例談“三會(huì)”視角下數(shù)學(xué)情境問題的解決 *

馬 琳 陳算榮

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225002)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”)提出教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界[1](以下簡(jiǎn)稱“三會(huì)”)．“三會(huì)”強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與世界的緊密聯(lián)系,是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的終極目標(biāo)．史寧中教授對(duì)“三會(huì)”做了進(jìn)一步闡述:數(shù)學(xué)的眼光就是數(shù)學(xué)抽象,數(shù)學(xué)的思維就是邏輯推理,數(shù)學(xué)的語言就是數(shù)學(xué)模型[2]．可見,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“三會(huì)”的具體化．考察近幾年的高考數(shù)學(xué)題,不難發(fā)現(xiàn)基于情境的數(shù)學(xué)問題(以下簡(jiǎn)稱“情境題”)開始涌現(xiàn),通過情境題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平是高考命題的一種策略．情境題較之于一般的純數(shù)學(xué)背景題,需要學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題,也就是具備數(shù)學(xué)的眼光,顯然難度增大．學(xué)生在面對(duì)不同的情境時(shí),可能會(huì)遇到各種各樣的困難,因此,學(xué)會(huì)如何分析情境題至關(guān)重要．

“三會(huì)”中蘊(yùn)含著“觀察思考表達(dá)”這一認(rèn)識(shí)世界的過程,而情境題是考查學(xué)生“三會(huì)”的一個(gè)重要載體,情境題的解決過程亦循著“觀察思考表達(dá)”的分析框架．具體來說,用數(shù)學(xué)眼光觀察世界是指用數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)符號(hào)去觀察客觀世界,發(fā)現(xiàn)客觀世界中的形和量及它們之間的關(guān)系[3];要求學(xué)生在情境題中從數(shù)學(xué)的角度將題干中的信息整理出來,弄清條件,分析解決問題需要得到哪些信息．用數(shù)學(xué)思維思考世界是指用數(shù)學(xué)知識(shí)來推理、證明的思考過程[3];要求學(xué)生能根據(jù)題中信息有邏輯地思考問題從而有效解決問題．用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界是指用文字語言、圖形語言和符號(hào)語言來表達(dá)客觀對(duì)象之間的數(shù)量關(guān)系和空間形式[3];要求學(xué)生可以用數(shù)學(xué)語言將思考過程和解答過程表達(dá)出來,最終得到問題的解．

根據(jù)問題與情境的融合度不同,情境題可分為五個(gè)層次,分別是前結(jié)構(gòu)層次、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次和拓展抽象結(jié)構(gòu)層次,其內(nèi)涵詳見表1[5][5]．

從表1可看出,單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次和多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次的情境題的差別主要在于從題目中提取信息單元的多少,前者情境簡(jiǎn)單,后者情境熟悉,難度比較接近; 關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次和拓展抽象結(jié)構(gòu)層次的情境題都需要提取多個(gè)信息,前者情境陌生,后者需要超越情境,難度也較為相當(dāng),后者略高．基于篇幅的限制,下面僅選擇代表前結(jié)構(gòu)層次、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次的三道高考題,闡述如何從“三會(huì)”的視角去分析和解決情境問題．

表1 問題情境融合度層次劃分

一、前結(jié)構(gòu)層次情境題

(A)346 (B)373 (C)446 (D)473

觀察該問題情境是對(duì)用三角高程測(cè)量法測(cè)量珠峰高程的描述,但題目中的三角高程測(cè)量法僅是一個(gè)背景,與數(shù)學(xué)問題聯(lián)系不密切,屬于前結(jié)構(gòu)層次情境題．因此,該題的情境不影響學(xué)生解題,并且題目為實(shí)際的測(cè)高情境進(jìn)行了數(shù)學(xué)化的抽象配圖,所以本題也不需要學(xué)生對(duì)情境進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,只需將文字語言與圖片結(jié)合起來觀察并從中概括出已知和未知信息．已知信息:A′,B′,C′分別是ABC三點(diǎn)在同一水平面的投影,?A′B′C′中兩個(gè)角的度數(shù),由點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)B的仰角,由點(diǎn)B測(cè)得點(diǎn)A的仰角和BB′與CC′的差.未知信息:在圖片中沒有角或線段表示由點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)B的仰角,由點(diǎn)B測(cè)得點(diǎn)A的仰角和AA′-CC′.

