“整體性教學”與“結(jié)構(gòu)化教學”

鄭毓信

摘 ?要：數(shù)學教學必須超越“碎片化教學”，幫助學生建構(gòu)起整體性的認識，包括很好地掌握知識的整體性結(jié)構(gòu)，并能逐步學會從層次的角度進行分析和思考.“分清主次，突出重點，以主帶次”和“分清層次，居高臨下，走向深刻”可以被看成這方面工作的關(guān)鍵;我們還應(yīng)特別重視“總結(jié)、反思與再認識”的工作.

關(guān)鍵詞：整體性教學;“辨”與“帶”;“統(tǒng)整”與“提升”;結(jié)構(gòu)化教學

強調(diào)“整體性教學”與“結(jié)構(gòu)化教學”，主要是因為我們的教學是一節(jié)課一節(jié)課地進行的，但數(shù)學學習顯然不應(yīng)被等同于各個具體數(shù)學知識和基本技能的簡單積累（這是“碎片化教學”的主要特征和最大弊端），而應(yīng)超越細節(jié)建構(gòu)起整體性的認識，包括很好地掌握知識的整體性結(jié)構(gòu)，并能逐步學會從層次的角度進行分析和思考.

依據(jù)數(shù)學與數(shù)學學習的特點我們可以更好地認識“整體性教學”與“結(jié)構(gòu)化教學”的重要性.

具體地說，“由少到多，由簡單到復(fù)雜”，可以被看成數(shù)學發(fā)展（包括數(shù)學學習）十分明顯的一個特點;但這又應(yīng)看成認識發(fā)展的關(guān)鍵所在，即我們?nèi)绾文軌蚝芎玫貙崿F(xiàn)“化多為少，化復(fù)雜為簡單”. 再者，這顯然也就直接關(guān)系到了數(shù)學抽象的基本性質(zhì)：不同于一般所謂的“經(jīng)驗抽象”，數(shù)學抽象主要應(yīng)被看成是一種“自反抽象”，也即如何能以已建立的概念或命題為對象實現(xiàn)更高層次的抽象，從而達到更大的認識深度. 顯然，后者也可被看成為前面所提到的思維的“層次性”或“結(jié)構(gòu)性”提供了具體說明.

進而，又如華羅庚先生的以下論述所表明的，所說的認識活動具有超出數(shù)學學習的普遍意義，盡管他使用的詞語并不完全相同：由薄到厚是學習、接受的過程，由厚到薄是消化、提煉的過程;經(jīng)過“由薄到厚”和“由厚到薄”的過程，對所學的東西做到懂，徹底懂，經(jīng)過消化的懂，我們的基礎(chǔ)就算是真正打好了.

還應(yīng)強調(diào)的是，所說的工作具有重要的現(xiàn)實意義，特別是我們?nèi)绾文軌蛘嬲龊谩皽p負增效”，而不是單純地強調(diào)“減少課程深度，拓寬課程廣度”，或是僅僅從“應(yīng)試”的角度對此做出不恰當?shù)慕庾x.

以下則是這一方面的教學工作所應(yīng)特別重視的一些問題.

一、“辨”與“帶”

所謂“辨”，就是指我們應(yīng)當跳出細節(jié)（也即各個具體的學習內(nèi)容與每一節(jié)課），從更大的范圍進行分析、思考，從而很好地弄清什么是重要的和不那么重要的，并在教學中真正做好“分清主次，突出重點”.

這就是我們應(yīng)當特別重視“研讀教材”的主要原因：教學要有“長遠的眼光”，應(yīng)該把教學過程的每個環(huán)節(jié)看作是這節(jié)課的一個局部，把每節(jié)課看作是整個單元或者教學階段的一個局部，把每個教學單元或者教學階段看作是整個小學階段的一個局部. 我們給教師發(fā)整套教材，讓每位教師先把整套教材的邏輯編排體系和編者的意圖弄清楚，然后以章節(jié)為單位進行備課，逐步樹立教師的整體觀念，最后具體到每一節(jié)的備課.

