同類變級配瀝青混合料礦料間隙率模型及分析

劉樹堂， 欒 娟， 薛志超， 陳魯川， 曹衛(wèi)東，*

（1.山東大學(xué) 齊魯交通學(xué)院，山東 濟(jì)南 250002；2.山東高速集團(tuán)有限公司，山東 濟(jì)南 250000）

在熱拌瀝青混合料（HMA）的體積法配合比設(shè)計中，礦料間隙率（VMA）是選擇級配的決定性指標(biāo).目前中國采用的馬歇爾設(shè)計方法直接以適宜瀝青用量的VMA 是否符合技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)最小值作為級配選擇的依據(jù)，而美國Superpave 設(shè)計方法以空隙率為4%時的VMA 是否滿足要求來選擇級配.VMA 又是確定最佳瀝青用量的關(guān)鍵參數(shù)，對空隙率（VV）和瀝青飽和度起著決定性作用，因此必然對HMA 的性能產(chǎn)生直接和間接的影響.鑒于此，道路工作者對其進(jìn)行了廣泛研究.郝培文等［1］主要基于國外研究成果綜述了VMA 最小標(biāo)準(zhǔn)值確定的發(fā)展歷程、標(biāo)準(zhǔn)值大小和制定依據(jù)等方面可能存在的問題或爭議；Pouranian等［2］指出，適當(dāng)?shù)腣MA 是保證瀝青混合料耐久性和抗車轍性能的重要因素；Al-Shamsi 等［3］認(rèn)為最低要求的VMA 是必要的，較低的VMA 會降低混合料的低溫性能，導(dǎo)致縱向裂紋與龜裂增加；Kandhal 等［4］、Coree［5］及Anderson 等［6］的研究表明，滿足VMA 要求有時較為困難，同時發(fā)現(xiàn)具有較高VMA 的粗級配瀝青混合料性能較差.VMA 受到集料棱角性、粗集料表面紋理特性、礦料密度和級配、壓實工藝等諸多因素的綜合作用，在料源、壓實工藝等條件確定的情況下，應(yīng)著重關(guān)注級配對VMA 的影響.Mallick 等［7］對5種集料公稱最大粒徑的瀝青混合料進(jìn)行試驗發(fā)現(xiàn)，2.36 mm 篩孔通過率對VMA 有顯著影響；王端宜等［8］基于大量試驗的統(tǒng)計分析表明，VMA 與2.36 mm 篩孔通過率有顯著的相關(guān)性，總體趨勢是VMA 隨著2.36 mm 篩孔通過率的增大呈線性增大；李彥偉等［9］通過大量試驗發(fā)現(xiàn)，最佳油石比下粗細(xì)集料（以2.36 mm為粗細(xì)集料分界篩孔尺寸）比例或細(xì)集料用量對VMA 的大小有決定性影響，VMA 隨著細(xì)集料含量的增加呈現(xiàn)有谷值凹形曲線變化；黃繼成等［10］進(jìn)行的SMA-13 試驗表明，VMA 隨著2.36 mm 篩孔通過率的增大而增大，而對OGFC-13 和AC-16 而言，VMA 則隨著2.36 mm 篩孔通過率的增大而減小.可見，眾多學(xué)者對各類變化級配瀝青混合料的VMA 變動規(guī)律開展了大量研究，得到了一些直觀、有益的結(jié)論，但對VMA 變化趨勢的探索主要是基于對大量試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析手段進(jìn)行的，尚未對變化趨勢背后的機(jī)理或因果關(guān)系予以研究.因此，建立不同級配瀝青混合料VMA 的物理模型十分必要，借助物理模型可從本質(zhì)上揭示上述各種VMA 變化曲線背后的物理機(jī)制.這對于瀝青混合料配合比優(yōu)化設(shè)計及其性能保障而言具有十分重要的理論與工程意義.

