高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的多級加速理論及應(yīng)用

郝 琛，朱雁凌，康 樂，李佩軍，周曉宇

(哈爾濱工程大學(xué) 核安全與仿真技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001)

數(shù)字化反應(yīng)堆是反應(yīng)堆設(shè)計(jì)、安全運(yùn)行、退役等過程的研究平臺(tái)，已成為當(dāng)前核工業(yè)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。高保真中子輸運(yùn)計(jì)算提供精細(xì)的時(shí)空中子分布，是數(shù)字化反應(yīng)堆核心功能之一。然而，計(jì)算時(shí)間過長已成為制約反應(yīng)堆高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的瓶頸。研究適用于數(shù)字化反應(yīng)堆高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的加速方法，并在高性能計(jì)算平臺(tái)成功實(shí)施，是破解該難題的關(guān)鍵。

目前，精細(xì)化中子輸運(yùn)計(jì)算的加速方法日益成熟，主要可將其分為兩類：針對中子輸運(yùn)源迭代過程的迭代加速方法和針對瞬態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算的時(shí)間步加速方法。迭代加速法主要包括粗網(wǎng)再平衡方法、粗網(wǎng)有限差分方法(CMFD)等，其中CMFD具有加速效果好、易于實(shí)施、適用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，在高保真中子輸運(yùn)計(jì)算程序中被廣泛使用，如DeCART[1]、MPACT[2]、NECP-X[3]、HNET[4]等。傳統(tǒng)的CMFD一般只在空間上實(shí)施一級加速，近年來為降低CMFD引入的計(jì)算負(fù)擔(dān)，逐漸發(fā)展形成了兩級加速及三級加速理論，如Joo和Yee等[5-6]在空間和能量上開展兩級CMFD加速；Seungsu等[7]采用兩級pCMFD加速輸運(yùn)計(jì)算；Liu等[8]將三級CMFD應(yīng)用在NECP-X上，實(shí)現(xiàn)了輸運(yùn)計(jì)算的加速。近年來，隨著高性能計(jì)算集群的快速發(fā)展以及計(jì)算精度標(biāo)準(zhǔn)的提高，瞬態(tài)中子輸運(yùn)方程的求解方法已成為一個(gè)研究熱點(diǎn)，相應(yīng)的也出現(xiàn)了多種時(shí)間步加速方法，其中較為典型的是預(yù)估校正準(zhǔn)靜態(tài)方法(PCQM)[9]。PCQM具有極大節(jié)省時(shí)間的優(yōu)勢，但它在處理中子通量密度變化較為迅速的復(fù)雜問題時(shí)存在較大誤差。NECP-X通過改進(jìn)傳統(tǒng)PCQM克服了這個(gè)缺陷[10]，但并沒有在計(jì)算效率方面改善。為充分利用預(yù)估校正準(zhǔn)靜態(tài)的優(yōu)勢，MPACT采用瞬態(tài)多級方法(TML)[11]，通過兩次運(yùn)用預(yù)估校正準(zhǔn)靜態(tài)方法，在保證計(jì)算精度的同時(shí)，提升整體計(jì)算效率。雖然TML的效果十分突出，但這樣的加速并不充分，同時(shí)還面臨著多群CMFD計(jì)算時(shí)間占比過大的問題。

綜上所述，單獨(dú)時(shí)間步上的加速，以預(yù)估校正準(zhǔn)靜態(tài)方法等為代表的方法，提供了很好的思路；而在空間、能群等尺度上的加速，粗網(wǎng)有限差分方法提供了很好的思路。但在前期的研究中，這兩種加速思路及方法是相對獨(dú)立應(yīng)用的。本文將時(shí)間、空間、能量、角度方面的加速方法整合在統(tǒng)一的方法框架下，形成一套完整的多級加速理論，并將這套理論應(yīng)用到HNET中，旨為實(shí)現(xiàn)更高效、準(zhǔn)確的高保真中子輸運(yùn)計(jì)算。