與單純地強調(diào)“減”不同，我們又應(yīng)十分重視“帶”這樣一個關(guān)鍵字，即應(yīng)當用“重點內(nèi)容”帶動“非重點內(nèi)容”的教學，而不是簡單地“一放了之”.

應(yīng)當指出，小學教師在這一方面也已積累起了很多很好的經(jīng)驗. 例如，由于小學數(shù)學有很多內(nèi)容十分相似或密切相關(guān). 因此，我們就應(yīng)很好地確定何者可以被看成這一方面的“種子課”，并應(yīng)通過“種子課”的教學帶動其他內(nèi)容的教學，而不應(yīng)將它們看成互不相干的，乃至一再地重復(fù)相應(yīng)的過程. 進一步說，我們還應(yīng)努力做到“以發(fā)展代替重復(fù)，以深刻促成簡約”（俞正強語）. 后者也正是我們要強調(diào)的第二組關(guān)鍵詞.

二、“統(tǒng)整”與“提升”

“統(tǒng)整”與“提升”的主要含義是：我們應(yīng)當幫助學生超出各個具體內(nèi)容建立起整體性、結(jié)構(gòu)性的認識，從而不僅能夠真正做到“化多為少，化復(fù)雜為簡單”，而且能超越具體知識的學習，在思想方法與情感、態(tài)度和價值觀的提升上都能有較大的收獲. 顯然，這意味著我們已經(jīng)超出單純的“減負”，走向了更高層次的“增效”.

由于學生在這一方面顯然具有很大的局限性（這可被看成諸多“以學為主”的教學模式的主要局限性），因此，這也就是教師發(fā)揮引領(lǐng)作用十分重要的一個方面. 就中學數(shù)學教學而言，筆者以為，我們應(yīng)特別重視幫助學生建立結(jié)構(gòu)性的認識.

但應(yīng)強調(diào)的是，對于所說的“結(jié)構(gòu)性認識”我們不應(yīng)從純數(shù)學的角度去理解. 特別地，即是認為我們應(yīng)當完全切斷相關(guān)內(nèi)容與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系，并從純形式的角度進行分析，乃至從更高層面揭示各種數(shù)學理論的整體性結(jié)構(gòu)，因為這顯然已經(jīng)超出了中小學學生的認知水平. 總之，所謂的“教結(jié)構(gòu)，用結(jié)構(gòu)”應(yīng)當被看成一個過高的要求;與此相對照，我們應(yīng)當更加重視“結(jié)構(gòu)性觀念”的指導(dǎo)與滲透，也即應(yīng)當切實做好這樣一個工作：分清層次，居高臨下，走向深刻.

例如，從實踐的角度來看，這是特別重要的一項工作，即“特殊化方法”與“一般化方法”的學習和應(yīng)用. 特別地，我們應(yīng)從這一角度幫助學生很好地認識不同對象（包括結(jié)論和理論等）之間的聯(lián)系，特別是如何對此做出必要的層次區(qū)分.

由以下分析，讀者即可更好地認識切實做好上述工作的重要性：由于現(xiàn)行的數(shù)學教材采取了“混編”的方法，因此，有不少內(nèi)容之間的聯(lián)系被完全切斷了，如各種方程（組）之間、方程與不等式之間的層次關(guān)系，以及各種三角形之間、三角形與四邊形之間的重要聯(lián)系，等等.

進而，從同一角度相信讀者也可以很好地理解以下建議的重要性：我們不僅應(yīng)當在教學中很好地使用“畫圖”這樣一個方法，也應(yīng)要求學生在學習數(shù)學的過程中積極地畫圖——畫出自己的想法，畫出自己的理解……（劉善娜語）. 當然，相對于一般所謂的“直觀圖形”而言，我們又應(yīng)更加重視“流程圖”與“概念圖”的學習和應(yīng)用，因為，借助于后者我們可清楚地認識不同對象之間的聯(lián)系，包括如何對此做出一定的層次區(qū)分.

