拓?fù)淝袚Q下IT2 T-S模糊非線性多智能體系統(tǒng)全局逆最優(yōu)控制

魏文軍 尉晶波

(1.蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院,甘肅蘭州 730070;2.蘭州交通大學(xué)光電技術(shù)與智能控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,甘肅蘭州 730070)

1 引言

多智能體系統(tǒng)的一致性控制由于其廣泛的應(yīng)用,如無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制[1-2],自主移動(dòng)的智能體群[3]等,引起了廣泛的關(guān)注.一般而言,多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題分為無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者一致性[4]和有領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性[5].無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者一致性是為每個(gè)智能體設(shè)計(jì)一致性控制律,通過(guò)智能體間的局部通信,使智能體最終趨于一致.有領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性是指一個(gè)智能體作為領(lǐng)導(dǎo)者,其余智能體作為跟隨者.領(lǐng)導(dǎo)者作為指令發(fā)出者,生成參考軌跡,跟隨者通過(guò)智能體間的局部通信跟蹤到領(lǐng)導(dǎo)者信號(hào),實(shí)現(xiàn)多智能體的跟蹤一致性.

多智能體最優(yōu)一致性控制是多智能體一致性控制的一個(gè)重要的分支,在實(shí)際工程應(yīng)用中有著重要的意義.最優(yōu)控制是指在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性條件下,使得系統(tǒng)的性能指標(biāo)取得極值.文獻(xiàn)[6-8]提出了一種通過(guò)求解線性二次調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator,LQR)問(wèn)題的分布式最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方法,雖然解決了多智能體系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題,但系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間長(zhǎng).針對(duì)具有輸入約束的一般線性多智能體系統(tǒng)的最優(yōu)一致性控制問(wèn)題,文獻(xiàn)[9]利用逆最優(yōu)方法提出了基于滾動(dòng)時(shí)域控制的一致性策略,設(shè)計(jì)了最優(yōu)一致性協(xié)議.文獻(xiàn)[10]利用逆最優(yōu)方法研究了線性多智能體系統(tǒng)中各智能體狀態(tài)可測(cè)的最優(yōu)一致性控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[11-12]提出了一種基于模糊自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)控制算法,解決了多智能體系統(tǒng)的一致性最優(yōu)控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[13]提出了一種基于神經(jīng)逆最優(yōu)控制的控制律設(shè)計(jì)方法,解決了非線性離散多智能體系統(tǒng)的分散鎮(zhèn)定控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[14]為解決非線性離散多智能體系統(tǒng)的分布式逆最優(yōu)控制問(wèn)題,提出了一種基于非合作博弈的協(xié)同控制方法.而對(duì)于全局最優(yōu)控制問(wèn)題,通常需要智能體的全局信息,在實(shí)際應(yīng)用中很難獲得智能體的全局信息.在文獻(xiàn)[15]中,為每個(gè)智能體設(shè)計(jì)了分布式近似最優(yōu)控制器,解決了系統(tǒng)的分布式最優(yōu)控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[16]為解決異構(gòu)非線性多智能體系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題,通過(guò)分布式觀測(cè)器為每個(gè)智能體提供領(lǐng)導(dǎo)者信息,利用無(wú)模型近似動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法提出了一種最優(yōu)分布式控制協(xié)議.文獻(xiàn)[17]考慮了指定性能和帶有輸入死區(qū)約束的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),提出了自適應(yīng)模糊最優(yōu)控制算法,使系統(tǒng)的跟蹤誤差約束在指定范圍內(nèi).文獻(xiàn)[18]研究了一類不確定的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊反優(yōu)化控制問(wèn)題,利用反步遞歸算法提出了自適應(yīng)模糊逆向優(yōu)化方案,保證系統(tǒng)從輸入到狀態(tài)的穩(wěn)定性,并且在目標(biāo)函數(shù)方面實(shí)現(xiàn)反優(yōu)化.文獻(xiàn)[19]研究了一般線性多智能體系統(tǒng)的逆最優(yōu)控制問(wèn)題,提出了基于靜態(tài)輸出反饋的最優(yōu)協(xié)同控制協(xié)議.