1 多級加速理論

1.1 時(shí)間步加速思路

瞬態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算中，通常將最耗時(shí)的高保真中子輸運(yùn)計(jì)算放在盡可能大的時(shí)間步上，從而減少中子輸運(yùn)計(jì)算的計(jì)算量，實(shí)現(xiàn)時(shí)間步加速。然而，針對時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，以差分代替微分時(shí)，時(shí)間步長增大時(shí)差分誤差也會(huì)增大，進(jìn)而嚴(yán)重影響瞬態(tài)輸運(yùn)計(jì)算的精度。預(yù)估校正準(zhǔn)靜態(tài)方法的出現(xiàn)為解決該問題提供了很好的思路。如式(1)所示，預(yù)估校正準(zhǔn)靜態(tài)方法將中子通量密度因式分解為僅與時(shí)間相關(guān)的幅函數(shù)Φ(t)和同時(shí)與時(shí)間、空間、能量、角度相關(guān)的形狀函數(shù)Ψ(r,E,Ω,t)的乘積，進(jìn)而分別求解幅函數(shù)和形狀函數(shù)。

φ(r,E,Ω,t)=Φ(t)Ψ(r,E,Ω,t)

(1)

于是，形狀函數(shù)可由式(2)求得：

Ψ(r,E,Ω,t)=φ(r,E,Ω,t)/Φ(t)

(2)

分析式(2)可知，形狀函數(shù)雖然還與時(shí)間t相關(guān)，但已經(jīng)去除了與時(shí)間變化較快的幅值項(xiàng)。因此，形狀函數(shù)隨時(shí)間的變化緩慢，遠(yuǎn)慢于幅函數(shù)，而實(shí)際堆芯中正是如此。因式分解的本質(zhì)就是希望去除與時(shí)間變化較快的項(xiàng)，使得差分代替微分的誤差盡量小，這樣才可以保證在大時(shí)間步上，時(shí)間微分項(xiàng)用差分代替后的精度足夠高。

式(2)計(jì)算時(shí)假設(shè)幅函數(shù)已知，但實(shí)際求解中是未知的，還需建立等價(jià)的低階系統(tǒng)來求解。幅函數(shù)的求解依賴于形狀函數(shù)，因此需要高階系統(tǒng)為低階系統(tǒng)提供均勻化參數(shù)及預(yù)估的中子通量分布信息，實(shí)現(xiàn)在小時(shí)間步長求解低階、等價(jià)系統(tǒng)，以獲取小時(shí)間步長的幅函數(shù)，進(jìn)而校正大時(shí)間步長的中子通量密度，保證其計(jì)算精度。預(yù)估校正準(zhǔn)靜態(tài)方法將高保真中子輸運(yùn)計(jì)算得到的大時(shí)間步長t的形狀函數(shù)ΨP(r,E,Ω,t)和小時(shí)間步長t′的精確點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)計(jì)算得到的幅函數(shù)pC(t′)代入式(1)，得到校正后小時(shí)間步長t′的中子通量密度為：

φC(r,E,Ω,t′)=pC(t′)ΨP(r,E,Ω,t)

(3)

式中，上標(biāo)C表示校正后的變量，P表示預(yù)估的變量。

在預(yù)估校正準(zhǔn)靜態(tài)方法中，點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)計(jì)算幅函數(shù)后，基于式(2)所得的形狀函數(shù)仍具有全局空間分布的差別，導(dǎo)致在使用差分代替微分時(shí)，時(shí)間步不能太長，否則高保真中子輸運(yùn)計(jì)算精度將無法保證，嚴(yán)重影響加速效果。事實(shí)上，形狀函數(shù)和幅函數(shù)實(shí)際上并不具有天然的唯一性，是可以調(diào)整二者作用范圍的，如式(4)所示：