三、對于“總結(jié)、反思與再認識”的高度重視

無論先前所談及的“自反抽象”，或是由“局部性認識”向“整體性認識、結(jié)構(gòu)化認識”的過渡，都不可能單純依靠知識或經(jīng)驗的簡單積累就能實現(xiàn)，而是主要依賴“總結(jié)、反思與再認識”的工作. 對此，我們在教學中也應(yīng)當予以特別重視.

當然，從教學實踐的角度來看，相關(guān)工作又可說涉及更多的方面. 以下就是相關(guān)的兩項研究.

案例1：“統(tǒng)整式單元教學”之簡析.

所說的“統(tǒng)整式單元教學”，共包括這樣六個相繼的步驟或環(huán)節(jié).

（1）單元開啟課：以“陌生的情境任務(wù)”開啟新單元的學習，讓學生從內(nèi)容、學法上“鳥瞰”整個單元，激發(fā)單元學習興趣，進行整體架構(gòu)，形成基本學法.

（2）主題活動課：將學習內(nèi)容精心設(shè)計為活動主題，學生以小組形式學習，各自擔當一定的角色，共同完成某一任務(wù)或解決某一問題.

（3）史料交流課：利用課前收集到的數(shù)學史料，在課堂上共享學習資料，重新進行意義建構(gòu)，獲得對數(shù)學史料的重新認知和對新問題的思考.

（4）專題練習課：設(shè)計新穎、有趣、富有挑戰(zhàn)性的專題性練習任務(wù)，啟發(fā)學生反思的練習過程和方法，變換問題角度與方式，將結(jié)論遷移運用于不同的場合，以達到更完整的認知結(jié)構(gòu).

（5）自主整理課：指導(dǎo)學生有序地整理學習任務(wù)，自主地預(yù)習、復(fù)習、鞏固，建立符合數(shù)學學科特點的學習習慣與整理方法.

（6）長作業(yè)：建立在大跨度時間基礎(chǔ)上的，能夠體現(xiàn)知識與技能、思想與方法的綜合的“長周期作業(yè)”，學生需要經(jīng)歷一段時間去完成.

筆者的看法是：如果集中于“整體性教學”和“結(jié)構(gòu)化教學”，那么，在上述六個環(huán)節(jié)中，我們就應(yīng)特別重視“自主整理”這個環(huán)節(jié). 當然，相對于由學生自己進行整理和總結(jié)而言，我們又應(yīng)更加重視教師在這方面的引領(lǐng)作用，這就對教師的專業(yè)水平提出了更高的要求. 其次，盡管“單元開啟課”也很重要，但要真正實現(xiàn)“讓學生從內(nèi)容、學法上‘鳥瞰整個單元……進行整體架構(gòu)，形成基本學法”恐怕并不容易. 毋寧說，在“單元教學”的開始階段我們應(yīng)當更加重視通過“核心問題的提煉與加工”很好地激發(fā)學生的“單元學習興趣”，包括通過“種子課”的適當選擇與教學為后續(xù)教學做好必要的準備. 最后，這是“單元教學”在中間階段應(yīng)當特別重視的一個問題，即我們應(yīng)當如何做好“以發(fā)展代替重復(fù)”，也即應(yīng)當集中通過新的學習促進學生認識的發(fā)展和深化.

案例2：聚焦“學習路徑研究”.

“學習路徑研究”是近年來在數(shù)學教育乃至整個教育領(lǐng)域中出現(xiàn)的一個新的研究方向. 例如，由全美數(shù)學教師理事會（NCTM）組織出版的《數(shù)學教育研究手冊》（人民教育出版社，2021）就曾用了整整一章對此進行分析介紹，國內(nèi)也有學者以此為指導(dǎo)開展了相應(yīng)的教學實踐：基于學習路徑分析的數(shù)學教學.

我們應(yīng)當如何看待上述工作？筆者的看法：相關(guān)研究有一定的合理性，特別是，從總體上說，這可被看成對于先前的一些片面性認識的必要糾正. 這也就是指，我們不僅應(yīng)由單純強調(diào)“過程”轉(zhuǎn)向“目標為本”，也應(yīng)清楚地認識到這樣一點：除去對教學目標的清楚界定以外，我們也應(yīng)注意研究在學習過程中什么是學生為了達到相應(yīng)目標必須經(jīng)歷的實際“路徑”.