思考這一環(huán)節(jié)教師要引導(dǎo)學(xué)生思考在圖片中如何構(gòu)造兩個(gè)仰角和AA′-CC′以及如何求AA′-CC′.首先,教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)仰角定義在圖中作垂線,從而可以在圖中表示出仰角和AA′-CC′.其次,在學(xué)生知道如何表示AA′-CC′的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生思考如何在得到的圖形中將已知量與未知量轉(zhuǎn)化到?A′B′C′中,利用解三角形的相關(guān)知識(shí)得到答案．

表達(dá)這一環(huán)節(jié)要求學(xué)生將上述問題思考清楚后用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)出來．首先,作出相應(yīng)輔助線,得到AA′-CC′可以表示成A′B′+100.其次,根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)得到C′B′的長(zhǎng)度．最后,在?A′B′C′中利用正弦定理求得答案．具體表達(dá)如下:

如圖2,過點(diǎn)C作CD⊥BB′于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BF⊥AA′于點(diǎn)F,則∠BCD=15°，BD=100，∠ABF=45°，CD=C′B′,A′B′=BF=AF,BB′=FA′,∠C′A′B′=75°.

二、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次情境題

情境問題2(2019年全國Ⅰ卷理科第6題)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成,爻分為陽爻“───”和陰爻“─ ─”,圖3就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是( )

觀察該問題情境是以“卦”為背景的文化情境,學(xué)生需要在情境中提取出“重卦”的定義,并結(jié)合具體的圖例信息,進(jìn)一步理解“重卦”的定義,故學(xué)生需要從情境中提取2個(gè)信息,并分析這些信息對(duì)于解題的意義.本題屬于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次的情境．所以教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖片中的例子用數(shù)學(xué)的眼光觀察情境中對(duì)重卦的描述,提取出已知信息并抽象出概率模型．已知信息:每個(gè)重卦中有6個(gè)爻、每個(gè)爻有陽爻和陰爻兩種可能．未知信息:重卦恰有3個(gè)陽爻的概率．

思考首先,教師啟發(fā)學(xué)生根據(jù)概率的定義,分析求解該問題需要由已知推出哪些所需的中間量,從而引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知得出由陽爻或陰爻組成的6個(gè)爻有多少種可能,即能構(gòu)成多少個(gè)重卦,以及其中恰好包含3個(gè)陽爻的重卦的數(shù)量．在此基礎(chǔ)上,再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)排列組合的相關(guān)知識(shí),求得這些中間量．

三、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次情境題

由題意可知,對(duì)折3次可得到2.5dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm×1.5dm四種規(guī)格的圖形，對(duì)折4次可得到1.25dm×12dm,2.5dm×6dm,5dm×3dm,10dm×1.5dm,20dm×0.75dm五種規(guī)格的圖形．

四、結(jié)束語

鑒于數(shù)學(xué)問題情境有多種多樣,教師在日常教學(xué)中不僅要重視情境的創(chuàng)設(shè),讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué),而且要重視如何“破解”情境,發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)模型,讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)解決情境問題的要領(lǐng)．“觀察——思考——表達(dá)”是掌握“三會(huì)”的要領(lǐng),也是情境問題解答的要領(lǐng)．觀察是第一步也是極其關(guān)鍵的一步,不僅要觀察題目所給的條件,觀察圖形的結(jié)構(gòu)和圖形各要素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,有時(shí)還需要結(jié)合情境加以想象性的觀察.例如前面的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次情境題,學(xué)生可以結(jié)合語言文字描述進(jìn)行活動(dòng)操作想象,并在活動(dòng)場(chǎng)景想象中加以觀察．觀察是正確思考的前提,思考則是問題解決的“機(jī)關(guān)”．思考就是要在已知和未知之間搭建聯(lián)結(jié)的橋梁,將條件與條件進(jìn)行關(guān)聯(lián)和整合分析,不斷生成新的已知,直至把最后要解決的未知變成已知,這樣橋梁就自然搭建好了．表達(dá)是數(shù)學(xué)問題情境解決的成果體現(xiàn),是將觀察和思考的成果用數(shù)學(xué)的方式簡(jiǎn)潔地、有邏輯地呈現(xiàn)．學(xué)生真實(shí)地經(jīng)歷“觀察

——思考——表達(dá)”這一過程,才能真正落實(shí)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．