φH(r,E,Ω,t)=ΦL(R,E′,Ω′,t)ΨH(r,E,Ω,t)

r∈R，E∈E′，Ω∈Ω′

(4)

式中：φH(r,E,Ω,t)為較高分辨率的中子通量密度；ΦL(R,E′,Ω′,t)為較低分辨率的幅函數(shù)；ΨH(r,E,Ω,t)為較高分辨率的形狀函數(shù)。通過調(diào)整因式分解的作用范圍，時(shí)間步的多級加速可以作用于不同的分辨率系統(tǒng)，如空間方面有Sub-pin級別的細(xì)網(wǎng)、Pin級別的粗網(wǎng)、全堆芯級別等。因而為表征中子通量密度分布隨時(shí)間、空間、能量、角度的變化趨勢，可以通過較高分辨率的幅函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，以保證高保真中子輸運(yùn)計(jì)算解與幅函數(shù)的比更接近于1，這樣才能保證在更大的時(shí)間步上，高保真中子輸運(yùn)的時(shí)間微分項(xiàng)用差分代替后精度足夠高，實(shí)現(xiàn)了精度和計(jì)算速度的綜合提高。

因此，針對傳統(tǒng)PCQM的問題，可引入多級加速的思想解決，即在高保真中子輸運(yùn)計(jì)算與點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)計(jì)算之間引入新的CMFD計(jì)算，CMFD全局求解可以獲得不同時(shí)間步長內(nèi)的全局中子通量分布信息，以逐級修正高階中子通量，保證在相同時(shí)間步長下，提高計(jì)算精度；在擴(kuò)大時(shí)間步長時(shí)，保持與小時(shí)間步長計(jì)算一致的精度，真正實(shí)現(xiàn)了高保真中子輸運(yùn)的加速計(jì)算。

1.2 迭代加速思路

在精細(xì)化瞬態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算的迭代過程中，精細(xì)的離散網(wǎng)格導(dǎo)致了較高的計(jì)算代價(jià)，難以快速計(jì)算得到精細(xì)的中子通量密度分布。針對此問題，CMFD提供了很好的迭代加速思路[4]。在迭代求解過程中，中子通量密度的收斂速度取決于其初值與最終收斂值間的殘差，可通過空間、能量、角度方面的低分辨率系統(tǒng)為高分辨率的精細(xì)化中子輸運(yùn)計(jì)算提供良好初值，使其更接近于收斂值，從而減少迭代次數(shù)，實(shí)現(xiàn)迭代加速。但用于加速的低階系統(tǒng)求解會(huì)引入額外的計(jì)算負(fù)擔(dān)，尤其瞬態(tài)模擬，CMFD求解時(shí)間可與MOC中子輸運(yùn)求解時(shí)間相當(dāng)。因此，通過低分辨率系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)高效迭代加速需要兩個(gè)前提：1)低分辨率系統(tǒng)必須與高分辨率的中子輸運(yùn)系統(tǒng)嚴(yán)格等價(jià)，確保加速的可行性；2)低分辨率系統(tǒng)自身的計(jì)算代價(jià)必須足夠低，確保其增加的額外計(jì)算負(fù)擔(dān)不會(huì)過大。

為滿足這兩個(gè)前提，以進(jìn)一步提高計(jì)算速度，可引入多級加速的思想：1)能群多級加速，如建立等價(jià)單群CMFD，以進(jìn)一步加速多群CMFD；2)空間多級加速，如建立1/4柵元CMFD或平源區(qū)CMFD系統(tǒng)，并以等價(jià)空間大網(wǎng)格CMFD加速；3)混合多級加速，如能群及空間的混合多級加速等。而針對CMFD源迭代收斂慢的問題，可采用Wielandt Shift技術(shù)加速。該迭代加速思路可應(yīng)用于多種形式的CMFD，如基于廣義等價(jià)理論的CMFD(gCMFD)[12]、最佳擴(kuò)散CMFD[13]、基于偏流的CMFD[14]、以線性近似解代替均勻解的lpCMFD[15]等。

