2021年中考數(shù)學(xué)試卷評(píng)價(jià)報(bào)告

曹君

摘 ?要：文章對(duì)2021年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行了抽樣分析，以典型試題為例，從“四基”的考查、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的考查、五育融合等角度分析了中考數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn)，對(duì)命題趨勢(shì)進(jìn)行了闡述，并得出了教學(xué)啟示.

關(guān)鍵詞：2021年中考;內(nèi)容分析;命題趨勢(shì);教學(xué)啟示

中考是檢測(cè)初中在校學(xué)生是否達(dá)到初中學(xué)業(yè)水平的水平性考試和建立在九年義務(wù)教育基礎(chǔ)上的高中選拔性考試. 既要堅(jiān)持考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能，又要堅(jiān)持考查學(xué)科能力. 中考命題嚴(yán)格遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，充分考慮教學(xué)情況、義務(wù)教育課程改革情況、教材使用情況，最大限度地求同避異，充分體現(xiàn)義務(wù)教育課程改革“平穩(wěn)過(guò)渡，循序漸進(jìn)”的基本原則. 研究中考試題，對(duì)改進(jìn)命題，引導(dǎo)教師轉(zhuǎn)變教學(xué)理念和方式，發(fā)揮教學(xué)評(píng)價(jià)與導(dǎo)向作用，有著至關(guān)重要的意義.

一、試卷基本概況

2021年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷在試卷結(jié)構(gòu)、題型分布、分?jǐn)?shù)設(shè)置等方面保持穩(wěn)定，試卷內(nèi)容整體上符合《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，知識(shí)要素覆蓋全面，核心素養(yǎng)考查突出，數(shù)學(xué)本質(zhì)體現(xiàn)精準(zhǔn)，數(shù)學(xué)文化展現(xiàn)魅力，數(shù)學(xué)應(yīng)用關(guān)注能力.

本報(bào)告從2021年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷中抽取32份進(jìn)行數(shù)據(jù)采集和分析，抽樣試卷覆蓋絕大多數(shù)地區(qū)，均為學(xué)業(yè)水平與升學(xué)考試合一的試卷. 試卷中的題數(shù)與分值分布分別如表1、表2所示.

數(shù)據(jù)分析表明，試卷總題數(shù)分布在22～28題之間，以24，25題居多，共占樣本的46.88%. 試卷總分值絕大多數(shù)是120分，其次是150分，少數(shù)為100分.

二、考試內(nèi)容分析

1. 考試內(nèi)容領(lǐng)域分析

《標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)內(nèi)容分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)領(lǐng)域，各地區(qū)的中考試卷基本上采用以具體內(nèi)容為載體，融入數(shù)學(xué)思想方法的考查和綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的考查. 在被調(diào)查的試卷中，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的知識(shí)考查平均權(quán)重分別為0.504 4，0.403 5，0.107 1（如圖1）.

2. 考試內(nèi)容具體分析

（1）注重基礎(chǔ)，突出通性、通法的考查.

2021年全國(guó)各地中考試卷以數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐的內(nèi)容為載體，全面考查了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在考查通性、通法的基礎(chǔ)上，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)，同時(shí)避開(kāi)了模式化的思路，圍繞相關(guān)數(shù)學(xué)核心概念，更加關(guān)注“四基”的形成過(guò)程.

① 基礎(chǔ)知識(shí)的考查，注重全面，突出重點(diǎn).

例1 （江蘇·宿遷卷）計(jì)算：[π-10+8-][4sin45°].

例2 （廣東卷）據(jù)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)發(fā)布，截至2021年5月23日，31個(gè)省（區(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計(jì)報(bào)告接種新冠病毒疫苗51 085.8萬(wàn)劑次，將“51 085.8萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ?）.

（A）0.510 858 × 109 （B）51.085 8 × 107

（C）5.108 58 × 104 （D）5.108 58 × 108

【評(píng)析】例1、例2分別考查了冪的性質(zhì)、二次根式化簡(jiǎn)、特殊銳角三角比的概念、科學(xué)記數(shù)法的概念等基礎(chǔ)知識(shí). 類似地，福建卷的第1，2題，廣東卷的第1，2，6題，均考查了實(shí)數(shù)的概念、科學(xué)記數(shù)法和三視圖的認(rèn)識(shí). 在對(duì)32份抽樣試卷調(diào)查的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù)的概念、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、科學(xué)記數(shù)法、三視圖的認(rèn)識(shí)等知識(shí)點(diǎn)，各地區(qū)均出現(xiàn)頻次較高，很好地檢驗(yàn)了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況. 對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，既注重全面，又突出重點(diǎn).