在實(shí)際應(yīng)用中,智能體控制性能的好壞對(duì)系統(tǒng)整體的運(yùn)行有重要的意義,比如瞬態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能和最優(yōu)性能,其中系統(tǒng)的瞬態(tài)性能依賴于系統(tǒng)特征值的位置.針對(duì)這一點(diǎn),文獻(xiàn)[20]引入兩個(gè)關(guān)于閉環(huán)系統(tǒng)特征值的性能指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)一致性性能:收斂率和阻尼率.收斂率用于評(píng)價(jià)智能體的收斂速度,阻尼率用于評(píng)價(jià)智能體的振蕩行為.然而,現(xiàn)有的基于LQR的一致性設(shè)計(jì)方法[6-8,21]在解決這類問(wèn)題時(shí)存在重大缺陷,因?yàn)楹茈y選擇合適的權(quán)重矩陣,使得多智能體系統(tǒng)的特征值不能位于特定的區(qū)域,從而很難獲得理想的一致性性能.

上述文獻(xiàn)雖研究解決了多智能體系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題,但這些文獻(xiàn)解決智能體控制性能的同時(shí)沒(méi)有考慮系統(tǒng)整體性能最優(yōu).主要存在以下問(wèn)題:1)研究對(duì)象主要為線性或非線性離散多智能體系統(tǒng),所提的研究方法無(wú)法滿足一般連續(xù)非線性多智能體系統(tǒng);2)僅僅考慮了系統(tǒng)的整體最優(yōu)性能,單個(gè)智能體的控制效果一般且收斂時(shí)間長(zhǎng),無(wú)法滿足對(duì)單個(gè)智能體性能要求高的系統(tǒng).

基于上述討論,本文針對(duì)一般連續(xù)非線性多智能體系統(tǒng),研究拓?fù)淝袚Q下的全局最優(yōu)協(xié)同控制問(wèn)題.主要的創(chuàng)新點(diǎn)如下: 1)提出了通過(guò)一種IT2 T-S模糊模型將連續(xù)非線性系統(tǒng)等價(jià)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng);2)基于局部穩(wěn)定性理論,給出了全局逆最優(yōu)控制的充要條件和全局逆最優(yōu)控制的設(shè)計(jì)過(guò)程;3)基于全局逆最優(yōu)控制條件,設(shè)計(jì)了拓?fù)淝袚Q下全局最優(yōu)控制律,使得多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)期望性能下的全局最優(yōu)控制,同時(shí)實(shí)現(xiàn)了單個(gè)智能體的期望性能,解決了現(xiàn)有文獻(xiàn)中控制效果一般和系統(tǒng)達(dá)到一致時(shí)間長(zhǎng)的問(wèn)題.

2 圖論

考慮具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的非空有限集的加權(quán)有向圖G=(V,E,A),其中V(ν1,ν2,...,νN),邊集E ?V×V,相關(guān)的鄰接矩陣A[aij]RN×N.始于根節(jié)點(diǎn)j并終止于節(jié)點(diǎn)i的邊緣用(νj,νi)表示,這意味著信息從節(jié)點(diǎn)j流向節(jié)點(diǎn)i,邊(νj,νi)的權(quán)重aij為正.即若(νj,νi),則aij ＞0,否則,aij0.在本文中,假設(shè)沒(méi)有重復(fù)的邊和自閉環(huán),即aii0,?i{1,2,...,N}.若(νj,νi),則節(jié)點(diǎn)j稱為節(jié)點(diǎn)i的鄰接節(jié)點(diǎn).節(jié)點(diǎn)i的鄰接節(jié)點(diǎn)集表示為Ni{j|(νj,νi).定義有向圖的入度矩陣Ddiag{diRN×N,其中di定義拉普拉斯矩陣LD-A.若圖G中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)可以通過(guò)一條路徑連起來(lái),則稱圖G為連通圖.若圖G中的每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)都可以有一條有向路連接,則稱圖G為強(qiáng)連通圖.若圖G為強(qiáng)連通圖,其含有一個(gè)零特征值.圖G含有一個(gè)有向生成樹,則存在從節(jié)點(diǎn)i到圖中每個(gè)其他節(jié)點(diǎn)的有向路徑.

