用數(shù)形結(jié)合思想

一元二次方程是初中數(shù)學階段非常重要的學習內(nèi)容，它是一元一次方程、方程組和不等式等相關(guān)知識的拓展、延伸、深化。以北師大版九年級上冊“一元二次方程”這一模塊知識為例，這一模塊知識的重難點內(nèi)容包括一元二次方程的基本概念、解法以及在實際問題中的具體運用。教師在具體教學過程中，要善用、巧用、會用數(shù)形結(jié)合的思想，推進教學活動的有序、有效開展，引導學生全身心地投入一元二次方程的學習中，利用已有的知識進一步探究一元二次方程的幾種解法。教師在完成教學任務之后可以展示具體的例題，讓學生求解。如：求方程 x2-x-1 = 0 的解。在任務的導向之下，教師可以將班級學生劃分為多個小組，組織小組成員展開深度的探討、研究，在交流、碰撞過程中摩擦出更多的思維火花，尋找不同的解題方法，獲得更多的解題靈感，從不同的視角切入，積極探求解題的路徑。方法一： 利用一元二次方程的求根公式進行解答。 學生可以直接套用公式，這是最方便、最快捷，但也是最死板的解法。方法二：學生可以運用數(shù)形結(jié)合的思想，運用數(shù)與形之間有機的轉(zhuǎn)換，完成解題任務。學生可以將題目中的方程式變形成為x2 = x+1，然后繪制出函數(shù)圖像： y = x+1 與 y = x2，學生將兩個函數(shù)圖像的解繪制出來，得出兩個函數(shù)圖像相交，而相交的點則是需要求出的方程的解。在這一教學過程中，教師通過數(shù)形結(jié)合方法的有效運用，打開學生的解題思路，提高學生思維的靈活性，同時帶給學生更直觀、豐富的學習體驗，這樣可以取得事半功倍的教學效果。

（四）在概率教學中運用數(shù)形結(jié)合的思想

概率問題是很多學生學習的難點，但同時也是初中數(shù)學教學的重點。在傳統(tǒng)的課堂教學中，教師往往注重理論知識的講解，忽視了和學生之間的有效互動，也沒有將數(shù)形結(jié)合思想融入其中。隨著教學改革的推進，有效地運用數(shù)形結(jié)合思想能夠為“概率課堂”注入更多新鮮的血液。例如，以北師大版教材九年級上冊“概率的進一步認識”這一模塊知識為例，首先在課前導入環(huán)節(jié)，教師可以借助多媒體輔助教學，通過播放課件的方式創(chuàng)設教學情境：小平、小方、小米三個人是非常好的朋友，在參加一次比賽中獲得了一張電影票，所以三個人決定一起通過做游戲的方式選出誰能獲得這張電影票。小平、小方、小米設置游戲規(guī)則：連續(xù)投擲兩枚相同的硬幣，查看投擲的結(jié)果，如果兩枚硬幣都是正面朝上，那么就由小方去看電影，如果都是反面朝上，那么則由小平去看電影，而如果是一正一反，則由小米去看電影，你覺得這個游戲公平嗎？在問題的啟發(fā)之下，學生可以以小組為單位，對于其中涉及的概率問題展開深刻的探究，在批判、質(zhì)疑的過程中解決一系列問題。而為了使得學生的討論過程可視化，可以借助樹狀圖或者列表法列舉投擲兩枚硬幣可能會出現(xiàn)的結(jié)果。由此使得數(shù)形之間能夠?qū)崿F(xiàn)動態(tài)轉(zhuǎn)變，使得小平、小方、小米獲勝的概率更加直觀、形象，最終得出具體的結(jié)果：小平獲勝的概率是四分之一、小方獲勝的概率也是四分之一，而小米獲勝的概率是二分之一。由此可見小米的獲勝概率是最大的，這個游戲并不公平。

（五）在三角函數(shù)的應用教學中運用數(shù)形結(jié)合的思想

三角函數(shù)的應用作為初中數(shù)學教學的重點，同樣是學生數(shù)學學習的難點，其中涵蓋了以數(shù)化形、以形變數(shù)、數(shù)與形互變的三種數(shù)形結(jié)合思想的應用。在傳統(tǒng)的數(shù)學課堂教學中，教師往往采取平鋪直敘的教學方式為學生講解題目，卻忽視了數(shù)形結(jié)合思想，導致部分學生在獨立解題時不知所措，從而難以獲得理想的教學效果。以北師大版教材九年級下冊“三角函數(shù)的應用”這一模塊知識為例，首先在引領(lǐng)讀題環(huán)節(jié)，教師可以針對題目文本，引導學生運用以數(shù)化形的方式將抽象問題具象化，即將題目文本轉(zhuǎn)化為清晰可視化的圖形；而后在圖形辨析環(huán)節(jié)，教師可以針對缺乏數(shù)量關(guān)系的圖形，引導學生根據(jù)題意運用以形變數(shù)的方式明確圖形中的數(shù)量關(guān)系，從而達成形數(shù)互變、學以致用的教學目標，給學生指明解題方向，提升學生的數(shù)學應用能力。

總而言之，教師作為整個教學活動的組織者、引導者，要積極運用數(shù)形結(jié)合思想，圍繞著學生的實際情況，展開多樣化的教學活動，讓學生能夠結(jié)合不同的知識點，實現(xiàn)數(shù)與形的有機轉(zhuǎn)化，強化自身的邏輯思維能力、解題能力、創(chuàng)新意識，讓整個課堂呈現(xiàn)出別樣的生氣和活力。