固定時間預(yù)測器下的欠驅(qū)動無人艇路徑跟蹤控制

王山丹,孫夢薇,劉 劍,孫長銀

(1.東南大學(xué)自動化學(xué)院,江蘇南京 210096;2.安徽大學(xué)物質(zhì)科學(xué)與信息技術(shù)研究院,安徽合肥 230039)

1 引言

21世紀(jì)是海洋的世紀(jì).海洋中豐富的礦物資源和漁業(yè)資源不僅能提供巨大的經(jīng)濟(jì)價值,而且海洋環(huán)境作為國家領(lǐng)土的重要組成部分,是國家主權(quán)行使的地理空間之一,也是關(guān)乎國家安全的國防屏障.因此,為合理開發(fā)海洋資源,提高海洋軍事作戰(zhàn)能力,維持國家領(lǐng)海地區(qū)和平穩(wěn)定,對海洋無人裝備進(jìn)行分析研究尤為重要._________

無人艇是一類能在水面自主移動,實現(xiàn)海上作業(yè)的智能船艇,具有無人自主、成本較低、可在危險場景下作業(yè)等特點.通過搭載不同的傳感器,其可實現(xiàn)自主導(dǎo)航定位、路徑跟蹤、目標(biāo)探測、環(huán)境感知等功能.在民用領(lǐng)域,水面無人艇不僅可應(yīng)用于捕撈、搜救、測量、環(huán)境監(jiān)測等方面.而且在軍用領(lǐng)域,水面無人艇也能應(yīng)用于自主巡邏、信息通訊、掃雷、水面防衛(wèi)等方面[1-2].

高精度的路徑跟蹤使無人艇在指定時間自主航行到指定地點是無人艇完成上述作業(yè)的基礎(chǔ).無人艇作為一類典型的欠驅(qū)動系統(tǒng),由尾部螺旋槳產(chǎn)生的縱向推力和方向舵產(chǎn)生的轉(zhuǎn)舵力矩控制其在水平面和艏向角3個自由度上的運動,且其在各個方向上的運動存在耦合.在給定路線的情況下,如何控制無人艇螺旋槳和方向舵,使無人艇精確的沿著規(guī)定路徑前進(jìn),已成為當(dāng)下的研究熱點[3].

無人艇的路徑跟蹤常采用導(dǎo)航律與控制律分離的結(jié)構(gòu)獨立設(shè)計[4].在導(dǎo)航律部分計算期望偏航角使無人艇的跟蹤位置誤差收斂到零,再設(shè)計控制器控制轉(zhuǎn)舵力矩使無人艇能精確跟蹤期望偏航角,始終沿期望路徑前進(jìn).常用的控制方法有非線性制導(dǎo)法[5-7]、向量場法[8-9]、視線法(line-of-sight,LOS)[10-13]等.視線法將船艇頭部的朝向與期望路徑的交點作為參考目標(biāo)點,通過調(diào)整艏向角使其精確的沿著目標(biāo)路徑運動.由于視線法設(shè)計相對簡單,使用方便,已被廣泛應(yīng)用于無人艇的路徑跟蹤[10,15-16].文獻(xiàn)[17]首先提出將基于視線法的制導(dǎo)律用于欠驅(qū)動無人艇路徑跟蹤,并利用反步法設(shè)計非線性控制器,證明所提出的導(dǎo)航方法和控制系統(tǒng)的有效性.文獻(xiàn)[11]進(jìn)一步在存在較小環(huán)境擾動的情況下利用視線法實現(xiàn)了對由直線和圓弧組成的杜賓斯路徑的路徑跟蹤,該方法認(rèn)為無人艇側(cè)滑角小于5°,近似為常數(shù).文獻(xiàn)[18]針對環(huán)境擾動較大的情況提出了一種基于預(yù)測器的導(dǎo)航律(predictorbased line-of-sight,PLOS),通過預(yù)測跟蹤誤差估計未知側(cè)滑角,對環(huán)境擾動進(jìn)行補(bǔ)償,從而使導(dǎo)航更準(zhǔn)確,減少震蕩.文獻(xiàn)[4]在此基礎(chǔ)上提出一種能在有限時間收斂的預(yù)測器,能使預(yù)測誤差更快收斂到零,還利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(radial basis function neural network,RBFNN)對無人艇模型進(jìn)行訓(xùn)練,減少模型不確定性,解決了由洋流等因素引起的大測滑角的問題,提高了跟蹤穩(wěn)定性.