② 基本技能的考查，注重能力，教考一致.

例3 （浙江·湖州卷）已知a，b是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，a <[3]- 1 < b，則a，b分別是（ ? ?）.

（A）-2，-1 ? ? （B）-1，0

（C）0，1 ? ? ? ? （D）1，2

例4 （湖南·邵陽(yáng)卷）某社區(qū)針對(duì)5月30日前該社區(qū)居民接種新冠疫苗的情況開(kāi)展了問(wèn)卷調(diào)查，共收回6 000份有效問(wèn)卷.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，繪制成如表3所示的數(shù)據(jù)表格.

小杰同學(xué)選擇扇形統(tǒng)計(jì)圖分析接種不同針數(shù)的居民人數(shù)所占總?cè)藬?shù)的百分比. 下面是制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟（順序打亂）：

① 計(jì)算各部分扇形的圓心角分別為126°，136.8°，79.2°，18°.

② 計(jì)算出接種不同針數(shù)的居民人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比分別為35%，38%，22%，5%.

③ 在同一個(gè)圓中，根據(jù)所得的圓心角度數(shù)畫(huà)出各個(gè)扇形，并注明各部分的名稱及相應(yīng)的百分比.

如圖2，制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟排序正確的是（ ?）.

（A）②①③ （B）①③②

（C）①②③ （D）③①②

例5 （福建卷）如圖3，已知線段MN = a，AR⊥AK，垂足為點(diǎn)A.

（1）求作四邊形ABCD，使得點(diǎn)B，D分別在射線AK，AR上，且AB = BC = a，∠ABC = 60°，CD∥AB（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）;

（2）設(shè)點(diǎn)P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，求證：直線AD，BC，PQ相交于同一點(diǎn).

【評(píng)析】例3以二次根式為背景，考查了運(yùn)算與估算的基本技能;例4注重對(duì)讀表、讀圖、基本運(yùn)算、數(shù)據(jù)處理等基本技能的考查;例5以四邊形為背景考查了學(xué)生尺規(guī)作圖的基本技能. 對(duì)數(shù)學(xué)基本技能的考查，更注重能力，教考一致.

③ 基本思想的考查，立足學(xué)科素養(yǎng).

例6 （江蘇·宿遷卷）已知雙曲線[y=kxk<0]過(guò)點(diǎn)（3，y1），（1，y2），（-2，y3），則下列結(jié)論正確的是（ ? ?）.

（A） [y3>y1>y2] （B） [y3>y2>y1]

（C） [y2>y1>y3] （D） [y2>y3>y1]

例7 （湖北·荊州卷）小美打算買一束百合和康乃馨組合的鮮花，在“母親節(jié)”祝福媽媽. 已知買2支百合和1支康乃馨共需花費(fèi)14元，3支康乃馨的價(jià)格比2支百合的價(jià)格多2元.

（1）求買1支康乃馨和1支百合各需多少錢(qián).

（2）小美準(zhǔn)備買康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支. 設(shè)買這束鮮花所需費(fèi)用為w元，康乃馨有x支，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)一種使費(fèi)用最少的買花方案，寫(xiě)出最少費(fèi)用.

【評(píng)析】例6以反比例函數(shù)增減性為背景，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;例7考查了方程思想的應(yīng)用，以及方程與函數(shù)的思想. 類似地，四川省涼山州卷第12題，以二次函數(shù)圖象為背景，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;第25題以閱讀材料為背景，考查了對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的轉(zhuǎn)化;第28題以平行四邊形為背景，考查了分類討論思想的應(yīng)用. 近幾年，中考數(shù)學(xué)試題非常重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，包括數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想、類比思想、分類討論思想等. 對(duì)基本思想的考查，更立足學(xué)科素養(yǎng).

④ 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，貼近教學(xué)實(shí)際.

例8 （云南卷）如圖4，圖形是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側(cè)視圖）. 已知主視圖和左視圖是兩個(gè)全等的矩形. 若主視圖的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為2和3，俯視圖是直徑等于2的圓，則這個(gè)幾何體的體積為? ? .

例9 （浙江·寧波卷）如圖5是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的6 × 4的網(wǎng)格，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上.

（1）在圖5中畫(huà)出以AB為邊且周長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的平行四邊形ABCD，且點(diǎn)C和點(diǎn)D均在格點(diǎn)上（畫(huà)出一個(gè)即可）.