3 非線性多智能體系統(tǒng)

本文考慮非線性多智能體系統(tǒng)由N個(gè)非線性子系統(tǒng)組成.第i個(gè)非線性子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為

其中:i1,2,...,N,N為非線性智能體的個(gè)數(shù);AiRm×m為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣;BiRm×n為系統(tǒng)輸入矩陣;xi(t)Rm為第i個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)列向量;ui(t)Rn為第i個(gè)子系統(tǒng)的控制輸入向量;fi(.):Rm →Rm非線性函數(shù).

為了表示非線性系統(tǒng)的局部線性輸入/輸出關(guān)系,應(yīng)用一種局部線性輸入輸出關(guān)系模型[4]-IT2 T-S模糊模型.非線性系統(tǒng)可根據(jù)IT2 T-S模糊模型轉(zhuǎn)化為下列局部線性子系統(tǒng):

其中:EilRm×m,l1,2,...,r,r為模糊規(guī)則數(shù).xi[xi1xi2...xim]T;ui[ui1ui2...uin]T.

局部線性子系統(tǒng)式(2)的全局方程為

利用單點(diǎn)模糊化,乘積模糊推理和加權(quán)平均數(shù)模糊化,IT2 T-S模糊系統(tǒng)將式(1)可寫為式(4)

其中隸屬度函數(shù)

系統(tǒng)式(3)的全局動(dòng)態(tài)方程為

不失一般性,推導(dǎo)本文結(jié)論前,對(duì)IT2 T-S模糊化的多智能體系統(tǒng)做出以下假設(shè):

假設(shè)1(Bil)是可控的.

假設(shè)2圖G含有一個(gè)有向生成樹.

分別對(duì)有領(lǐng)導(dǎo)者和無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者情況下當(dāng)智能體能夠獲取鄰接智能體的狀態(tài)信息,基于LQR方法[21]設(shè)計(jì)的全局狀態(tài)反饋控制器

使得多智能體系統(tǒng)的全局目標(biāo)函數(shù)(9)最小.

其中:Kl為局部線性子系統(tǒng)全局反饋增益;Ql,Rl為已知的對(duì)稱非負(fù)定矩陣;反饋增益矩陣

其中Pl為Riccati方程式(10)的唯一正定對(duì)稱解.

式(10)可等價(jià)為

則S為李雅普諾夫漸進(jìn)穩(wěn)定的.

由引理2可推出下列命題.

命題1若以下條件成立

2)Kl是穩(wěn)定的到Pl的零空間;對(duì)于逆最優(yōu)控制問(wèn)題,Kl是最優(yōu)的和Pl為Riccati方程的半正定解.

證由式(11)可得

考慮以下性能指標(biāo):

命題2對(duì)于逆最優(yōu)控制問(wèn)題,Kl是最優(yōu)的;當(dāng)Ql≥0和Rl≥0時(shí),Pl為Riccati方程的唯一半正定解,當(dāng)條件成立

1)Kl/2是穩(wěn)定的在Pl的零空間;

2)KlBl為半正定矩陣.

由上述證明可知,對(duì)任意x0Rm且x00時(shí),系統(tǒng)性能指標(biāo)的最優(yōu)值為

4 多智能體系統(tǒng)全局逆最優(yōu)控制律設(shè)計(jì)

不失一般性,設(shè)計(jì)全局逆最優(yōu)控制律前,假設(shè)模糊

本文假設(shè)智能體i能夠獲取鄰接智能體的狀態(tài)信息,在此前提條件下研究有向拓?fù)淝袚Q下有領(lǐng)導(dǎo)者和無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的非線性多智能體系統(tǒng)全局逆最優(yōu)協(xié)同控制問(wèn)題.

4.1 有領(lǐng)導(dǎo)者多智能體系統(tǒng)全局最優(yōu)控制

假設(shè)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨著為同構(gòu)智能體.領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下:

其中:v0為領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)的狀態(tài)向量,為領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣.

設(shè)計(jì)局部子系統(tǒng)i的控制律uicKilεi,使得多智能體系統(tǒng)的所有節(jié)點(diǎn)都能同步于領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn),同時(shí)使得系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)值達(dá)到最小.