基于以上分析,本文在傳統(tǒng)視線法制導(dǎo)的基礎(chǔ)上,首次提出了一種新的基于固定時間預(yù)測器的制導(dǎo)方法,并證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.據(jù)筆者所知,目前還沒有人做過基于固定時間預(yù)測器制導(dǎo)律的相關(guān)內(nèi)容.考慮到實際海洋環(huán)境中存在外部環(huán)境干擾及不確定,本文采用固定時間預(yù)測器對跟蹤位置誤差進(jìn)行預(yù)測,在線估計外部干擾產(chǎn)生的側(cè)滑角,保證預(yù)測器誤差在固定時間收斂到零,且收斂時間上界與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān),實現(xiàn)對側(cè)滑角的補(bǔ)償.在所提出的固定時間制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上,為了保證跟蹤控制的有效收斂,本文進(jìn)一步設(shè)計了固定時間收斂的控制器,使無人艇艏向角在固定時間收斂到期望艏向角,以滿足導(dǎo)航律的要求.該方法設(shè)計簡單、計算量小、且收斂速度快,收斂時間不依賴于初始值.最后,通過幾組仿真實驗,驗證了本文所設(shè)計的制導(dǎo)律和控制器的有效性.

2 問題描述

2.1 數(shù)學(xué)模型

無人艇的固定時間路徑跟蹤問題是基于其運動學(xué)和動力學(xué)模型,研究如何設(shè)計控制輸入,使跟蹤誤差在固定時間收斂到零.為了跟蹤給定路徑,首先設(shè)計導(dǎo)航律,根據(jù)跟蹤誤差在固定時間收斂到零計算出期望艏向角,將路徑跟蹤問題轉(zhuǎn)化成艏向角跟蹤問題,再設(shè)計控制器控制轉(zhuǎn)舵力矩,使無人艇的艏向角在固定時間收斂到期望值.

本文研究的欠驅(qū)動無人艇有2個控制器,分別是船尾部的推進(jìn)器控制船向前運動和船舵用來控制船的航向,使船在3個自由度上運動.無人艇在3個自由度上的運動在大地坐標(biāo)系{E}下可以表示為[11]

其中:x,y表示無人艇的位置,u,v分別表示船的縱蕩和橫蕩速度,ψ和r分別表示船的艏向角和角速度.

忽略模型攝動和環(huán)境干擾力等不確定性的影響,無人艇在水平面運動的動力學(xué)模型可以表示為[19-20]

其中:Fu為螺旋槳推力,Tr為方向舵力矩,m11,m22,m33分別表示船的慣性矩陣在船體坐標(biāo)系3個坐標(biāo)軸上的分量,Xu,Yv,Nr和X|u|u,Y|v|v,N|r|r分別為一階阻尼和二階阻尼系數(shù).

2.2 跟蹤誤差模型

為實現(xiàn)無人艇的路徑跟蹤,在船的期望路徑上定義一個坐標(biāo)為(xp(θ),yp(θ))的虛擬船,視作跟蹤目標(biāo),所以沿期望路徑切向和法向方向上的跟蹤誤差可以表示為

其中γparctan為虛擬船在期望路徑上的航向角.

對式(3)求導(dǎo)可得

其中upcosγp+sinγp為虛擬船沿期望路徑的運動速度.

將式(1)代入式(4)-(5)中得到

其中:U為無人艇的運動速度,βarctan(v/u)為側(cè)滑角.側(cè)滑角通常由風(fēng)浪等外部擾動造成,且隨時間緩慢變化,可認(rèn)為≈0.且側(cè)滑角非常小,可近似認(rèn)為cosβ≈1,sinβ≈β[11].