1.3 多級加速框架的建立

基于時(shí)間步加速思路和迭代加速思路可建立高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的多級加速框架，如圖1所示。

圖1 多級加速框架示意圖

關(guān)于時(shí)間步加速，在時(shí)間變量t的離散過程中，采取逐級劃分時(shí)間步長的策略[16]，即耗時(shí)最長的三維高保真中子輸運(yùn)計(jì)算時(shí)使用最大時(shí)間步長Δt，在Δt內(nèi)再次劃分次級時(shí)間步長Δt1，以用于三維多群CMFD計(jì)算。以此類推，在Δt1時(shí)間步長內(nèi)再次劃分小時(shí)間步長Δt2用于三維單群CMFD計(jì)算，在Δt2內(nèi)劃分最精細(xì)的時(shí)間步長Δt3以用于精確點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)(EPK)計(jì)算。該策略將耗時(shí)最長的高保真中子輸運(yùn)計(jì)算在最大時(shí)間步上開展，以大幅減少高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的計(jì)算量，實(shí)現(xiàn)加速。進(jìn)而，基于預(yù)估校正準(zhǔn)靜態(tài)方法，保證高保真中子輸運(yùn)計(jì)算在大時(shí)間步下具備所要求的計(jì)算精度。在不同時(shí)間步長下，捕捉不同空間、能群分辨率的中子通量密度特征，即通過高保真中子輸運(yùn)計(jì)算，獲得細(xì)網(wǎng)、多群的中子通量密度特征；通過等價(jià)的多群CMFD計(jì)算，獲得粗網(wǎng)、多群的中子通量密度特征；通過等價(jià)的單群CMFD計(jì)算，獲得粗網(wǎng)、單群的中子通量密度特征；通過等價(jià)的精確點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)計(jì)算，獲得全堆芯、全空間的中子通量密度特征。再次基于預(yù)估校正的思想，逐級代回、逐級校正，保證細(xì)網(wǎng)、多群中子通量密度的計(jì)算精度的前提下，充分利用小時(shí)間步等價(jià)系統(tǒng)的快速求解減少了高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的計(jì)算量，采用多級加速實(shí)現(xiàn)了有效的時(shí)間步加速。

而在不同時(shí)間步內(nèi)的中子輸運(yùn)計(jì)算迭代過程中，又引入了迭代加速策略[17]。即針對大時(shí)間步下的高保真中子輸運(yùn)計(jì)算，通過等價(jià)的平源區(qū)多群CMFD或1/4柵元多群CMFD或柵元多群CMFD加速高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的源迭代過程；通過等價(jià)的單群CMFD加速多群CMFD的源迭代過程；通過Wieland Shift技術(shù)加速單群CMFD源迭代過程。最終，實(shí)現(xiàn)不同時(shí)間步下的高保真中子輸運(yùn)迭代求解或多群CMFD迭代求解。在迭代加速過程中，本文采用gCMFD方法保證不同分辨率系統(tǒng)的完全等價(jià)性。gCMFD方法通過引入節(jié)塊不連續(xù)因子和擴(kuò)散系數(shù)修正因子，建立了與高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的嚴(yán)格等價(jià)的線性系統(tǒng)，同時(shí)也保證了線性系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性，實(shí)現(xiàn)了高效加速。關(guān)于gCMFD方法的理論推導(dǎo)可參考文獻(xiàn)[12]。

在該多級加速框架中，針對時(shí)間步的多級加速的核心是多級預(yù)估校正準(zhǔn)靜態(tài)方法，針對迭代加速的核心是多級gCMFD方法。其中包括了時(shí)間步尺度的四級加速、空間尺度的三級加速、能群尺度的兩級加速、空間角度的一級加速。最終，基于多級加速框架，實(shí)現(xiàn)了在不同時(shí)間、空間、能量、角度分辨率下的多級加速，最終實(shí)現(xiàn)對高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的有效加速。