1 同一瀝青混合料VMA 與VCAmix的物理關(guān)系

對于確定級配和瀝青用量的壓實瀝青混合料試件而言，不論是HMA 還是瀝青瑪蹄脂碎石混合料（SMA），其礦料間隙率1）本文涉及的間隙率均為體積分?jǐn)?shù)；含量、通過率、油石比等均為質(zhì)量分?jǐn)?shù).均可由式（1）計算：

式中：VMA 為礦料間隙率；γf為瀝青混合料試件的毛體積相對密度；Ps為礦料含量；γsb為礦料的合成毛體積相對密度.

對于SMA 試件而言，粗集料間隙率是一個重要的體積指標(biāo)，由式（2）計算：

式 中：VCAmix為SMA 試 件 的 粗 集 料 間 隙 率；Pca為SMA 試件中的粗集料含量，Pca=Ps×(1-Pcf)，其中Pcf表示粗細(xì)集料分界篩孔通過率，按照J(rèn)TG E42—2005《公路工程集料試驗規(guī)程》給出的定義，粗細(xì)集料分界篩孔尺寸為2.36 mm；γca為粗集料的合成毛體積相對密度.

盡管VCAmix首先是針對SMA 提出的，但顯然也可推廣至一般HMA 試件，只是HMA 試件的VCAmix較大而已.于是，對同一級配的壓實HMA 試件，基于式（1）、（2）進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得到該種試件VMA 與VCAmix之間的物理關(guān)系式：

式中：λ=γca/γfa，其中γca、γfa分別為粗集料、細(xì)集料的合成毛體積相對密度.

2 同類變級配瀝青混合料VMA 與VCAmix的物理關(guān)系

本文約定，同類變級配瀝青混合料是指級配礦料的（公稱）最大粒徑相同，但級配曲線位置不同的幾組瀝青混合料.工程中熱拌瀝青混合料的配合比設(shè)計實質(zhì)就是在同類變級配瀝青混合料（如AC-25）中，通過試驗尋找一種體積指標(biāo)與路用性能均滿足要求的配合比的過程.式（3）中如果Pcf發(fā)生變化（即粗、細(xì)集料含量發(fā)生變化），則VMA 與VCAmix也必然發(fā)生變化，同時系數(shù)λ也會發(fā)生輕微改變.為便于表述，將變量Pcf用x代換，則式（3）變?yōu)椋?/p>

式中：VMA、VCAmix分別是粗細(xì)集料分界篩孔通過率為x時，同類變級配瀝青混合料的礦料間隙率與粗集料間隙率，均為x的函數(shù).

一般情況下，粗集料的相對密度大于細(xì)集料和礦粉的合成相對密度，但兩者的比值十分接近1.為簡化研究，可近似認(rèn)為λ(x) =1，盡管這會帶來一定偏差，但分析表明不會影響最終的規(guī)律性結(jié)論.于是式（4）可簡化為：

式（5）屬于物理型模型，具有普適性，其普適性源于式（1）、（2）.基于數(shù)學(xué)意義，廣義而言，式（5）中x的取值可在開區(qū)間（0，1）內(nèi)，但結(jié)合工程常用瀝青混合料（如AC-13/20/25 和SMA-13 等）的級配范圍，當(dāng)認(rèn)定x為2.36 mm 篩孔通過率時，則x∈[0.2，0.4]具有較好的取值代表性.

由式（5）可知，VMA 與x、VCAmix有關(guān)，而x又影響著VCAmix，因此VMA 是關(guān)于x的復(fù)雜函數(shù).這深刻地表明了粗細(xì)集料分界篩孔通過率對VMA 的重要影響，也從內(nèi)在機(jī)理上揭示了諸多試驗研究中發(fā)現(xiàn)的VMA 隨著粗細(xì)集料分界篩孔（譬如尺寸為2.36 mm）通過率的變化而呈現(xiàn)出規(guī)律性變化的根本原因.