整理可將式(6)-(7)的無人艇運動學(xué)跟蹤誤差模型改寫為

3 導(dǎo)航律

3.1 關(guān)于側(cè)滑角的固定時間預(yù)測器

引理1[21]對于系統(tǒng)f(x),若存在連續(xù)可微函數(shù)V(x),正實數(shù)μ1,μ2,(0,1),(1,+∞)使

引理2[14,23]對于連續(xù)可微函數(shù)V(x),存在正實數(shù)μ1,μ2(0,∞),(0,1),(1,∞)使

其中θ是一個標(biāo)量并且滿足0＜θ ＜1,收斂時間T滿足

引理3[2,25]假設(shè)x1,x2≥0,0＜p≤1,q ＞1,則有

定義1[22]如果系統(tǒng)的原點是Lyapunov穩(wěn)定的,并且存在一個設(shè)定時間T≥0,在t≥T時,使得任意的解能夠收斂到平衡點的一個充分小的鄰域內(nèi),那么稱系統(tǒng)的原點是實際固定時間穩(wěn)定的.此外,存在一個正常數(shù)Tmax使得T≤Tmax對于任意的初始狀態(tài)都是成立的.

在沒有外界擾動的情況下,無人艇的推進(jìn)力僅由尾部推進(jìn)器提供,因此無人艇艏向即為實際運動的方向.傳統(tǒng)的視線法制導(dǎo)律根據(jù)無人艇實際位置和期望路徑計算期望艏向角,通過控制無人艇轉(zhuǎn)向舵,使其在期望艏向角下朝期望路徑上的虛擬目標(biāo)點移動.但由于風(fēng)浪等環(huán)境擾動,無人艇不僅受推進(jìn)力的作用,還受到來自其他方向的擾動力,使無人艇艏向和實際航向之間產(chǎn)生一個夾角,這個角被稱為側(cè)滑角.側(cè)滑角的存在使得無人艇實際艏向角難以追蹤期望航向,無法精確跟蹤給定路徑.為了獲取環(huán)境擾動造成的未知側(cè)滑角,對其進(jìn)行補(bǔ)償,基于文獻(xiàn)[4]的研究成果,本文設(shè)計了式(17)-(18)所示的固定時間位置誤差預(yù)測器.

其中C為待設(shè)計的正常數(shù).

為證明在式(20)-(22)所設(shè)計預(yù)測器下,系統(tǒng)固定時間穩(wěn)定,設(shè)計李雅普諾夫函數(shù)如下所示:

對式(23)求導(dǎo)可得

3.2 導(dǎo)航律設(shè)計

視線法是一類非線性路徑跟蹤方法,目前已被廣泛用于欠驅(qū)動無人艇的跟蹤控制[10-12].它的主要思想是模仿舵手的行為,以無人艇頭部朝向與期望路徑的交點作為參考目標(biāo)點,并不斷調(diào)整航向達(dá)到參考目標(biāo)點.其基本原理是設(shè)計無人艇期望艏向角,使無人艇的位置誤差收斂到零,從而精確地跟蹤給定路徑.將無人艇的期望艏向角定義為[11]

其中:Δ為前視距離,γp可由期望路徑求得.

將期望路徑上虛擬船的速度定義為

虛擬船速度up可以作為虛擬控制輸入來穩(wěn)定無人艇的跟蹤誤差,ku為正常數(shù)參數(shù).

為證明在期望艏向角下,無人艇的位置誤差能收斂到零,精確跟蹤期望路徑,選取李雅普諾夫能量函數(shù)

由式(26)可得

由式(26)(29)-(30)可得

對式(28)求導(dǎo),并將式(31)-(32)代入得到

將式(34)代入式(33)得

令

在第3.1節(jié)中已證明,存在T,當(dāng)t ＞T時,()能收斂到原點附近充分小的鄰域內(nèi).因此,t ＞T時,在式(26)所示的艏向角下,系統(tǒng)(20)-(21)一致漸近穩(wěn)定,所預(yù)測的無人艇到期望路徑上虛擬點的位置誤差能收斂到原點.