1.4 時(shí)間步加速過程中精度和計(jì)算速度綜合提高的策略

在時(shí)間步加速過程中，需通過在更小時(shí)間步上求解等價(jià)低階系統(tǒng)獲取幅函數(shù)，進(jìn)而校正大時(shí)間步長的中子通量密度，以保證計(jì)算精度。下面以高保真中子輸運(yùn)計(jì)算與多群CMFD計(jì)算的組合為例，來進(jìn)一步闡述精度和計(jì)算速度綜合提高策略的一些細(xì)節(jié)問題。

首先，基于多級加速框架，在大時(shí)間步長Δt上開展高保真中子輸運(yùn)計(jì)算，并預(yù)估中子通量密度φ(r,E,Ω,t)的形狀函數(shù)Ψ(r,E,Ω,t)。針對多群CMFD的粗網(wǎng)i及其內(nèi)部某一細(xì)網(wǎng)位置r，應(yīng)用式(1)可得：

φ(r,E,Ω,t)=Φi(E,t)Ψ(r,E,Ω,t)r∈i

(5)

式中：φ(r,E,Ω,t)為細(xì)網(wǎng)r內(nèi)高保真中子輸運(yùn)的中子通量密度；Ψ(r,E,Ω,t)為細(xì)網(wǎng)r內(nèi)中子通量密度的空間-角度形狀函數(shù)；Φi(E,t)為粗網(wǎng)i內(nèi)多群CMFD計(jì)算得到的幅函數(shù)。

為保證因式分解的唯一性，需對細(xì)網(wǎng)內(nèi)形狀函數(shù)做出限制，強(qiáng)制細(xì)網(wǎng)形狀函數(shù)在每個(gè)粗網(wǎng)內(nèi)的空間-角度積分保持定值，即：

(6)

求解多群CMFD可得到粗網(wǎng)均勻化的中子標(biāo)通量密度。若要通過多群CMFD計(jì)算獲得幅函數(shù)Φi(E,t)，需進(jìn)一步明確粗網(wǎng)均勻化中子標(biāo)通量密度與幅函數(shù)的關(guān)系。于是，在粗網(wǎng)i內(nèi)將式(5)對空間和角度進(jìn)行積分，并用式(6)代入可得：

(7)

(8)

r∈i

(9)

r∈i

(10)

如此，實(shí)現(xiàn)了在更大時(shí)間步上求解高保真中子輸運(yùn)計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)加速。并且通過較小時(shí)間步上的多群CMFD求解獲得幅函數(shù)，以校正高保真中子輸運(yùn)計(jì)算解，保證計(jì)算精度。

2 數(shù)值結(jié)果與分析

2.1 多級加速理論的實(shí)施策略

HNET程序采用堆芯一維軸向先進(jìn)節(jié)塊展開法(NEM)或離散縱標(biāo)法(SN)耦合堆芯二維徑向特征線法的2D/1D方法開展全堆芯三維精細(xì)化中子輸運(yùn)計(jì)算，并應(yīng)用多級加速理論進(jìn)行加速。圖2為基于多級加速理論的瞬態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算流程圖，由4種不同分辨率的求解器和3級耦合算法構(gòu)成，在不同分辨率上捕捉中子通量密度隨時(shí)間、空間、能量和角度的變化。其中，采用兩級gCMFD方法加速預(yù)估瞬態(tài)輸運(yùn)計(jì)算的迭代過程，其流程如圖3所示。