（2）在圖6中畫(huà)出以AB為對(duì)角線的正方形AEBF，且點(diǎn)E和點(diǎn)F均在格點(diǎn)上.

例10 （湖北·荊州卷）閱讀下列材料，其① ～ ④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯(cuò)誤的是（ ?）.

如圖7，已知直線b∥c，a⊥b，求證：a⊥c.

證明：① 因?yàn)閍⊥b，（已知）

所以∠1 = 90°.（垂直的定義）

② 又因?yàn)閎∥c，（已知）

所以∠1 = ∠2.（同位角相等，兩直線平行）

③ 所以∠2 = ∠1 = 90°.（等量代換）

④ 所以a⊥c.（垂直的定義） ]

（A）① （B）②

（C）③ （D）④

【評(píng)析】例8以幾何體的三視圖為背景，考查學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的基本經(jīng)驗(yàn)，即在直觀感知的基礎(chǔ)上，通過(guò)計(jì)算得出相關(guān)結(jié)果;例9以網(wǎng)格作圖為背景，同樣考查了學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的基本經(jīng)驗(yàn);例10以分析數(shù)學(xué)依據(jù)錯(cuò)誤為背景，考查學(xué)生學(xué)習(xí)推理論證的基本經(jīng)驗(yàn). 類似地，上海卷第4，15題，對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，更貼近教學(xué)實(shí)際.

（2）適度創(chuàng)新，增強(qiáng)試題的開(kāi)放性.

2021年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，呈現(xiàn)新穎的題目形式. 不僅注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，還注重對(duì)學(xué)生在一般性思維方法與創(chuàng)新思維能力發(fā)展等方面的評(píng)價(jià)，尤其注重對(duì)學(xué)生探索性思維能力和創(chuàng)新性思維能力的考查. 試題形式多樣，既有學(xué)生通過(guò)閱讀材料去理解一些數(shù)學(xué)對(duì)象的試題，也有借助所提供的各種形式的素材考查學(xué)生從中獲取信息的試題，還有適量的操作性和探索性試題.

例11 （江蘇·南京卷）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

（1）如圖8，圓錐的母線長(zhǎng)為12 cm，B為母線OC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，[AC]的長(zhǎng)為4π cm. 在如圖9所示的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑，并標(biāo)出它的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）.

（2）圖10中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成. O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓柱的高為h.

① 螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長(zhǎng)為

（用含l，h的代數(shù)式表示）.

② 設(shè)[AD]的長(zhǎng)為a，點(diǎn)B在母線OC上，OB = b. 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖11所示，在圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫(xiě)出求最短路徑的長(zhǎng)的思路.

例12 （湖南·長(zhǎng)沙卷）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于[y]軸對(duì)稱，則把該函數(shù)稱為“T函數(shù)”，其圖象上關(guān)于[y]軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)叫做一對(duì)“T點(diǎn)”. 根據(jù)該約定，完成下列各題.

（1）若點(diǎn)[A1，r]與點(diǎn)[Bs，4]是關(guān)于[x]的“T函數(shù)”[y=-4xx<0，tx2x≥0，t≠0，t是常數(shù)]的圖象上的一對(duì)“T點(diǎn)”，則[r=_____，s=_____，t=_____]（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）.

（2）關(guān)于[x]的函數(shù)[y=kx+pk，p是常數(shù)]是“T函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對(duì)“T點(diǎn)”;如果不是，說(shuō)明理由.

（3）若關(guān)于[x]的“T函數(shù)”[y=ax2+bx+c][a>0，且][a，b，c是常數(shù)]經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)[O]，且與直線[l：y=mx+n][m≠0，n>0，且m，n是常數(shù)]交于[Mx1，y1，Nx2，y2]兩點(diǎn)，當(dāng)[x1，x2]滿足[1-x1-1+x2=1]時(shí)，直線[l]是否總經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);否則，說(shuō)明理由.

【評(píng)析】例11以曲面上的最短路徑問(wèn)題為背景，運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”及勾股定理等知識(shí)，結(jié)論開(kāi)放，要求說(shuō)明思路，考查學(xué)生理性思維、空間想象能力及圖形的感知力，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合等思想方法;例12以新定義為背景，借助對(duì)新定義的理解考查學(xué)生獲取信息的能力，進(jìn)而解決新問(wèn)題. 類似地，上海卷第18題也是通過(guò)新定義考查數(shù)學(xué)對(duì)象在圖形運(yùn)動(dòng)變換中的性質(zhì)，這一題正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵，進(jìn)一步凸顯學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

（3）融入文化，落實(shí)立德樹(shù)人.