進而，這里所說的“整體性認識”與“結(jié)構(gòu)化認識”又可被看成為我們很好地把握“學習路徑”提供了必要的理論工具. 相對于一般所謂的“學習路徑”，特別是這一方面的細化分析而言，我們應(yīng)當更加強調(diào)這樣一點：學生的數(shù)學學習必定有一個逐步發(fā)展、不斷深化的過程，對此往往還可區(qū)分出一定的“層次”或“階段”，后者可被看成強調(diào)“學習路徑研究”的主要意義所在，也即“對學生在學習或探索一個長時間跨度的主題過程中逐漸形成復(fù)雜思維方式的描述”（NRC）.

最后，相對于單純強調(diào)理論學習和應(yīng)用而言，我們又應(yīng)清楚地認識到相關(guān)理論的假設(shè)性質(zhì)，從而事實上也可被看成從又一角度更清楚地表明了加強“總結(jié)、反思與再認識”的重要性. 盡管在此所涉及的主要是教師和相關(guān)的研究者：先驗學習軌跡總是假設(shè)性的……在兒童參與數(shù)學活動時，教師必須根據(jù)他們的互動創(chuàng)建兒童數(shù)學的新模型. 這也就是指，在教學和分析之前，教師或者研究者已經(jīng)計劃了一個假定的學習軌跡. 然而，實際學習軌跡就是在教學中共同產(chǎn)生的數(shù)學知識或者是研究人員回顧性分析的結(jié)果.

綜上可見，“整體性教學”與“結(jié)構(gòu)化教學”可被看成對數(shù)學教學提出了更高的要求，特別是，我們應(yīng)努力做好這樣幾個工作.

第一，理清發(fā)展線索，突出“核心問題”. 應(yīng)當強調(diào)的是，我們既不應(yīng)將數(shù)學的歷史發(fā)展等同于學生的認知發(fā)展，也不應(yīng)將“日常認知”混同于邏輯分析，而應(yīng)更加重視“數(shù)學史的理性重建”，以及由“日常認知”向邏輯分析的過渡.

第二，概念的梳理與“核心概念”的提煉. 例如，小學數(shù)學就應(yīng)很好地突出“比較”和“度量”這樣兩個核心概念. 當然，正如前面所提及的，概念的梳理事實上也可被看成我們幫助學生建立“結(jié)構(gòu)化認識”的關(guān)鍵.

第三，重要數(shù)學思想的梳理，即與學習內(nèi)容密切相關(guān)的“概念上很強大的思想”與普遍性的數(shù)學思想方法. 正如中國旅美學者馬立平博士所指出的，這意味著達到了更大的認識深度.

第四，突出“大道理”，真正做好“以大馭小”. 相對于前面所提到的核心問題、核心概念與重要數(shù)學思想，這里所說的“大道理”應(yīng)當更加突出“大”這樣一個關(guān)鍵字，也即應(yīng)從更廣泛的視角、更高的層面進行分析思考.

以下就是小學數(shù)學教學最基本的兩個“大道理”.

小學關(guān)于“數(shù)的認識與運算”的教學不僅應(yīng)當突出“比較”這樣一個核心概念，從而幫助學生很好地掌握大小、倍數(shù)、分數(shù)、比等概念，也應(yīng)幫助學生初步建立關(guān)于“數(shù)學結(jié)構(gòu)”的整體性認識，特別是清楚地認識它的豐富性與層次性、開放性與統(tǒng)一性，并能真正做好“化多為少、化復(fù)雜為簡單”，包括很好地認識數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的關(guān)系.

小學幾何的教學不僅應(yīng)當突出“度量”這一核心概念，很好地發(fā)揮直觀認知的作用，也應(yīng)努力實現(xiàn)對于“度量幾何”與“直觀幾何”的必要超越，即應(yīng)當對圖形的特征、性質(zhì)及其相互關(guān)系的邏輯分析予以足夠重視.

顯然，我們也應(yīng)對中學數(shù)學的學習內(nèi)容做出相應(yīng)的分析.

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