定義線性子系統(tǒng)i鄰接誤差方程為

系統(tǒng)的全局鄰接誤差方程為

模糊化的多智能體系統(tǒng)的全局閉環(huán)方程為

多智能體系統(tǒng)的全局閉環(huán)誤差方程為

引理3[10]設(shè)λi為矩陣(L+H)σ(t)的特征值.若全局閉環(huán)跟蹤誤差系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定,當(dāng)且僅當(dāng)矩陣-cλiBlKl為Hurwitz.

定理1對(duì)于全局跟蹤誤差系統(tǒng),設(shè)計(jì)分布式控制律式,當(dāng)且僅當(dāng)矩陣(L+H)σ(t)為正定矩陣,系統(tǒng)的全局二次性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu).

證(必要性) 由命題3可知,若分布式控制律u-c(L+H)σ(t)?Klε為最優(yōu),矩陣[(L+H)σ(t)?Kl](In ?B)為正定矩陣.存在一個(gè)非奇異矩陣T1滿足

其中Λ1為矩陣(L+H)σ(t)?(KlBl)的特征值對(duì)角陣.

矩陣(L+H)σ(t)和KlBl的約旦標(biāo)準(zhǔn)型分別為

將式(25)-(26)代入式(28)中,可得

由于系統(tǒng)的通信拓?fù)鋱DG包含一個(gè)生成樹,其中至少有一個(gè)非零增益連接到根節(jié)點(diǎn).因此拓?fù)鋱DG所對(duì)應(yīng)的矩陣(L+H)σ(t)的全部特征值均有正實(shí)部.假設(shè)(L+H)σ(t)有共軛復(fù)根α±jβ,其中α ＞0,0R.假設(shè)μ為矩陣KlBl的一個(gè)非零特征值,則μ(α±jβ)為Λ1的特征值.可得μ(α±jβ)＞0.當(dāng)μ＞0和β0時(shí),矩陣(L+H)σ(t)為正定的.

(充分性) 設(shè)Kl[K1K2]Rn×m,矩陣

其中ΣSA11+A21-cλiB1K1-(SA12+A22-cλiB1K2)S.

當(dāng)cλi ＞1,推導(dǎo)可知(x)＜0,因此-cλiBlKl為Hurwitz.根據(jù)引理2,選擇S,F和c ＞cmin,使得系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定的.根據(jù)命題3可知,c(L+H)σ(t)Kl為最優(yōu)反饋控制增益.

其中Pl為Riccati方程式(36)的唯一正定對(duì)稱解.

證畢.

4.2 無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者多智能體系統(tǒng)全局最優(yōu)控制

對(duì)于無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,當(dāng)時(shí)間t →∞,智能體的狀態(tài)能夠達(dá)到同一狀態(tài).即

通過(guò)設(shè)計(jì)分布式一致性控制律ui,使得系統(tǒng)的每個(gè)智能體達(dá)到同一狀態(tài),并使系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到最小.設(shè)計(jì)的無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者局部線性子系統(tǒng)的全局分布式一致性控制律

其中:c ＞0,反饋增益矩陣KlRn×m.線性化的多智能體的閉環(huán)系統(tǒng)方程可寫為

全局閉環(huán)系統(tǒng)可寫為

假設(shè)系統(tǒng)的通信拓?fù)錇閺?qiáng)連通的,拓?fù)鋱D對(duì)應(yīng)的Laplace矩陣Lσ(t)的特征值λ10,其余的特征值均為有正實(shí)部的非零特征值.

定理2對(duì)于全局閉環(huán)系統(tǒng)(40),在分布式一致性控制律u作用下,系統(tǒng)的全局二次性能指標(biāo)式(41)是最優(yōu)的.

此外,由于全局逆最優(yōu)分布式一致性控制律式(38)穩(wěn)定在零空間Im ?Lσ(t),系統(tǒng)的通信拓?fù)錇閺?qiáng)連通拓?fù)?因此在最優(yōu)控制律作用下,智能體系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)一致性.

于是cLσ(t)?Kl可寫為

下面證明cLσ(t)?Kl能夠漸近穩(wěn)定到Lσ(t)?In的零空間.

對(duì)角陣J3是由一個(gè)零特征值和n-1個(gè)正特征值構(gòu)成的對(duì)角陣,即J3diag{0,λ2,...,λn}.由此可推導(dǎo)得出

根據(jù)引理1可知,cLσ(t)?Kl為漸近穩(wěn)定到零空間Lσ(t)?In.因此,命題1中的條件均滿足,無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者分布式反饋控制律為最優(yōu)的且漸近穩(wěn)定,非線性多智能體系統(tǒng)中的每個(gè)智能體能夠最終達(dá)到一致.證畢.