數(shù)學(xué)文化是國(guó)家文化素質(zhì)教育的重要組成部分，其內(nèi)涵是在實(shí)踐過(guò)程中不斷探索形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用. 對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查主要體現(xiàn)在：通過(guò)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著滲透數(shù)學(xué)文化;通過(guò)數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)故事滲透數(shù)學(xué)文化;通過(guò)數(shù)學(xué)名題滲透數(shù)學(xué)文化. 通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)文化的滲透，有效增強(qiáng)了學(xué)生的理性思維與應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)了愛(ài)國(guó)主義情懷. 2021年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷在試題的背景上體現(xiàn)數(shù)學(xué)厚重的文化氣息，落實(shí)立德樹(shù)人.

例13 （北京卷）《淮南子·天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上的點(diǎn)A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)B，使B，A兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長(zhǎng)度單位），在點(diǎn)B處立一根桿;日落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)B處的桿的影子的方向取一點(diǎn)C，使C，B兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)C處立一根桿. 取CA的中點(diǎn)D，那么直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向.

（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)A，B，C的位置如圖12所示. 使用直尺和圓規(guī)，在圖中作CA的中點(diǎn)D（保留作圖痕跡）;

（2）在圖12中，確定了直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向. 根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较?，完成如下證明.

證明：在△ABC中，BA =? ，D是CA的中點(diǎn)，

所以CA⊥DB（）（填推理的依據(jù)）.

因?yàn)橹本€DB表示的方向?yàn)闁|西方向，

所以直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较?

例14 （福建卷）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國(guó)古代先賢的智慧光芒. 該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：A1 > A2 > B1 > B2 > C1 > C2（注：A > B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）. 一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利. 面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對(duì)陣（C2A1，A2B1，B2C1）獲得了整場(chǎng)比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝?gòu)?qiáng)的經(jīng)典案例.

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問(wèn)題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)比賽的勝利？并求其獲勝的概率;

（2）如果田忌事先無(wú)法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o(wú)疑？若是，說(shuō)明理由;若不是，列出田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率.

【評(píng)析】例13融合了數(shù)學(xué)知識(shí)、地理知識(shí)和物理知識(shí)，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性特征，又展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性價(jià)值;例14通過(guò)古代數(shù)學(xué)故事滲透數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)理性思維和應(yīng)用意識(shí). 類似地，上海卷第12題對(duì)概率的考查，以斐波那契數(shù)列為素材，滲透數(shù)學(xué)的文化價(jià)值;第17題借鑒我國(guó)古代趙爽弦圖的構(gòu)圖方式，利用三角尺拼成一個(gè)對(duì)稱圖形，并根據(jù)對(duì)稱圖形的基本性質(zhì)解決問(wèn)題，展現(xiàn)對(duì)稱的直觀美與內(nèi)在美，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的審美價(jià)值;第22題是以我國(guó)5G產(chǎn)業(yè)發(fā)展為背景的應(yīng)用性問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)我國(guó)科技、制造業(yè)的高速發(fā)展. 這些試題呈現(xiàn)方式多樣，關(guān)注社會(huì)的發(fā)展，體現(xiàn)時(shí)代的特征，反映了生活方式的改變，多角度體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

（4）滲透模型，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，也必將應(yīng)用于生活，學(xué)數(shù)學(xué)可以解決生活中遇到的實(shí)際問(wèn)題. 2021年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷注重運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的考查，考查層次非常豐富，以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法去探索規(guī)律、獲取新知的能力.

例15 （江蘇·南京卷）某市在實(shí)施居民用水定額管理前，對(duì)居民生活用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了100個(gè)家庭去年的月均用水量數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如表4所示.

（1）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2 t，你對(duì)它與中位數(shù)的差異有什么看法？

（2）為了鼓勵(lì)節(jié)約用水，要確定一個(gè)用水量的標(biāo)準(zhǔn)，超出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的部分按1.5倍價(jià)格收費(fèi). 若要使75%的家庭水費(fèi)支出不受影響，你覺(jué)得這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該定為多少？

例16 （浙江·寧波卷）我國(guó)紙傘（如圖13）的制作工藝十分巧妙. 如圖14，傘不管是張開(kāi)還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC，且AB = AC，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng).圖15是傘完全收攏時(shí)傘骨的示意圖，此時(shí)傘圈D已滑動(dòng)到點(diǎn)D′的位置，且A，B，D′三點(diǎn)共線，AD′ = 40 cm，B為AD′的中點(diǎn). 當(dāng)∠BAC = 140°時(shí)，傘完全張開(kāi).