4 控制器設(shè)計

4.1 控制目標(biāo)

在導(dǎo)航律設(shè)計中,對于給定的期望跟蹤路徑,已根據(jù)預(yù)測跟蹤誤差和預(yù)測側(cè)滑角計算出期望艏向角,使無人艇在期望艏向角下到給定路徑的位置誤差收斂到零.但由于艏向角不能被直接控制,本節(jié)將根據(jù)無人艇動力學(xué)模型(2),設(shè)計控制船舵轉(zhuǎn)向的力矩Tr作為控制器,控制無人艇艏向角.為保證控制器的有效收斂,控制器的設(shè)計分為兩步.首先設(shè)計期望艏搖角速度,保證在期望艏搖角速度下,無人艇艏向角誤差能固定時間收斂到零,再根據(jù)無人艇動力學(xué)模型,利用期望艏搖角速度計算出所需要的轉(zhuǎn)向力矩,從而實現(xiàn)固定時間收斂的控制器設(shè)計.

4.2 航向跟蹤控制器設(shè)計

為跟蹤艏向角,設(shè)計期望艏搖角速度為

將艏向角跟蹤誤差定義為

為證明在式(36)所示的艏搖角速度下,無人艇艏向角誤差能在固定時間收斂到零,構(gòu)造關(guān)于艏向角誤差的李雅普諾夫函數(shù)如下:

對式(38)求導(dǎo)得

將式(36)代入式(39)可以改寫為

由引理1,該系統(tǒng)是固定時間穩(wěn)定的,即通過設(shè)計如式(36)所示的虛擬控制輸入rd,艏向角誤差ψe可以在固定時間收斂到原點.下面將根據(jù)無人艇運動學(xué)模型和虛擬控制輸入rd計算出轉(zhuǎn)向控制力矩Tr.

將無人艇艏搖角速度和跟蹤速度誤差定義為

根據(jù)動力學(xué)模型設(shè)計欠驅(qū)動無人艇控制船舵的轉(zhuǎn)向力矩Tr為

為證明在式(43)的控制輸入下,無人艇的艏搖角速度和跟蹤誤差可以收斂到零點,可設(shè)計如下的李雅普諾夫方程:

將式(43)代入式(2)有

對式(44)求導(dǎo),并將式(45)代入

由引理2可知,該系統(tǒng)是固定時間穩(wěn)定的,因此,通過設(shè)計如(43)所示的控制力矩,無人艇艏搖角速度跟蹤誤差可以在固定時間收斂到零,艏向角跟蹤誤差也在固定時間收斂到零,能有效跟蹤第3節(jié)導(dǎo)航律所設(shè)計的期望艏向角.相較于反步法和設(shè)計滑模面的控制方法,本文所設(shè)計的固定時間收斂的控制器能更快跟蹤期望艏向角,且收斂時間上界不依賴于艏向角初始值.

5 仿真實驗與分析

5.1 直線路徑跟蹤

本文選取的無人艇動力學(xué)模型參數(shù)如表1所示[20],且m11215 kg,m22265 kg,m3380 kg.m2.首先,利用本文提出的基于固定時間預(yù)測器的無人艇路徑跟蹤方法對直線路徑進(jìn)行跟蹤.選取待跟蹤路徑xθ,yθ,無人艇初始位置和姿態(tài)角(x,y,φ)(-10,10,0),初始速度和轉(zhuǎn)向角速度(u,v,r)(0,0,0),選取的控制器仿真參數(shù)k10.7,k20.5,k30.7,k40.5,k50.7,k60.5,ku3,kx10.5,kx20.2,ky10.4,ky20.1,m3/7,n7/5,C0.8,δ5.