從實(shí)際角度來(lái)看,多智能體系統(tǒng)的一致性能夠達(dá)到預(yù)期的期望值是非常有意義的.系統(tǒng)中的每個(gè)智能體的瞬態(tài)狀態(tài)取決于系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的位置.為了更好地使多智能體系統(tǒng)的一致性能夠達(dá)到期望值,本文采用逆最優(yōu)分布式反饋控制方法解決系統(tǒng)的一致性能夠達(dá)到預(yù)期值.針對(duì)有無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者非線性多智能體系統(tǒng),給出逆最優(yōu)分布式控制律設(shè)計(jì)步驟.

1) 無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng).

步驟1:根據(jù)IT2 T-S模糊將非線性多智能體系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為多個(gè)局部線性子系統(tǒng).

步驟2:根據(jù)智能體間的通信拓?fù)銵σ(t),求出對(duì)應(yīng)的最小特征值并令c1/

步驟3:設(shè)計(jì)矩陣S使得A11-A12S的m-n個(gè)特征值{ω1,ω2,...,ωm-n}全部位于指定位置.

步驟4:根據(jù)式(34)求解反饋增益矩陣Kl并令γ→+∞.

步驟5:根據(jù)求得的反饋增益矩陣Kl確定系統(tǒng)的逆最優(yōu)分布式控制律.

2) 有領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng).

步驟1:根據(jù)IT2 T-S模糊將非線性多智能體系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為多個(gè)局部線性子系統(tǒng).

步驟2:根據(jù)智能體間的通信拓?fù)?L+H)σ(t),求出對(duì)應(yīng)的最小特征值并令c1/

步驟3:設(shè)計(jì)矩陣S使得A11-A12S的m-n個(gè)特征值{ω1,ω2,...,ωm-n}全部位于指定位置.

步驟4:根據(jù)式(34)求解反饋增益矩陣Kl并令γ→+∞.

步驟5:根據(jù)求得的反饋增益矩陣Kl設(shè)計(jì)系統(tǒng)的全局逆最優(yōu)分布式一致性控制律.

5 仿真算例

下面分別對(duì)有向拓?fù)淝袚Q下的有無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者非線性多智能體系統(tǒng)的全局最優(yōu)控制給出算例仿真,驗(yàn)證逆最優(yōu)分布式反饋控制律的有效性和正確性.

5.1 無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)

非線性系統(tǒng)由6個(gè)非線性智能體組成,智能體間的有向切換拓?fù)淙鐖D1所示,1 s為一個(gè)拓?fù)淝袚Q周期.

圖1 系統(tǒng)的有向切換拓?fù)銯ig.1 The system’s directional switching topologies

非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程如式(48)所示.

利用IT2 T-S模糊規(guī)則將非線性系統(tǒng)化為不同模糊規(guī)則下的線性子系統(tǒng).線性子系統(tǒng)可寫為

規(guī)則li1若xi2在0的微小鄰域內(nèi),則

規(guī)則li2若xi2在±π/2的微小鄰域內(nèi),則

模糊規(guī)則所對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)如式(51)所示.

系統(tǒng)的有向切換拓?fù)淙鐖D1所示,其對(duì)應(yīng)的Laplace矩陣L的最小正特征值0.8340,可得出c1.1991.

1) 基于LQR分布式反饋控制律.

選擇權(quán)重矩陣QI3和R1,根據(jù)式(10)求解最優(yōu)反饋增益Kl.在控制律式(12)作用下,非線性多智能體系統(tǒng)的一致性如圖2所示,系統(tǒng)誤差如圖3所示,所有的智能體在4.3 s達(dá)到一致.

圖2 基于LQR分布式反饋控制律下智能體狀態(tài)Fig.2 Agent state under LQR distributed feedback control law

圖3 基于LQR分布式反饋控制律智能體誤差Fig.3 Agent error under LQR distributed feedback control law

2) 逆最優(yōu)分布式反饋控制律.