基于式（5），如果進(jìn)一步考察VMA 隨著x的變化規(guī)律，則還需分析x對VCAmix產(chǎn)生的影響，此時需考慮實際級配礦料中細(xì)集料顆粒對粗集料顆粒的排列是否產(chǎn)生干涉作用及干涉作用的性質(zhì).譚憶秋等［11］研究表明，混合料中主骨架粒徑為4.75～9.5 mm 時，最小的集料干涉粒徑為1.18 mm，因此，級配礦料中存在的粒徑為1.18～2.36 mm 的細(xì)集料對粗集料的排列產(chǎn)生干涉作用就成為必然，且細(xì)集料用量越多，這種干涉作用越強(qiáng)，導(dǎo)致粗集料間隙率越大.因此，一方面，結(jié)合工程中常用的AC-13/20/25 的級配特點，選擇2.36 mm 作為粗細(xì)集料分界篩孔尺寸具有合理性；另一方面，需通過試驗發(fā)現(xiàn)細(xì)集料對粗集料間隙率會產(chǎn)生何種函數(shù)類型的增大作用.能起到增大作用的函數(shù)在理論上不外乎有線性和非線性2 類，故可將VCAmix看作x的增函數(shù)，分別按線性、非線性予以進(jìn)一步分析.

2.1 VCAmix為線性增大時VMA 模型及分析

2.1.1 VMA 模型建立

令 VCAmix=ax+b，(a＞0)，將 其 代 入式（5）得：

式中：a、b為回歸系數(shù)，基于試驗數(shù)據(jù)通過回歸分析確定.模型（6）適用于細(xì)集料用量對粗集料間隙率產(chǎn)生線性增大作用的情形.

2.1.2 VMA 模型表示的可能變化規(guī)律

式（6）兩端分別對x求1 階與2 階導(dǎo)數(shù)，得：

分析a、b可能的取值，不可能有(a+b)=1，否則VMA'=0，表明關(guān)鍵篩孔通過率變動對VMA 無影響，這與事實不符.因此，只能是（a+b）＞1 或（a+b）＜1：若（a+b）＞1（譬如a=1.200，b=0.050），由式（7）、（8）可知，VMA'與VMA″同時大于零，則式（6）表示為上升的凹形曲線；若（a+b）＜1（譬如a=0.600，b=0.230），則VMA'與VMA″同時小于零，式（6）表示為下降的凸形曲線，見圖1.

圖1 VCAmix線性增大時可能的VMA 曲線Fig.1 Possible VMA curve morphology when the VCAmix increases linearly

上述分析表明，若VCAmix隨x呈線性增大的話，VMA 不可能有其他的曲線，只能是圖1 中2 條曲線之一；具體形態(tài)則取決于回歸系數(shù)a、b之和是大于1還是小于1.

2.2 VCAmix為指數(shù)函數(shù)增大時VMA 模型及分析

2.2.1 VMA 模型建立

非線性函數(shù)的類型較多，考慮到若增大粗細(xì)集料分界篩孔通過率x，將同時減小粗集料含量（1-x），選擇以指數(shù)函數(shù)表示x對VCAmix的增大作用應(yīng)是合理的；試驗也發(fā)現(xiàn)VCAmix確實隨著x的增大具有指數(shù)函數(shù)的增大趨勢.因此，令VCAmix=aebx，將其代入式（5），得：

式中：a，b為通過試驗確定的回歸系數(shù)，a＞0，b＞0.模型（9）適用于細(xì)集料用量對粗集料間隙率產(chǎn)生指數(shù)函數(shù)增大作用的情形.

2.2.2 VMA 模型表示的可能變化規(guī)律

為便于進(jìn)一步分析，需將式（9）分子中的指數(shù)函數(shù)在x=0 處作Taylor 級數(shù)展開，展開式應(yīng)滿足精度要求.由于常用AC 類材料在2.36 mm 篩孔通過率的上限一般不超過40%，計算表明，當(dāng)指數(shù)函數(shù)中的系數(shù)b≤3 時，展開式中最高到x的3 次方即能達(dá)到較好的精度，如b=3，在x=0.2、0.4 時展開式的相對誤差分別為0.34%、3.38%.在x=0 處，3 次Taylor 級數(shù)展開式為：

將式（10）代入式（9），得到：

式（11）兩端分別對x求1 階與2 階導(dǎo)數(shù)，得：

在x定義域內(nèi)，根據(jù)VMA'、VMA″的正負(fù)，可判斷式（9）表達(dá)的可能曲線.

