(2+1)維Kundu-Mukherjee-Naskar方程新精確解的構(gòu)建

劉靜靜, 孫峪懷

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

0 引言

近幾十年來,許多學(xué)者研究了新的模型來解釋現(xiàn)實(shí)世界問題的重要物理意義.現(xiàn)考慮Kundu-Mukherjee-Naskar模型[1-5]:

(1)

q表示非線性波包絡(luò),其中q*為復(fù)共軛,x,y為空間變量,t為時(shí)間變量.a,b是兩個(gè)實(shí)常數(shù)．Kundu等[1]首次推導(dǎo)出該方程,用于模擬二維海洋異常涌浪,后來被命名為Kundu-Mukherjee-Naskar方程[2].該模型用于研究光波通過相干激勵(lì)諧振波導(dǎo)的傳播,特別是光束的彎曲現(xiàn)象[5].由于該模型的重要性,已有研究人員提出了擴(kuò)展試探函數(shù)法[5]、Darboux矩陣法、泰勒展開法、極限法[6]、改進(jìn)的簡(jiǎn)單方程法[7]、廣義指數(shù)有理函數(shù)法[8]、第一積分法[9]、Exp-Function方法[10]、csch方法、擴(kuò)展的Tanh-Coth、擴(kuò)展有理sinh-cosh法[11]和新擴(kuò)展直接代數(shù)法[12]求解了KMN方程的精確解,以及Ji-Huan He[13]等人借助變分原理得到了Kundu-Mukherjee-Naskar方程的周期解．

Kundu-Mukherjee-Naskar方程的求解方法有很多,近似方法主要有變分迭代算法[14]和同倫攝動(dòng)法[15];精確方法主要有首次積分法[16]、擴(kuò)展的(G′/G)-展開法[17]、指數(shù)函數(shù)法以及各種改進(jìn)[18-19]．本文采用修改的(G′/G)-展開方法[20-21]構(gòu)造了Kundu-Mukherjee-Naskar方程新的精確解．

1 求解過程

由于方程(1)中的q(x,t)是一個(gè)復(fù)值函數(shù),考慮這種形式的行波解

q(x,y,t)=P(ζ)eiφ(x,y,t),

(2)

其中P(ζ)表示振幅部分,

ζ=B1x+B2y-vt,

(3)

孤子的相位部分被描述為

φ(x,y,t)=-k1x-k2y+ωt+θ.

(4)

式(3)中,B1和B2參數(shù)表示孤子的x和y逆寬度,v表示孤子速度.式(4)中,k1和k2分別為x方向和y方向上的孤子頻率.ω為孤子的波數(shù),θ為孤子的相位常數(shù).然后,通過將式(2)-(4)代入方程(1)中,再將其分為實(shí)部和虛部,得到如下方程:

aB1B2P″-(ω+ak1k2)P-2bk1P3=0,

(5)

v=-a(k1B2+k2B1).

(6)

將方程(5)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)P″和非線性項(xiàng)P3部分平衡,得到N=1.由修改的(G′/G)-展開法[20-21],方程(5)解的形式為(G′/G)-展開的有理函數(shù):

P(ζ)=a-1(G′/G)-1+a0+a1(G′/G),

(7)

其中常數(shù)a-1,a0和a1待確定,G(ζ)滿足如下Riccati方程:

G″(ζ)+λG′(ζ)+μG(ζ)=0，

(8)

將方程(7)和(8)代入方程(5).然后,令(G′/G)N的系數(shù)為0,得到關(guān)于a-1,a0,a1和ω的參數(shù)方程組為:

(9)

解方程組(7)得a-1、a0、a1和s的結(jié)果為

(10)

現(xiàn)令Δ=λ2-4μ，將結(jié)果(10)分別代入式(5),得到式(1)五種情形的孤波解:

情形1:

(11)

此情況無實(shí)際意義,舍去.

情形2:

①當(dāng)Δ>0時(shí)，方程(1)有如下的雙曲函數(shù)形式解:

(12)

其中ζ=B1x+B2y+a(k1B2+k2B1)t,A1,A2是常數(shù).

特別地,若取式(12)中的A1≠0,A2=0,得到方程(1)的暗孤波解:

(13)

②當(dāng)Δ<0時(shí),方程(1)有如下的三角函數(shù)形式解:

(14)

其中ζ=B1x+B2y+a(k1B2+k2B1)t,及A1,A2是常數(shù).

又若取式(14)中的A1≠0,A2=0或A1=0,A2≠0,分別得到方程(1)的周期孤波解:

(15)

(16)

③當(dāng)Δ=0時(shí),方程(1)的解沒有意義.

情形3:

①當(dāng)Δ>0時(shí),方程(1)有如下的雙曲函數(shù)形式解:

(17)

其中ζ=B1x+B2y+a(k1B2+k2B1)t，及A1,A2是常數(shù).

特別地,若取式(17)中的A1≠0,A2=0,得到方程(1)的暗孤波解:

(18)

②當(dāng)Δ<0時(shí),方程(1)有如下的三角函數(shù)形式解:

(19)

其中ζ=B1x+B2y+a(k1B2+k2B1)t,及A1,A2是常數(shù)．

又若取式(19)中的A1≠0,A2=0或A1=0,A2≠0,分別得到方程(1)的周期孤波解:

(20)

(21)

③當(dāng)Δ=0時(shí),方程(1)的解沒有意義.

情形4:

①當(dāng)Δ>0時(shí),方程(1)有如下的雙曲函數(shù)形式解:

(22)

其中ζ=B1x+B2y+a(k1B2+k2B1)t, 及A1,A2是常數(shù).

特別地,若取式(22)中的A1≠0,A2=0,得到方程(1)的暗孤波解:

(23)

②當(dāng)Δ<0時(shí),方程(1)有如下的三角函數(shù)形式解:

(24)

其中ζ=B1x+B2y+a(k1B2+k2B1)t,及A1,A2是常數(shù).

又若取式(24)中的A1≠0,A2=0或A1=0,A2≠0,分別得到方程(1)的周期孤波解:

(25)

(26)

③當(dāng)Δ=0時(shí),方程(1)的解沒有意義.

情形5可仿照情形4給出．

(1)q2.1.1(x,y,1),a=1,b=1,λ=3,μ=2,B1=2,B2=2,k1=1,k2=1,ω=-3(2)q2.2.1(x,y,1),a=1,b=1,λ=2,μ=2,B1=2,B2=2,k1=1,k2=1,ω=7(3)q2.2.2(x,y,1),a=1,b=1,λ=2,μ=2,B1=2,B2=2,k1=1,k2=1,ω=7(4)q3.1.1(x,y,1),a=1,b=1,λ=3,μ=2,B1=2,B2=2,k1=1,k2=1,ω=-3(5)q3.2.1(x,y,1),a=1,b=1,λ=2,μ=2,B1=2,B2=2,k1=1,k2=1,ω=7 (6)q3.2.2(x,y,1),a=1,b=1,λ=2,μ=2,B1=2,B2=2,k1=1,k2=1,ω=-51(7)q4.1.1(x,y,1),a=1,b=1,λ=3,μ=2,B1=2,B2=2,k1=1,k2=1,ω=-51(8)q4.2.1(x,y,1),a=1,b=1,λ=2,μ=2,B1=2,B2=2,k1=1,k2=1,ω=-41 (9)q4.2.2(x,y,1),a=1,b=1,λ=2,μ=2,B1=2,B2=2,k1=1,k2=1,ω=-41圖1 方程(1)在t=1時(shí)刻解的波動(dòng)圖像

2 結(jié)論