表1 無人艇動力學(xué)模型參數(shù)Table 1 Dynamic parameters of the USV

圖1-3給出了在本文提出的控制方法下無人艇沿直線路徑運動的位姿變換情況,證明利用本文所設(shè)計的控制器,無人艇能精確的跟蹤給定直線路徑,且曲線平滑,誤差漸近收斂.

圖1 USV跟蹤直線路徑效果圖Fig.1 Path following performance of straight line

圖1給出了USV跟蹤直線路徑的效果圖,圖2為無人艇實際偏航角和期望艏向角隨時間變化情況,圖3為橫向和縱向兩個方向上的跟蹤誤差隨時間變化情況,由圖可以看出本文所設(shè)計的固定時間收斂的控制器能使無人艇很好的跟蹤期望艏向角,且無人艇在x軸和y軸兩個方向上的位置誤差分量能收斂到零.

圖2 USV偏航角跟蹤表現(xiàn)Fig.2 The reference heading and the actual heading angle

圖3 USV路徑跟蹤誤差Fig.3 Along-tracking error and cross-tracking error

將本文提出的固定時間預(yù)測器對跟蹤誤差的預(yù)測誤差與有限時間預(yù)測器的預(yù)測誤差進(jìn)行對比,選取預(yù)測器參數(shù)k10.5,k20.5,m3/7,n7/5,根據(jù)引理2,在δ0.9時,可以得到Tmax20.5 s.在不同初始條件下預(yù)測器預(yù)測誤差的仿真結(jié)果如圖4-5所示.

圖4 預(yù)測器預(yù)測誤差(無人艇初始位置為(-10,10))Fig.4 The predictor error(initial position of USV(-10,10))

圖4為無人艇初始位置在(-10,10)的預(yù)測器預(yù)測預(yù)測誤差,圖5為無人艇初始位置在(-50,50)的預(yù)測器預(yù)測預(yù)測誤差,初始偏航角均為設(shè)0.進(jìn)一步選取不同的控制參數(shù)m,n,和控制增益參數(shù)k1,k2,分析固定時間預(yù)測器的收斂時間與控制參數(shù)的關(guān)系,在無人艇初始位置為(-10,10)時預(yù)測器預(yù)測誤差與時間的變化關(guān)系如圖6-7所示.

圖5 預(yù)測器預(yù)測誤差(無人艇初始位置為(-50,50))Fig.5 The predictor error(initial position of USV(-50,50))

圖6 不同控制參數(shù)m,n下預(yù)測器預(yù)測誤差Fig.6 The predictor error with different control parameters

圖7 不同控制增益參數(shù)k1,k2下預(yù)測器預(yù)測誤差Fig.7 The predictor error with different gain parameters

仿真結(jié)果表明,當(dāng)選取的控制參數(shù)m越小n越大時,預(yù)測器收斂時間越小.當(dāng)選取的控制增益參數(shù)k1,k2越大時,預(yù)測器收斂時間也越小.對比圖4和圖5可以看出預(yù)測誤差在3 s時已經(jīng)收斂到零,滿足T≤Tmax,且本文提出的基于固定時間預(yù)測器相比于有限時間預(yù)測器,預(yù)測誤差收斂時間與誤差初始值無關(guān),能更快收斂,預(yù)測性能更好.

5.2 曲線路徑跟蹤

第2組仿真實驗將期望路徑設(shè)置為曲線,無人艇初始位置和姿態(tài)角為(x,y,φ)(-5,8,0),初始速度和轉(zhuǎn)向角速度為(u,v,r)(0,0,0),期望路徑曲線設(shè)計為x(θ)1.5θ,y(θ)10+1.5 sin(0.1θ).無人艇在固定時間預(yù)測器和有限時間預(yù)測器的制導(dǎo)律下對曲線路徑的跟蹤效果如圖8所示,跟蹤誤差如圖9所示,期望偏航角與真實偏航角隨時間的變化關(guān)系如圖10所示.