（1）VMA'＜0、VMA″＞0 一并成立的可能性.基于式（13），當(dāng)VMA″＞0 時，得到：

聯(lián) 立 式（12）＜0、式（13）＞0，得 到ab2(x-1)2(xb+1) ＞0，因a＞0，b2(x-1)2＞0，所以有：

顯然，式（14）與（15）能同時成立，則式（9）表示VMA 為下降的凹形曲線就成為可能.

仿照上述，再分別對VMA'＞0、VMA″＞0 一并成立；VMA'＜0、VMA″＜0一并成立；VMA'＜0、VMA″＞0 與VMA'＞0、VMA″＞0 一并成立的可能性進(jìn)行分析，結(jié)果表明VMA 為上升的凹形曲線、下降的凸形曲線、有谷值的凹形曲線（或類似開口向上的2 次拋物線）均是可能的，但限于篇幅，此處不贅述.

（2）VMA'＞0、VMA″＜0 一并成立的可能性.根據(jù)式（12）、（13），得到3ab2(x-1)2(xb+1) ＜0，由于a＞0，因此有xb+1 ＜0，即b＜-1/x，為負(fù)，這與b＞0 相矛盾，因此，在x∈(0，0.4］范圍內(nèi)，VMA不可能為上升的凸形曲線.

（3） VMA'＞0、 VMA″＜0 與 VMA'＜0、VMA″＜0 一并成立的可能性.基于第（2）條的分析，因不存在VMA'＞0 及VMA″＜0，故VMA 變化不可能出現(xiàn)含有峰值的凸形曲線.

綜上分析，在通常的級配范圍及可能的VMA 值域內(nèi)，指數(shù)函數(shù)表達(dá)的VMA 可能的曲線有圖2 所示的4 種情形.圖2（a）中的凹形下降曲線、凸形下降曲線 分 別 基 于a=0.250、b=1.600 和a=0.300、b=1.140 繪制，凹形上升曲線基于a=0.165、b=2.950 繪制；圖2（b）中的曲線基于a=0.200、b=2.200 繪制.

圖2 VCAmix按指數(shù)函數(shù)增大時可能的VMA 變化曲線Fig.2 Possible VMA curve morphology when the VCAmix increases exponentially

圖1、2 中，若VMA 值隨著x的增大而下降，則表明瀝青混合料由骨架空隙型向骨架密實型趨近；若VMA 值隨著x的增大而上升，則表明瀝青混合料達(dá)到骨架密實狀態(tài)后進(jìn)入懸浮密實狀態(tài)，且粗集料懸浮程度逐漸增大.

2.3 VMA 模型選擇

在近似認(rèn)為粗細(xì)集料的密度相等時，式（5）即為同類變級配瀝青混合料礦料間隙率的理論模型.因其是基于確定配比瀝青混合料的VMA 與VCAmix的計算公式推導(dǎo)而來，因而該模型具有普適意義.同理，基于式（5）進(jìn)一步得到的式（6）與式（9）也具有各自適用的物理基礎(chǔ).

圖1、2 展示的為式（5）理論上可能出現(xiàn)的各種形態(tài)VMA 曲線.由式（6）、（9）可知，對于確定的同類變級配瀝青混合料而言，所出現(xiàn)的曲線形態(tài)取決于壓實瀝青混合料中粗細(xì)集料分界篩孔通過率x對VCAmix產(chǎn)生的影響是線性增大還是非線性增大.總體而言，與式（9）對應(yīng)的圖2（b）變化規(guī)律具有更廣泛的意義，因而將式（9）作為同類變級配瀝青混合料的VMA 模型應(yīng)具有更好的代表性.

3 模型驗證

3.1 試驗及結(jié)果分析

選用AC-25 中5 種級配作為模型驗證的工程案例，5 種級配的2.36 mm 篩孔通過率依次為16.0%、20.0%、24.2%、30.0%、36.0%，對應(yīng)的最佳油石比分別為4.09%、4.11%、4.14%、4.17%、4.20%；基于馬歇爾壓實工藝制件，獲得各級配瀝青混合料試件的VMA 和VCAmix.VMA 的實測曲線見圖3.

