例談數(shù)學(xué)競(jìng)賽中復(fù)數(shù)數(shù)列問題的解法

徐友偉

(浙江省杭州市建德市壽昌中學(xué)，311612)

數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的復(fù)數(shù)數(shù)列問題,常以復(fù)數(shù)的遞推關(guān)系為載體出現(xiàn).求解這類問題既要用到復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)及運(yùn)算法則等知識(shí),又要根據(jù)遞推數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)運(yùn)用數(shù)列的有關(guān)解題技巧,因而綜合性較強(qiáng).下面以近幾年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題為例,探究復(fù)數(shù)數(shù)列問題的常見解法.

一、直接遞推

分析依據(jù)遞推公式研究復(fù)數(shù)數(shù)列{zn}相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系,明確求解方向.

所以z99=z1i50-1=z1i=(3+2i)i=-2+3i,z100=z2i50-1=z2i=(2+3i)i=-3+2i.進(jìn)而z99+z100=-5+5i.

二、實(shí)部、虛部分別遞推

分析先設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,然后將題設(shè)遞推公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式,通過分別研究實(shí)部、虛部的遞推關(guān)系,將復(fù)數(shù)數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)數(shù)列問題,從而獲解.

三、轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)模進(jìn)行遞推

證明由題意,利用反證法可知zn≠0(n∈N*).

綜上，得證.

評(píng)注本題將復(fù)數(shù)數(shù)列的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為其模的遞推關(guān)系來研究,在對(duì)正整數(shù)m分奇偶性討論的基礎(chǔ)上,依據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)進(jìn)行放縮法求解,充分考查了學(xué)生的化歸轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).