圖2 基于多級加速理論的瞬態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算流程圖

圖3 兩級gCMFD迭代加速的流程

由圖2、3可知，各加速環(huán)節(jié)的收斂準(zhǔn)則會(huì)影響最終的迭代次數(shù)以及計(jì)算耗時(shí)。各求解器收斂準(zhǔn)則列于表1，HNET采用中子通量密度的殘差作為瞬態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算的收斂判據(jù)。瞬態(tài)高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的收斂準(zhǔn)則為MOC細(xì)網(wǎng)裂變源的相對誤差的無窮范數(shù)，小于10-4，而多群和單群gCMFD的收斂準(zhǔn)則是粗網(wǎng)均勻化裂變源的相對誤差的無窮范數(shù)，分別小于10-8和10-10。此外，對不同加速過程的求解器預(yù)先設(shè)置迭代次數(shù)的上限。當(dāng)達(dá)到收斂標(biāo)準(zhǔn)或超過最大迭代次數(shù)時(shí)，結(jié)束對求解器的調(diào)用。

表1 各求解器收斂準(zhǔn)則

HNET程序相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：對于三維非均勻單組件彈棒問題，射線間距選擇0.05 cm，角度選擇每卦限16個(gè)方位角和2個(gè)極角配合Tabuchi-Yamamoto極角求積組[18]；對于三維C5G7-TD基準(zhǔn)題，射線間距選擇0.03 cm，角度選擇每卦限16個(gè)方位角和3個(gè)極角配合Tabuchi-Yamamoto極角求積組。所有算例均采用2.60 GHz Intel Xeon E5-2690 v4 CPU計(jì)算，實(shí)施軸向區(qū)域分解并行方案。

2.2 三維非均勻單組件彈棒問題

為驗(yàn)證多級加速理論的加速效果，采用不同方案計(jì)算三維非均勻單組件彈棒問題。該問題的徑向幾何結(jié)構(gòu)如圖4所示，軸向上共28個(gè)軸向?qū)?，其中活性區(qū)被分為24個(gè)5 cm的軸向?qū)?，頂?shù)追瓷鋵泳粍澐殖?個(gè)10 cm軸向?qū)?，徑向?yàn)榉瓷溥吔?，軸向則是真空邊界。輸運(yùn)計(jì)算采用51群結(jié)構(gòu)的宏觀截面，動(dòng)力學(xué)參數(shù)來自C5G7-TD基準(zhǔn)題[19]。

圖4 單組件徑向幾何布置

該問題為階躍彈棒事件，初始時(shí)刻位于組件正中心的單根控制棒在活性區(qū)中的插入深度為55 cm，而后立刻階躍彈出，引入正反應(yīng)性，整個(gè)瞬態(tài)過程持續(xù)0.12 s。表2列出不同算例的計(jì)算方案，表中MG、1G和EPK分別代表多群gCMFD、單群gCMFD步及精確點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)。

表2 不同算例的計(jì)算方案

算例1只采用多群gCMFD方法且使用了最精細(xì)的輸運(yùn)時(shí)間步長，將其計(jì)算結(jié)果作為基準(zhǔn)解。圖5為三維單組件階躍彈棒問題堆芯相對功率和反應(yīng)性的計(jì)算結(jié)果，圖6為其他算例的堆芯功率與算例1基準(zhǔn)解的相對誤差。由圖5、6可知，對于三維單組件階躍彈棒問題，除算例4外，其他算例的計(jì)算結(jié)果均能與算例1很好地吻合。

