考慮路段時(shí)間可行域的隨機(jī)后悔最小模型

魏慶琦， 鄒琪， 肖偉

(1. 重慶交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 重慶 400074； 2. 電子科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 成都 610054)

隨機(jī)擇路行程建模與應(yīng)用是城市交通行為研究領(lǐng)域的重要組成部分，隨機(jī)后悔最小(random regret minimization，RRM)擇路模型是隨機(jī)效用最大擇路模型的改進(jìn)，它綜合了路網(wǎng)的隨機(jī)性和用戶擇路的后悔厭惡心理偏好，認(rèn)為用戶擇路時(shí)不僅考慮最優(yōu)路徑，還取決于可選路徑集內(nèi)各路徑的相對(duì)表現(xiàn)。自Chorus[1]提出RRM基礎(chǔ)模型并對(duì)其持續(xù)改進(jìn)以來， RRM逐漸成為近年來廣受關(guān)注的一類隨機(jī)擇路模型。李夢(mèng)等[2]較早地將RRM擇路模型擴(kuò)展到網(wǎng)絡(luò)均衡研究中，構(gòu)建了考慮運(yùn)量分布的RRM網(wǎng)絡(luò)均衡模型。在此基礎(chǔ)上，敖翔龍等[3]基于RRM模型構(gòu)建了面向公交優(yōu)先的擁擠收費(fèi)再分配模型。楊飛等[4]將RRM模型的使用場(chǎng)景從路徑選擇擴(kuò)展到網(wǎng)約車選擇，并在成都展開實(shí)地調(diào)查，證明了RRM的有效性。Iraganaboina等[5]通過美國奧蘭多地區(qū)實(shí)地調(diào)研數(shù)據(jù)，在交通信息引導(dǎo)環(huán)境下驗(yàn)證了RRM模型對(duì)擇路行為模擬的有效性。

雖然RRM模型得到了學(xué)界的認(rèn)可，但此類模型計(jì)算路徑行程時(shí)間時(shí)，主要以正態(tài)分布的路徑時(shí)間期望為關(guān)鍵參數(shù)[1-5]，且估計(jì)期望時(shí)不考慮時(shí)間可行域。而現(xiàn)實(shí)中由于路段時(shí)間通常以自由流時(shí)間為下限，且受到限速等交通管理政策的影響，存在行程時(shí)間上限[6]。因此，基于經(jīng)典正態(tài)分布路段時(shí)間的擇路模型與現(xiàn)實(shí)存在較大差異。為了準(zhǔn)確描述可行域約束下的路段時(shí)間分布，相關(guān)研究主要采用將正態(tài)分布的路段時(shí)間分布區(qū)間截尾，并重新構(gòu)建分布函數(shù)[7-11]。通過以上處理，能夠在一定程度上規(guī)避負(fù)值或低于自由流時(shí)間等不當(dāng)假設(shè)對(duì)時(shí)間期望估計(jì)造成的影響，并降低誤差。同時(shí)，為了驗(yàn)證截尾正態(tài)分布刻畫可行域約束下行程時(shí)間的有效性，中外學(xué)者針對(duì)不同地區(qū)和人群開展了實(shí)驗(yàn)研究。姚志洪等[7]在成都市九里提東路進(jìn)行實(shí)地調(diào)查，通過拍攝車牌的方法獲取車輛在實(shí)驗(yàn)路段的行程時(shí)間，證實(shí)了截尾正態(tài)分布函數(shù)刻畫路段時(shí)間的有效性。Xu等[8]基于截尾正態(tài)分布的行程時(shí)間，構(gòu)建平均超額行程時(shí)間作為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度指標(biāo)，分析了限速引起的出行者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避對(duì)擇路和配流的影響。尹德鵬等[9]在昆明市主城區(qū)環(huán)城北路中北京路至萬華路路段展開實(shí)地調(diào)查，發(fā)現(xiàn)截尾正態(tài)分布能夠較好地?cái)M合行程時(shí)間。認(rèn)識(shí)到截尾正態(tài)分布對(duì)實(shí)際行程時(shí)間描述的準(zhǔn)確性，趙磊等[10]基于截尾正態(tài)分布路段時(shí)間的用戶均衡模型，分析了出行者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)均衡的影響。涂強(qiáng)等[11]在截尾正態(tài)分布路段時(shí)間的基礎(chǔ)上，構(gòu)建可靠網(wǎng)絡(luò)均衡模型，證實(shí)了時(shí)間邊界對(duì)模型結(jié)果存在顯著影響?？梢?，截尾正態(tài)分布對(duì)路段時(shí)間刻畫的準(zhǔn)確性已經(jīng)獲得認(rèn)可。

以上文獻(xiàn)主要針對(duì)不考慮路段時(shí)間可行域的隨機(jī)后悔擇路行為，或基于截尾正態(tài)分布路段時(shí)間的交通網(wǎng)絡(luò)均衡模型與應(yīng)用進(jìn)行了研究，但仍存在以下問題：主流RRM擇路模型以路段時(shí)間正態(tài)分布為基礎(chǔ)假設(shè)，忽視了不合理的路段時(shí)間取值對(duì)模型結(jié)果造成的誤差[1-4]；少量考慮到路段時(shí)間可行域的研究僅關(guān)注通行時(shí)間最小值，忽略了可行域上限對(duì)模型結(jié)果的影響[6-7]；考慮通行時(shí)間可行域下限的研究主要考慮行程時(shí)間可靠性，沒有與后悔擇路模型相結(jié)合[6]。