（1）求AB的長(zhǎng).

（2）當(dāng)傘從完全張開(kāi)到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin 70° ≈ 0.94，cos 70° ≈ 0.34，tan 70° ≈ 2.75.）

【評(píng)析】例15、例16分別以節(jié)約水資源和制傘工藝為背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，考查概率統(tǒng)計(jì)、解直角三角形在生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān).各地區(qū)試卷注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，通過(guò)巧妙的情境設(shè)置，考查學(xué)生在實(shí)際生活情境中分析、求解問(wèn)題的能力，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.

（5）關(guān)注能力，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力，它包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面. 立足數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既反映課程目標(biāo)的要求，也是課程內(nèi)容的重要方面，還是數(shù)學(xué)教育價(jià)值的體現(xiàn)，是獲得良好的數(shù)學(xué)教育的具體標(biāo)志. 2021年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行了充分的考查，對(duì)今后的數(shù)學(xué)教學(xué)起到了積極的導(dǎo)向作用.

例17 （河北卷）某博物館展廳的俯視示意圖如圖16所示. 嘉淇進(jìn)入展廳后開(kāi)始自由參觀，每走到一個(gè)十字道口，她自己可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，且這三種可能性均相同.

（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率;

（2）補(bǔ)全圖17的樹(shù)狀圖，并分析嘉淇經(jīng)過(guò)兩個(gè)十字道口后向哪個(gè)方向參觀的概率較大.

【評(píng)析】對(duì)于統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的考查不僅考查統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，更注重?cái)?shù)據(jù)分析素養(yǎng)和學(xué)科觀念的考查. 不僅以考查數(shù)據(jù)計(jì)算、補(bǔ)全樹(shù)狀圖、用樣本估計(jì)總體等呈現(xiàn)試題，更關(guān)注了考查學(xué)生的讀圖能力，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取有效信息的能力，分析數(shù)據(jù)特征，做出科學(xué)決策，用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力，以“判斷”與“評(píng)價(jià)”為主，突出對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)分析學(xué)科素養(yǎng)的考查.

三、命題趨勢(shì)分析

由近幾年的命題特點(diǎn)來(lái)看，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、實(shí)踐性、開(kāi)放性、探究性、創(chuàng)新性是全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題的重要特征，也將是今后幾年全國(guó)中考數(shù)學(xué)命題的趨勢(shì).

1. 將進(jìn)一步體現(xiàn)五育融合的命題思路，凸顯數(shù)學(xué)的育人價(jià)值

習(xí)近平總書(shū)記在2018年9月的全國(guó)教育大會(huì)上旗幟鮮明地指出，要“努力構(gòu)建德智體美勞全面發(fā)展的教育體系”. 至此，立德樹(shù)人、“五育”并舉成為全體教育人的共同目標(biāo). 2019年發(fā)布的《中國(guó)教育現(xiàn)代化 2035》進(jìn)一步提出：更加注重學(xué)生全面發(fā)展，大力發(fā)展素質(zhì)教育，促進(jìn)德育、智育、體育、美育和勞動(dòng)教育的有機(jī)融合. 2019年10月，華東師范大學(xué)基礎(chǔ)教育發(fā)展與改革研究所在國(guó)內(nèi)率先成立了五育融合研究中心，并于12月28日召開(kāi)全國(guó)首屆五育融合研究論壇，會(huì)上還成立了全國(guó)五育融合實(shí)踐校（區(qū)）聯(lián)盟，這是對(duì)“五育”融合研究與實(shí)踐的一次重要推動(dòng). 因此，中考數(shù)學(xué)命題必將進(jìn)一步凸顯立德樹(shù)人的育人導(dǎo)向，將五育融入試題，體現(xiàn)考試對(duì)德智體美勞全面發(fā)展的引導(dǎo)作用.

2. 將進(jìn)一步體現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的考查，注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性

2020年10月，中共中央國(guó)務(wù)院《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》（以下簡(jiǎn)稱《總體方案》）提出：穩(wěn)步推進(jìn)中考改革，構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開(kāi)放性，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象. 數(shù)學(xué)中考命題必將積極貫徹《總體方案》的要求，不斷加大開(kāi)放題的創(chuàng)新力度，以信息識(shí)別與檢索、邏輯推理與論證、開(kāi)放探究與實(shí)踐、創(chuàng)新思維與建模、閱讀素養(yǎng)與文化等為考查突破口，對(duì)學(xué)科素養(yǎng)與關(guān)鍵能力進(jìn)行考查，注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性，未來(lái)中考命題會(huì)更多地體現(xiàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，突出“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，也應(yīng)用于生活”這一理念.