圖5 單組件問題數(shù)值結(jié)果

圖6 單組件問題堆芯功率的相對誤差

表3統(tǒng)計(jì)了各算例的求解器耗時(shí)、迭代次數(shù)以及均方根誤差。算例2使用兩級瞬態(tài)gCMFD方法開展迭代加速，在MOC方面的耗時(shí)和迭代次數(shù)與算例1幾乎相同。但與算例1相比，兩級瞬態(tài)gCMFD方法通過單群gCMFD加速可將多群gCMFD的迭代次數(shù)降低約91%，進(jìn)而將求解器總耗時(shí)減少約47%，有效地減輕了多群gCMFD的計(jì)算負(fù)擔(dān)。對比算例1和算例3可知，傳統(tǒng)的PCQM方法在保證計(jì)算精度的前提下能適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大時(shí)間步長，減少輸運(yùn)計(jì)算的次數(shù)，從而降低求解器總耗時(shí)。但由算例4可知，對于階躍彈棒問題，傳統(tǒng)PCQM方法無法準(zhǔn)確地修正大時(shí)間步長下的中子通量密度分布，并且兩級瞬態(tài)CMFD方法的迭代加速無法改善時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的誤差。算例5采用多級PCQM方法，可有效捕捉不同分辨率中子通量密度形狀和幅值隨時(shí)間的變化，能夠在大時(shí)間步長下提供較為準(zhǔn)確的修正因子，從而提高計(jì)算精度。同時(shí)，算例5綜合了時(shí)間步加速和迭代加速的優(yōu)點(diǎn)，不僅能有效地減少瞬態(tài)中子輸運(yùn)的計(jì)算次數(shù)，還降低多群gCMFD的計(jì)算耗時(shí)，將求解器總耗時(shí)降至算例1的3.88%?？梢姡蠒r(shí)間步加速思路和迭代加速思路對實(shí)現(xiàn)更高效、準(zhǔn)確的高保真中子輸運(yùn)計(jì)算是非常有益的。

表3 堆芯功率均方根誤差與求解器耗時(shí)

2.3 三維C5G7-TD基準(zhǔn)題

為考察多級加速理論在堆芯輸運(yùn)計(jì)算方面的適用性，采用C5G7-TD系列基準(zhǔn)題做進(jìn)一步驗(yàn)證。C5G7-TD系列基準(zhǔn)題包括二維問題和三維問題，其中三維問題包含TD4和TD5兩個(gè)系列，具體幾何結(jié)構(gòu)、截面信息、動(dòng)力學(xué)參數(shù)以及瞬態(tài)事件可由文獻(xiàn)[19]獲得。TD4系列包含5個(gè)三維堆芯中不同組件的控制棒線性移動(dòng)事件：在初始時(shí)刻，所有控制棒均處于頂部反射層內(nèi)，隨后在0～8 s過程中，不同組件的控制棒以不同的速度勻速地插入反應(yīng)堆而后提出。TD5系列包含4個(gè)三維堆芯中不同組件的慢化劑密度變化事件：在整個(gè)瞬態(tài)過程中，所有控制棒均完全撤出三維堆芯，在0～4 s過程中，不同組件的慢化劑密度以不同的速度勻速地降低而后上升。TD4問題各組控制棒均在8 s后回到初始時(shí)刻的位置，TD5問題各組件的慢化劑密度在4 s后回到初始值。

TD4和TD5系列問題均選取25 ms和125 ms兩種輸運(yùn)時(shí)間步長開展計(jì)算，從而對比驗(yàn)證HNET的加速效果，其中25 ms輸運(yùn)時(shí)間步長的數(shù)據(jù)結(jié)果來自文獻(xiàn)[20]。圖7展現(xiàn)了不同輸運(yùn)時(shí)間步長下，TD4和TD5系列問題堆芯相對功率的變化。在TD4-1、TD4-2和TD4-3中不同控制棒組的移動(dòng)方向相同，隨著控制棒的勻速插入，在初始時(shí)刻后堆芯相對功率逐漸降低，而后在勻速提棒過程中，堆芯相對功率逐漸回升。在TD4-4和TD4-5中存在兩組控制棒移動(dòng)方向相反的情況，導(dǎo)致這兩個(gè)算例堆芯相對功率的變化更加復(fù)雜。對于TD5系列問題，堆芯相對功率的變化趨勢與慢化劑密度的變化趨勢一致。從圖7可知，TD4和TD5問題的堆芯相對功率分別在8 s和4 s后逐漸趨于穩(wěn)定，但由于緩發(fā)中子先驅(qū)核濃度隨著瞬態(tài)過程的進(jìn)行有所降低，堆芯相對功率最終無法回到初始值。