圖8 USV跟蹤曲線路徑效果圖Fig.8 Path following performance of curved path

圖9 USV路徑跟蹤誤差Fig.9 Along-tracking error and cross-tracking error

圖10 USV偏航角跟蹤表現(xiàn)Fig.10 The reference heading and the actual heading angle

由圖8可以看出,在相同初始條件下,基于固定時間預(yù)測器導(dǎo)航律的無人艇跟蹤曲線能更快收斂到期望路徑上.

5.3 抗干擾表現(xiàn)

為驗證在風(fēng)浪等復(fù)雜等外部干擾情況下,本文所提出的控制方法的有效性,實驗3在動力學(xué)模型式(2)中加入了時變擾動

并將無人艇期望路徑曲線設(shè)計為x(θ)θ,y(θ)θ+10 sin(0.1θ),初始位置和姿態(tài)角為(x,y,φ)(10,18,0),初始速度和轉(zhuǎn)向角速度為(u,v,r)(0,0,0)[4,24].在引入外部環(huán)境干擾后,在選取同樣控制參數(shù)的條件下,分別使用基于固定時間預(yù)測器的制導(dǎo)方法與有限時間預(yù)測器的制導(dǎo)方法進(jìn)行仿真實驗,其跟蹤表現(xiàn)和跟蹤誤差分別如圖11和圖12所示,對期望偏航角的跟蹤效果如圖13所示.

圖11 在時變擾動下USV跟蹤效果Fig.11 Path following performance with time-varying disturbance

圖12 在時變擾動下USV路徑跟蹤誤差Fig.12 Along-tracking error and cross-tracking error with time-varying disturbance

圖13 在時變擾動下USV偏航角跟蹤表現(xiàn)Fig.13 The reference heading and actual heading angle with time-varying disturbance

圖12表明,本文提出的基于固定時間預(yù)測器的控制方法能在外部擾動存在的情況下跟蹤期望路徑,跟蹤誤差在零附近較小的鄰域內(nèi)變化,且相較于基于有限時間預(yù)測器的控制方法,基于固定時間預(yù)測器的控制方法收斂時間更短,跟蹤誤差的波動范圍也更小,更穩(wěn)定.圖13為基于有限時間和固定時間兩種預(yù)測器的制導(dǎo)律所計算出的期望航向角的變化情況,可以看出隨著曲線路徑曲率變化,計算出的期望航向角也在變化,且期望航向角也會隨著風(fēng)浪等外部擾動發(fā)生小幅度波動,但本文提出的路徑跟蹤方法仍能很好的跟蹤期望航向角.

6 結(jié)論

對于無人艇的路徑跟蹤問題,本文首先在傳統(tǒng)視線法制導(dǎo)的基礎(chǔ)上提出了一種基于固定時間預(yù)測器的制導(dǎo)律,將路徑跟蹤問題轉(zhuǎn)化成艏向角跟蹤問題,證明在期望艏向角下,無人艇能跟蹤給定路徑.對于外部擾動,本文提出的固定時間預(yù)測器能預(yù)測無人艇跟蹤誤差,從而補(bǔ)償環(huán)境擾動造成的未知側(cè)滑角,且證明了該預(yù)測器預(yù)測誤差能在固定時間收斂,且收斂時間不依賴于誤差初始值.在此基礎(chǔ)上文章進(jìn)一步根據(jù)第3節(jié)所提出的制導(dǎo)律設(shè)計了固定時間收斂的控制器,控制無人艇轉(zhuǎn)艏力矩使無人艇艏向角在固定時間收斂到期望值.經(jīng)過仿真驗證,本文所提出的欠驅(qū)動無人艇路徑跟蹤方法對于直線路徑和曲線路徑均具有良好的跟蹤效果,且能對外界時變擾動進(jìn)行預(yù)測補(bǔ)償.基于視線法的路徑跟蹤方法設(shè)計簡單,穩(wěn)定性強(qiáng),但本文設(shè)計的控制器只控制方向舵,無人艇以勻速跟蹤預(yù)設(shè)路徑.在未來的研究工作中希望對這一問題進(jìn)行改進(jìn),對前向推進(jìn)力和方向舵力矩同時控制,使無人艇在固定時間跟蹤上時變的軌跡.