設(shè)系統(tǒng)中A11-A12S對(duì)應(yīng)的特征值為-3±j0.5,γ20.在逆最優(yōu)控制律作用下,智能體的狀態(tài)如圖4所示,智能體間的誤差如圖5所示,所有的智能體大約在2 s達(dá)到一致,誤差衰減為零.

圖4 逆最優(yōu)分布式反饋控制律智能體狀態(tài)Fig.4 Agent state under Inverse optimal distributed feedback control law

通過(guò)圖3和圖5對(duì)比,基于逆最優(yōu)方法設(shè)計(jì)的分布式一致性最優(yōu)反饋控制律作用于多智能體系統(tǒng)時(shí),非線性智能體達(dá)到一致所需時(shí)間明顯縮短,對(duì)系統(tǒng)有很好的控制效果.

圖5 逆最優(yōu)分布式反饋控制律系統(tǒng)誤差Fig.5 Agent state under Inverse optimal distributed feedback control law

5.2 有領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)

系統(tǒng)由6個(gè)非線性智能體和1個(gè)非線性領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成,通信拓?fù)淙鐖D6所示,拓?fù)淝袚Q周期為1 s.

圖6 系統(tǒng)的有向切換拓?fù)銯ig.6 The system’s directional switching topologies

非線性領(lǐng)導(dǎo)跟隨者多智能體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如式(48)所示.

非線性領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)方程如式(52)所示

通信拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)圖2對(duì)應(yīng)的矩陣(L+H)σ(t)最小正特征值0.4544,則c2.2007.領(lǐng)導(dǎo)跟隨者系統(tǒng)在不同控制律下的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性.

1) 基于LQR分布式反饋控制律.

選擇權(quán)重矩陣QI3和R1,根據(jù)式(10)求解最優(yōu)反饋增益矩陣Kl.在控制律式(12)作用下,非線性智能體的狀態(tài)如圖7所示,系統(tǒng)誤差如圖8所示,所有智能體大約在5 s時(shí)跟蹤到領(lǐng)導(dǎo)者,誤差衰減為零.

圖7 基于LQR分布式反饋控制律智能體狀態(tài)Fig.7 Agent state under LQR distributed feedback control law

圖8 基于LQR分布式反饋控制律下智能體誤差Fig.8 Agent error under LQR distributed feedback control law

2) 逆最優(yōu)分布式反饋控制律.

假設(shè)A11-A12S對(duì)應(yīng)的特征值為-2±j1.2,γ100,在逆最優(yōu)分布式反饋控制律作用下,智能體的狀態(tài)如圖9所示,系統(tǒng)誤差如圖10所示,所有智能體在4 s達(dá)到一致,系統(tǒng)誤差衰減為零,系統(tǒng)的一致性滿足期望值.

圖9 逆最優(yōu)分布式反饋控制律智能體狀態(tài)Fig.9 Agent state under inverse optimal distributed feedback control law

對(duì)比圖8和圖10,有領(lǐng)導(dǎo)者非線性多智能體系統(tǒng)通過(guò)逆最優(yōu)法設(shè)計(jì)的控制律對(duì)非線性多智能體系統(tǒng)有更好的控制效果,智能體跟隨到領(lǐng)導(dǎo)者所需時(shí)間比一般控制律更短.

圖10 逆最優(yōu)分布式反饋控制律智能體誤差Fig.10 Agent error under inverse optimal distributed feedback control law

6 結(jié)論

本文研究了拓?fù)淝袚Q下連續(xù)非線性多智能體系統(tǒng)全局逆最優(yōu)控制問(wèn)題,提出了用于一般連續(xù)非線性系統(tǒng)的方法,通過(guò)IT2 T-S模糊模型將非線性系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)方程;基于逆最優(yōu)方法設(shè)計(jì)了拓?fù)淝袚Q下的一致性最優(yōu)協(xié)同控制律,與基于LQR的方法相比,基于逆最優(yōu)方法的最大優(yōu)勢(shì)在于: 1)對(duì)非線性多智能體系統(tǒng)有更好地控制效果,控制效果能夠滿足要求;2)智能體趨于一致或跟隨到領(lǐng)導(dǎo)者所需時(shí)間更短,多智能體系統(tǒng)能夠快速的達(dá)到期望值.