橢圓曲線y2=(x+2)(x2-2x+m)的整數(shù)點(diǎn)

高志鵬, 楊 海, 王 釗

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710048)

橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題是數(shù)論及其相關(guān)領(lǐng)域基礎(chǔ)而又重要的問(wèn)題,關(guān)于橢圓曲線

y2=(x+a)(x2-ax+m),m∈,

(1)

當(dāng)a=±2時(shí)的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題,目前已有一些研究結(jié)果。

當(dāng)a=-2時(shí),文獻(xiàn)[1]提出了m=31時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題;文獻(xiàn)[2]運(yùn)用代數(shù)數(shù)論與p-adic分析方法證明了橢圓曲線(1)此時(shí)僅有2組整數(shù)點(diǎn);文獻(xiàn)[3]運(yùn)用Pell方程和二元四次丟番圖方程的已知結(jié)果,給出了該結(jié)論的簡(jiǎn)化證明;文獻(xiàn)[4-7]研究了m在特定條件下橢圓曲線(1)僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(2,0);文獻(xiàn)[8]求出了m=13時(shí)橢圓曲線(1)的4組整數(shù)點(diǎn)。

當(dāng)a=2時(shí),文獻(xiàn)[9]證明了m=31時(shí)無(wú)正整數(shù)點(diǎn);文獻(xiàn)[10]證明了m=36s2-5(s∈,2s)時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題;文獻(xiàn)[11-14]分別證明了m=43、15、27、37時(shí)橢圓曲線(1)的整數(shù)點(diǎn)。目前沒(méi)有對(duì)于m≡3(mod 8)的一般性結(jié)論。

本文運(yùn)用同余、勒讓德符號(hào)的性質(zhì)及四次丟番圖方程的已知結(jié)果證明了

定理設(shè)p、q為素?cái)?shù),m為正整數(shù),且滿足p≡7(mod 40),m=5p-8=2q+1,則橢圓曲線

y2=(x+2)(x2-2x+m),

(2)

僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(-2,0);

推論橢圓曲線y2=x3+23x+54,y2=x3+223x+454,y2=x3+623x+1 254,y2=x3+2 423x+4 854,y2=x3+3 223x+6 454,y2=x3+4 223x+8 454均僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(-2,0)。

1 相關(guān)引理

2 定理的證明

在以下敘述中,p、q為奇素?cái)?shù),m=5p-8=2q+1,p≡7(mod 8),q≡5(mod 8)。

設(shè)(x,y)是式(2)的任意整數(shù)點(diǎn),因?yàn)閙=5p-8≥27,所以

x2-2x+m=(x-1)2+m-1>0,

橢圓曲線顯然有平凡整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(-2,0)。下面僅考慮x>-2的情況。

設(shè)d為x+2與x2-2x+m的最大公因數(shù),則

d=gcd(x+2,x2-2x+m)=gcd(x+2,m+8)=gcd(x+2,5p)。

由d|5p知,d∈{1,5,p,5p}。則存在正整數(shù)a、b,使式(2)分為如下4種情形:

情形1x+2=a2,x2-2x+m=b2,y=±ab, gcd(a,b)=1;

情形2x+2=5a2,x2-2x+m=5b2,y=±5ab, gcd(a,b)=1;

情形3x+2=pa2,x2-2x+m=pb2,y=±pab, gcd(a,b)=1;

情形4x+2=5pa2,x2-2x+m=5pb2,y=±5pab, gcd(a,b)=1。

下面對(duì)這4種情形進(jìn)行討論。

情形1 將x=a2-2代入x2-2x+m=b2,結(jié)合m=5p-8得

b2=a4-6a2+5p。

當(dāng)a為偶數(shù)時(shí),a4-6a2≡0(mod 8),可得b2≡5p≡3(mod 8),矛盾;當(dāng)a為奇數(shù)時(shí),a4-6a2≡3(mod 8),可得b2≡5p+3≡6(mod 8),矛盾。因此此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

情形2 將x=5a2-2代入x2-2x+m=5b2,結(jié)合m=5p-8得

b2=5a4-6a2+p。

當(dāng)a為偶數(shù)時(shí),5a4-6a2≡0(mod 8),可得b2≡p≡7(mod 8),矛盾;當(dāng)a為奇數(shù)時(shí),5a4-6a2≡7(mod 8),可得b2≡p+7≡6(mod 8),矛盾。因此此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

情形3 將x=pa2-2代入x2-2x+m=pb2,結(jié)合m=5p-8得

b2=pa4-6a2+5。

當(dāng)a為偶數(shù)時(shí),pa4-6a2≡0(mod 8),可得b2≡5(mod 8),矛盾;當(dāng)a為奇數(shù)時(shí),pa4-6a2≡1(mod 8),可得b2≡6(mod 8),矛盾。因此此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

情形4 將x=5pa2-2代入x2-2x+m=5pb2,結(jié)合m=5p-8得

b2=5pa4-6a2+1。

當(dāng)a為奇數(shù)時(shí),5pa4-6a2≡5(mod 8),可得b2≡6(mod 8),矛盾。因此此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

當(dāng)a為偶數(shù)時(shí),5pa4-6a2≡0(mod 8),可得b2≡1(mod 8),此時(shí)b為奇數(shù)。由5p-8=2q+1得b2=2qa4+(3a2-1)2,分解因式得

(b+3a2-1)(b-3a2+1)=2qa4。

令a=2c,由于2|b+3a2-1,且2|b-3a2+1,但2q,所以

(3)

則l1|b,2l1,設(shè)有奇素?cái)?shù)p1|l1,則由l1|b、l1|(12c2-1)知,

所以p1|c,這與gcd(2c,b)=1矛盾,故l1=1。此時(shí),存在正整數(shù)u、v,gcd(u,v)=1,使式(3)可分為如下4種情況:

下面對(duì)這4種情況進(jìn)行討論:

對(duì)于ⅰ),由l1=1,gcd(u,v)=1、得gcd(8qu4,v4)=1,即得v為奇數(shù)。前2式相減得12c2-1=v4-8qu4,取模8,得

3,7≡12c2-1≡v4-8qu4≡1(mod 8),

矛盾。因此此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

對(duì)于ⅱ),前2式相減得12c2-1=8v4-qu4,由c=±uv結(jié)合5p-8=2q+1,整理得

(4v2-3u2)2-5pv4=-2,

取模p,得

(4v2-3u2)2=-2(modp),

(4)

對(duì)于ⅲ),由l1=1、gcd(u,v)=1,得gcd(8u4,qv4)=1,即得v為奇數(shù)。前2式相減得12c2-1=qv4-8u4,取模8,得

3,7≡12c2-1≡qv4-8u4≡5(mod 8),

矛盾。因此此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

對(duì)于ⅳ),前2式相減得12c2-1=8qv4-u4,由c=±uv結(jié)合5p-8=2q+1,整理得

(u2+6v2)2-20pv4=1。

(5)

由l1=1、gcd(u,v)=1,得gcd(8qv4,u4)=1,即得u為奇數(shù),對(duì)式(5)取模8,由c=±uv得v為偶數(shù),u為奇數(shù)。令X=u2+6v2,顯然2X,X≡1(mod 4),式(5)可寫(xiě)為

(6)

故此時(shí)存在正整數(shù)g、h,gcd(g,h)=1,使式(6)可分為如下4種情況:

由gcd(g,h)=1、X≡1(mod 4),知g為偶數(shù),h為奇數(shù)。下面對(duì)這4種情況進(jìn)行討論。

對(duì)于ⅰ),前2式相加得X=5pg4+h4,代入式(6),整理得(5pg4-h4)2=1,即

5pg4-h4=1

(7)

或

h4-5pg4=1。

(8)

對(duì)于式(7),兩邊同時(shí)取模p,得

h4≡-1(modp)。

(9)

對(duì)于ⅱ),前2式相加得X=5g4+ph4,代入式(6),整理得(5g4-ph4)2=1,即

5g4-ph4=1

(10)

或

ph4-5g4=1。

(11)

對(duì)于式(10),兩邊同時(shí)取模p,得

5g4≡1(modp)。

由p≡7(mod 40)得

由引理1知上式同余式無(wú)解,即此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

對(duì)于式(11),h為奇數(shù)、g為偶數(shù)時(shí),對(duì)式(11)取模8,得7≡p≡ph4-5g4≡1(mod 8),所以式(11)無(wú)解,即此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

對(duì)于ⅲ),前2式相加得X=pg4+5h4,代入式(6),整理得(pg4-5h4)2=1,即

pg4-5h4=1

(12)

或

5h4-pg4=1。

(13)

對(duì)于式(12),h為奇數(shù),g為偶數(shù)時(shí),對(duì)式(12)取模8,得3≡pg4-5h4≡1(mod 8),所以式(12)無(wú)解,即此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

對(duì)于式(13),h為奇數(shù)、g為偶數(shù)時(shí),對(duì)式(13)取模8,得5≡5h4-pg4≡1(mod 8),所以式(13)無(wú)解,即此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

對(duì)于ⅳ),前2式相加得X=g4+5ph4,代入式(6),整理得(g4-5ph4)2=1,即

g4-5ph4=1

(14)

或

5ph4-g4=1。

(15)

對(duì)于式(14),h為奇數(shù)、g為偶數(shù)時(shí),對(duì)式(14)取模8,得5≡g4-5ph4≡1(mod 8),所以式(14)無(wú)解,即此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

對(duì)于式(15),h為奇數(shù)、g為偶數(shù)時(shí),對(duì)式(15)取模8,得3≡5ph4-g4≡1(mod 8),所以式(15)無(wú)解,即此時(shí)橢圓曲線(2)無(wú)整數(shù)點(diǎn)。

綜上所述定理得證。

3 推論的證明

當(dāng)p=7時(shí),q=13,是素?cái)?shù),此時(shí)m=27,由定理得橢圓曲線y2=x3+23x+54僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(-2,0);

當(dāng)p=47時(shí),q=113,是素?cái)?shù),此時(shí)m=227,由定理得橢圓曲線y2=x3+223x+454僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(-2,0);

當(dāng)p=127時(shí),q=313,是素?cái)?shù),此時(shí)m=627,由定理得橢圓曲線y2=x3+623x+1 254僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(-2,0);

當(dāng)p=487時(shí),q=1 213,是素?cái)?shù),此時(shí)m=2 427,由定理得橢圓曲線y2=x3+2 423x+4 854僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(-2,0);

當(dāng)p=647時(shí),q=1 613,是素?cái)?shù),此時(shí)m=3 227,由定理得橢圓曲線y2=x3+3 223x+6 454僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(-2,0);

當(dāng)p=827時(shí),q=2 113,是素?cái)?shù),此時(shí)m=4 227,由定理得橢圓曲線y2=x3+4 223x+8 454僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(-2,0)。

綜上推論得證。

4 結(jié) 論

本文證明了p、q為素?cái)?shù),m為正整數(shù),且滿足p≡7(mod 40),m=5p-8=2q+1,則橢圓曲線y2=(x+2)(x2-2x+m)僅有整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(-2,0)。研究結(jié)果推廣了橢圓曲線y2=(x+a)(x2-ax+m),m∈,當(dāng)a=2時(shí)的一般性結(jié)論,對(duì)此類(lèi)橢圓曲線整數(shù)點(diǎn)的研究有一定的推進(jìn)作用。