圖7 堆芯相對功率的變化

為評估數(shù)值計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，將MPACT采用TML方法得到的數(shù)值結(jié)果[21]作為參考值。圖8、9分別為TD4、TD5系列問題堆芯相對功率與MPACT的相對誤差。從圖8、9可知，在控制棒移動(dòng)和慢化劑密度變化的過程中，相對誤差的波動(dòng)比較大。不過，總體上各算例堆芯功率的相對誤差都比較小，25 ms和125 ms輸運(yùn)時(shí)間步長的最大相對誤差分別為0.54%、0.74%。這表明HNET數(shù)值結(jié)果能與MPACT參考解吻合得很好，細(xì)微的偏差主要由空間離散策略和尖端效應(yīng)的處理方式引起[21]。此外，結(jié)合圖7～9可知，通過多級加速理論，使用較大時(shí)間步長的計(jì)算精度能與使用較小時(shí)間步長的計(jì)算精度處于相同的水平。整體計(jì)算結(jié)果表明，應(yīng)用多級加速理論的HNET程序已經(jīng)具備高精度的三維瞬態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算能力。

圖8 TD4問題的堆芯功率相對誤差

圖9 TD5問題的堆芯功率相對誤差

表4將三維C5G7-TD問題的計(jì)算耗時(shí)與MPACT對比。HNET程序采用32個(gè)計(jì)算核進(jìn)行瞬態(tài)計(jì)算，計(jì)算核數(shù)與MPACT一致。同時(shí)，HNET與MPACT均采用細(xì)網(wǎng)裂變源相對誤差的無窮范數(shù)作為收斂判據(jù)，收斂準(zhǔn)則均為10-4。

從表4可知，相比于MPACT程序，HNET程序在計(jì)算效率上明顯更具優(yōu)勢。首先，在輸運(yùn)時(shí)間步長同為25 ms的情況下，HNET程序通過迭代加速的方法能把多群gCMFD的計(jì)算負(fù)擔(dān)降低，因而計(jì)算總耗時(shí)比MPACT少。其次，HNET程序通過時(shí)間步加速方法，可在保持計(jì)算精度的前提下擴(kuò)大輸運(yùn)時(shí)間步長，減少瞬態(tài)中子輸運(yùn)的計(jì)算量，從而進(jìn)一步降低計(jì)算總耗時(shí)?？偟膩碚f，HNET程序通過多級加速理論，在保證計(jì)算精度的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了對高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的有效加速。

表4 C5G7-TD三維問題的總耗時(shí)對比

3 結(jié)論

本文基于時(shí)間步加速方法和迭代加速方法，研究適用于高保真中子輸運(yùn)計(jì)算的多級加速理論，為解決輸運(yùn)計(jì)算時(shí)間消耗過長的問題提供理論指導(dǎo)，主要結(jié)論如下。

1)與傳統(tǒng)PCQM方法比，多級PCQM方法能在大時(shí)間步長下提供較為準(zhǔn)確的修正因子，實(shí)現(xiàn)計(jì)算精度和計(jì)算速度的綜合提高；針對不同時(shí)間步下的中子輸運(yùn)計(jì)算，可通過等價(jià)的低分辨率系統(tǒng)減少高分辨率系統(tǒng)計(jì)算的迭代次數(shù)以加速計(jì)算，最終實(shí)現(xiàn)全堆芯高保真三維中子輸運(yùn)計(jì)算的快速求解。

2)對于三維C5G7的TD4和TD5系列問題，HNET程序的計(jì)算結(jié)果均能與MPACT程序的結(jié)果很好地吻合，具有相當(dāng)?shù)挠?jì)算精度。而且HNET程序在保證計(jì)算精度的同時(shí)，具有優(yōu)于MPACT的計(jì)算效率。這表明HNET程序已具備高保真三維全堆芯瞬態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算能力，能為數(shù)字化反應(yīng)堆研究的開展提供可靠的計(jì)算平臺(tái)。