一類帶干擾的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型的生存概率

侯致武, 高 磊

(1. 延安大學(xué)西安創(chuàng)新學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)與工程學(xué)院, 陜西 西安 710100;2. 寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 寶雞 721013)

破產(chǎn)理論研究的熱點問題是對經(jīng)典風(fēng)險模型的改進和推廣[1]。基于Poisson-Geometric(PG)過程的良好性質(zhì),毛澤春等[2]將經(jīng)典風(fēng)險模型推廣為復(fù)合PG風(fēng)險模型,熊雙平[3]研究了該模型的破產(chǎn)概率;文獻[4-6]討論了帶紅利且保費收入由線性函數(shù)推廣為復(fù)合泊松過程的復(fù)合PG風(fēng)險模型;文獻[7-8]研究了帶利率和干擾的復(fù)合PG風(fēng)險模型。上述文獻中有考慮了利率的影響,但收取保費是線性的;有考慮隨機保費,但未考慮隨機干擾因素的;有考慮干擾因素,但保費固定或未考慮利率因素的影響。為了更接近保險實務(wù),文獻[9]建立了一個同時考慮利率、隨機干擾,且保費收入為復(fù)合泊松過程、索賠為復(fù)合PG過程的風(fēng)險模型,并討論了該模型的預(yù)警區(qū)問題。本文研究了文獻[9]中PG模型的另一精算指標(biāo),即生存概率問題。利用盈余過程的強馬爾可夫性和It公式,推導(dǎo)了保險公司生存概率的積分- 微分方程,以及特殊條件下的微分方程和解析解,推廣了文獻[10]中的相關(guān)結(jié)論。通過數(shù)值模擬,分析了保險公司的生存概率隨利率、初始資本、保費、索賠額等的變化情況。

1 預(yù)備知識

(1)

設(shè)模型(1)下保險公司的破產(chǎn)時刻為T=inf(t≥0,Uδ(t)<0)(若集合為空集,則T=∞),最終破產(chǎn)概率為ψδ(u)=P(T<∞|Uδ(0)=u),對應(yīng)的生存概率為φδ(u)=1-ψδ(u)。

引理1[2]設(shè)N(t)是參數(shù)為(λ,ρ)的復(fù)合PG過程,記α=λ(1-ρ)/ρ(若ρ=0,則取α=λ),則當(dāng)t→0時,有

2 主要結(jié)果

記G*k(y)和g*k(y)分別為索賠分布G(y)和概率密度g(y)的k重卷積,并記

定理1 模型(1)的生存概率φδ(u)滿足積分-微分方程

(2)

證明 在足夠小的時間(0,t]內(nèi)是否發(fā)生保費收取和索賠,可分為4類事件。

1)B1:在(0,t]內(nèi),M(t)=0,N(t)=0,其概率為

P(B1)=(1-λ1t+o(t))(1-λ2t+o(t))=1-(λ1+λ2)t+o(t)。

2)B2:在(0,t]內(nèi),M(t)=0,N(t)=k,其概率為

P(B2)=(1-λ1t+o(t))[αρkt+Ak(t)o(t)]=αρkt+Ak(t)o(t)。

3)B3:在(0,t]內(nèi),M(t)=1,N(t)=0,其概率為

P(B3)=λ1t(1-λ2t+o(t))=λ1t+o(t)。

4)B4:其他情況,其概率為P(B4)=o(t)。

整理得

令Y(t)=u+h(t),則有

dY(t)=uδeδ t+σeδ tdW(t),Y(0)=u。

將式(5)代入式(4)后,兩端同時除以t,令t→0,化簡得

式(6)對u從0～z積分,得

令u+x=v,則

令u-y=v,則

將式(8)和式(9)代入式(7),化簡得

把式(11)代入式(10),化簡得

再令z=u,即為式(2)。證畢。

定理2 若模型(1)中的保費額{Ci}和索賠額{Dj}分別服從參數(shù)為a和b的指數(shù)分布,則其生存概率滿足微分方程

證明 由定理2中的條件知f(x)=ae-ax,g*k(y)是參數(shù)為(k,b)的Gamma分布的概率密度。若記b*=(1-ρ)b,則有

將f(x)和gρ(y)代入式(6)得

令m=u+x,n=u-y,則

式(13)化為

式(14)兩邊同時對u求一、二階導(dǎo)數(shù)得

(17)

同理,由式(15)和式(16)得

在定理2的條件下,令σ=0,則可得文獻[10]中生存概率的解析解,即推論1。

推論1 若在定理2的條件下,且σ=0,則生存概率的解析解為

證明 令σ=0,則由式(12)知

由文獻[10]中的定理1知,生存概率的解析解為式(19)。證畢。

3 數(shù)值實驗

在MATLAB環(huán)境下,給出了保險公司在保費額和索賠額服從指數(shù)分布時的生存概率的算例,它不失一般性,設(shè)偏離參數(shù)ρ=0.2,擾動系數(shù)σ=0。

如圖1所示,如果保單到達率λ1=20份·d-1,每份保單的平均保費為1元,索賠發(fā)生率為λ2=0.01次·d-1,平均索賠額1 000元,那么當(dāng)利息力確定時,保險公司的初始資本越大,生存概率就越大;當(dāng)保險公司的初始資本固定時,利息力越大,生存概率就越大。這符合實際情況,表明保險公司的穩(wěn)定運行與市場利率和強有力的資金保障密切相關(guān)。

圖1 初始資本和利息力對生存概率的影響Fig.1 The influence of initial capital and interest force on the survival probability

如圖2所示,如果利息力δ=0.05,初始資本u=1 000元,保單平均保費額為1元,平均索賠額為1 000元,那么索賠次數(shù)越多,保險公司在單位時間內(nèi)保單到達次數(shù)固定時的生存概率越小;保單到達次數(shù)越多,保險公司在單位時間內(nèi)索賠到達次數(shù)固定時的生存概率越大。說明保險公司要穩(wěn)定經(jīng)營,必須發(fā)現(xiàn)更多的客戶,制定合理的保險條款。

圖2 保單到達速率和索賠發(fā)生速率對生存概率的影響Fig.2 The influence of arriving rate of premium and claim on the survival probability

如圖3所示,如果利息力δ=0.05、初始資本u=1 000元、保單到達率λ1=20份·d-1,索賠發(fā)生率λ2=0.01次·d-1,那么當(dāng)每份保單的平均保費固定時,平均索賠額越大,保險公司生存的概率就越小;當(dāng)平均索賠額固定時,每份保單的平均保費額越高,保險公司生存的概率就越大。研究表明,這與保險公司的實際運作是一致的,合理厘定保費和索賠額對保險公司的穩(wěn)定經(jīng)營至關(guān)重要。

圖3 保費額和索賠額對生存概率的影響Fig.3 The influence of premiums and claims on survival probability

4 結(jié) 論

本文考慮的復(fù)合PG模型,更好地描述了無索賠情況,也避免了散度偏大的現(xiàn)象,同時考慮了利息力、隨機干擾、隨機保費和保費隨機收取等因素,使其更符合實際應(yīng)用背景。利用全期望公式,得到其生存概率的積分-微分方程,以及在保費額和索賠額服從指數(shù)分布時的微分方程。不考慮干擾因素的影響,得到文獻[10]中生存概率的精確解。最后,通過數(shù)值算例分析了市場利率、保險公司的初始資本、保單到達次數(shù)、索賠發(fā)生次數(shù)、保費額和索賠額等對保險公司生存概率的影響,這與實際相符,可為保險公司的穩(wěn)定經(jīng)營提供理論指導(dǎo)。