四、教學(xué)啟示

1. 準(zhǔn)確把握課程內(nèi)容要求，全面落實(shí)初中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)

國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫(xiě)、教學(xué)、評(píng)估和考試命題的依據(jù)，是國(guó)家管理和評(píng)價(jià)課程的基礎(chǔ).《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定了數(shù)學(xué)學(xué)科的課程性質(zhì)、課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、實(shí)施建議等. 2014年教育部頒布了《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》，文件指出：全面發(fā)揮課程標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)領(lǐng)作用，協(xié)同推進(jìn)教材編寫(xiě)、教學(xué)實(shí)施、評(píng)價(jià)方式、考試命題等各環(huán)節(jié)的改革，使其有效配合，相互促進(jìn). 特別強(qiáng)調(diào)了《標(biāo)準(zhǔn)》在整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中的“統(tǒng)領(lǐng)作用”. 在教學(xué)中，應(yīng)努力做到依次遞進(jìn)，有序銜接，避免“超前”“脫節(jié)”等現(xiàn)象的發(fā)生.

2. 立足學(xué)科素養(yǎng)，培養(yǎng)終身受用的核心能力與品質(zhì)

發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、增強(qiáng)綜合實(shí)踐能力是課程目標(biāo)的重要要求. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，在本質(zhì)上，不是靠教師“教”出來(lái)的，而是靠學(xué)生“悟”出來(lái)的. 在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)更多地關(guān)心學(xué)生的思維過(guò)程，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考或與他人進(jìn)行有價(jià)值的討論，讓學(xué)生在掌握知識(shí)、技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 這是基于“四基”的數(shù)學(xué)教學(xué)，也是基于“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”的數(shù)學(xué)教學(xué).

3. 大力開(kāi)展探究式教學(xué)，推進(jìn)教學(xué)方式的變革

學(xué)校教給學(xué)生什么樣的知識(shí)最有價(jià)值？那就是學(xué)生離開(kāi)學(xué)校許多年之后，還留在學(xué)生大腦中的那一部分東西. 而學(xué)生探究能力的形成不會(huì)隨著時(shí)間的流逝而消失，可謂終身受用.“開(kāi)放與探究”是形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)、落實(shí)課程目標(biāo)的重要途徑，是評(píng)價(jià)學(xué)生課程目標(biāo)達(dá)成的重要手段，也是引導(dǎo)師生改進(jìn)教學(xué)方式的有力保障. 大力開(kāi)展探究式教學(xué)，關(guān)注學(xué)生的探究過(guò)程和方法，激發(fā)和愛(ài)護(hù)學(xué)生的探究熱情，給予學(xué)生足夠的探究時(shí)空，不斷推進(jìn)教學(xué)方式的變革.

4. 聚焦閱讀能力，推動(dòng)數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂

近年來(lái)，中考試題滲透數(shù)學(xué)文化屢見(jiàn)不鮮，未來(lái)的考查目標(biāo)會(huì)進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)理解，而不是記憶. 了解數(shù)學(xué)文化，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，數(shù)學(xué)閱讀能幫助學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)方式，體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象性，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力. 中考數(shù)學(xué)試題將數(shù)學(xué)文化作為閱讀素材，突出了對(duì)學(xué)生閱讀能力的考查，根據(jù)具體事實(shí)，進(jìn)行歸納、概括、分析等，提升學(xué)生獲取信息、分析信息、評(píng)價(jià)信息、表達(dá)信息，以及獨(dú)立思考和解決問(wèn)題的能力. 教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷有故事的數(shù)學(xué)，品味有思維的文化，借助常態(tài)化的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

5. 滲透創(chuàng)新思維，體悟當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)代之“眼”

教學(xué)的本質(zhì)，就是理解后的再創(chuàng)造. 教師每天的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)努力尋求創(chuàng)新突破，滲透創(chuàng)新思維，融入生活情境，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，定義解決方案. 當(dāng)下，面對(duì)國(guó)家“雙減”政策，如何幫助師生真正減負(fù)，課堂教學(xué)首先應(yīng)從“刷題”時(shí)代進(jìn)入“思維”時(shí)空，這是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)代之“眼”，也是每一位數(shù)學(xué)人的使命.

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