3.2 預(yù)測模型及預(yù)測結(jié)果分析

分別按VCAmix與x之間為線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)進(jìn)行回歸分析，得到在顯著性水平α=0.001 下的有效回歸方程，并將其分別代入式（5），得到式（16）、（17）.據(jù)此計算獲得預(yù)測的VMA 曲線，也列于圖3.

圖3 不同模型預(yù)測的VMA 曲線與實測VMA 曲線對比Fig.3 Compared with the measured VMA curve and prediction VMA curves of different models

圖3 表明：實測VMA 曲線呈現(xiàn)有谷值的凹形曲線變化；當(dāng)把細(xì)集料對VCAmix的增大作用看作線性函數(shù)時，預(yù)測得到的VMA 為凸形下降曲線，這與實測曲線的變化趨勢明顯不符；當(dāng)把細(xì)集料對VCAmix的增大作用看作指數(shù)函數(shù)時，預(yù)測的VMA 變化規(guī)律為類似開口向上的2 次拋物線，則與實測曲線的變化趨勢一致.這表明，就本案例AC-25 而言，將VCAmix隨著2.36 mm 篩孔通過率的增大看作以指數(shù)函數(shù)變化是符合實際的.另外本文發(fā)現(xiàn)，盡管式（16）中分子部分的線性關(guān)系式也具有極高的顯著性，但據(jù)其得出的結(jié)論卻與實際結(jié)果不吻合，說明某些情況下基于有效回歸方程推出的結(jié)論可能存在錯誤的風(fēng)險.

根據(jù)式（17）得到VMA 最小值為13.4%時的粗細(xì)集料分界篩孔通過率x約為0.275，即27.5%附近；預(yù)測的VMA 最小值與圖3 中實測曲線的最小值13.2%～13.3%有0.1%～0.2%的偏差，對應(yīng)VMA最小值時的x有約2%的偏差；偏差主要是由近似認(rèn)為粗細(xì)集料相對密度之比λ(x) =1 及回歸分析誤差造成.在滿足VMA 最小值技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)的前提下，較小的VMA 具有較高的抗車轍性能；因此，式（17）可作為AC-25 類混合料的經(jīng)驗公式參考使用，據(jù)其獲得高溫性能較好的級配；同時，在進(jìn)行瀝青混合料級配設(shè)計時，可用來預(yù)測VMA 大小排序，必要的排序預(yù)測對確保設(shè)計出合理的級配具有重要意義.

VMA 呈現(xiàn)含有谷值凹形曲線的變化規(guī)律具有典型代表性，文獻(xiàn)［9］中的大量試驗也驗證了該類變化趨勢.

4 結(jié)論

（1）建立了同類變級配瀝青混合料VMA 的物理模型.模型表明在其他條件確定時，瀝青混合料中細(xì)集料對粗集料間隙率的增大作用性質(zhì)及粗細(xì)集料分界篩孔通過率是影響VMA 變化規(guī)律的2 個決定性因素，從而詮釋了諸多試驗中發(fā)現(xiàn)的粗細(xì)集料分界篩孔（譬如尺寸為2.36 mm）通過率對VMA 有突出影響的原因.

（2）對物理模型的理論分析表明，在一定的級配范圍內(nèi)，隨著粗細(xì)集料分界篩孔通過率的增大，同類變級配瀝青混合料的VMA 在理論上可呈現(xiàn)凹形曲線下降、凸形曲線下降、凹形曲線上升及有谷值的凹型曲線（或類似開口向上的2 次拋物線）等多種可能的變化趨勢，但不可能呈現(xiàn)有峰值的凸形曲線變化規(guī)律.

（3）對AC-25 而言，將2.36 mm 作為粗細(xì)集料分界篩孔尺寸是合理的，認(rèn)為細(xì)集料對粗集料間隙率產(chǎn)生指數(shù)函數(shù)的增大作用符合實際；在進(jìn)行AC-25礦料級配設(shè)計時，給出的模型可用于預(yù)測不同級配混合料的VMA 大小排序，同時還可獲得VMA 最小值的類骨架密實型級配，該級配的分界篩孔通過率約為27.5%.