針對(duì)以上問題，現(xiàn)基于隨機(jī)退化路網(wǎng)，構(gòu)造考慮路段時(shí)間可行域的隨機(jī)后悔最小(random regret minimization model with feasible time region，F(xiàn)TR-RRM)模型，討論模型的性質(zhì)并設(shè)計(jì)相應(yīng)算法。并用兩個(gè)算例討論簡(jiǎn)單路網(wǎng)與擁擠效應(yīng)下路段時(shí)間可行域取值對(duì)模型均衡狀態(tài)的影響。

1 模型構(gòu)建

1.1 隨機(jī)退化路網(wǎng)及其行程時(shí)間估計(jì)

隨機(jī)退化路網(wǎng)[12]采用美國道路局(Bureau of Public Roads，BPR)路段時(shí)間模型，表達(dá)式為

(1)

由此可得路段時(shí)間的期望和方差[7]分別為

E(ta)=μa

(2)

var(ta)=σa

(3)

假設(shè)路段時(shí)間相互獨(dú)立，則起訖點(diǎn)(origin and destination，OD)對(duì)r之間路徑k的時(shí)間可表述為

(4)

由于各路段時(shí)間分布符合Lindeberg-Fellercentral Limit Theorem條

則路徑時(shí)間分布[7]可表示為

(5)

(6)

1.2 考慮隨機(jī)路網(wǎng)通行時(shí)間可行域的行程時(shí)間估計(jì)

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。其概率密度函數(shù)[5]為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

圖1 路徑時(shí)間概率密度Fig.1 Probability density of path time

1.3 RRM模型

連續(xù)可微的RRM模型如式(12)～式(14)所示[1]。

(12)

(13)

(14)

1.4 FTR-RRM模型

(15)

(16)

(17)

1.5 隨機(jī)路網(wǎng)通行時(shí)間可行域?qū)蠡诤瘮?shù)的影響

證明：由于φ(·)具有對(duì)稱性，且

時(shí)，有

令

(18)

(19)

得證。

推論1當(dāng)通行時(shí)間可行域以原分布期望為中心對(duì)稱時(shí)，提出的FTR-RRM模型可以獲得與RRM模型相同的流量均衡結(jié)果。

證明：由式(5)、式(6)、式(10)、式(11)考慮時(shí)間可行域的路段時(shí)間

路徑時(shí)間的期望為

=

(20)

因此，可將RRM模型視為FTR-RRM模型的一種特殊形式。

2 求解算法

基于相繼平均法(method of successive averages， MSA)設(shè)計(jì)求解算法，具體步驟如下。

步驟4“相繼平移”移動(dòng)。

步驟5檢查收斂性。計(jì)算

步驟6迭代次數(shù)判斷。迭代次數(shù)n>Nmax時(shí)算法終止；否則，轉(zhuǎn)步驟2，置n=n+1。

3 數(shù)值算例

3.1 不考慮擁擠效應(yīng)的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)

如圖2所示，基于兩路段基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)分析，每條路徑各自僅包含1條路段。無擁擠效應(yīng)時(shí)，行程時(shí)間可行域?qū)衤窙Q策和流量分布的影響。其中Q=3 000 veh，?

為車流量單位。

此時(shí)，RRM模型估計(jì)所有用戶均選擇路徑1。而考慮時(shí)間可行域后，F(xiàn)TR-RRM估計(jì)路徑1和路徑2的時(shí)間期望分別為27.98 min和26.44 min，后悔值分別為1.73和0.20，選擇概率分別為17.75%和82.25%，流量分別為532 veh和2 468 veh。更多用戶傾向于選擇路徑2。

圖2 兩路段網(wǎng)絡(luò)Fig.2 A network with two links

圖3 路段時(shí)間可行域范圍對(duì)后悔擇路 模型結(jié)果的影響Fig.3 Link time feasible region and the regret choice model results

3.2 考慮擁擠效應(yīng)的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)

如圖5所示，展示了配流算法的效率FTR-RRM均衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。如圖5所示，迭代5次后，收斂判斷值e迅速下降，迭代20次后e=9.65×10-4，迭代50次后e=1.57×10-5。算法具有較好的收斂性。為證明FTR-RRM均衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，以路段1、7、14、10、19為代表展示路段流量穩(wěn)定過程，其中：路段1代表OD點(diǎn)附近多路徑共用路段；路段7和路段14代表路網(wǎng)中心多路徑共用路段；路段19代表OD點(diǎn)附近較少路徑共用路段。顯然，各路段流量在迭代20次后趨于穩(wěn)定，迭代50次后一直保持穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4 Nguyen & Dupuis路網(wǎng)圖Fig.4 Nguyen & Dupuis road network

表1 OD對(duì)與路徑Table 1 paths between 4 OD pairs

圖5 算法收斂與流量均衡Fig.5 Algorithm convergence and flow equilibrium

為考察路段隨機(jī)通行時(shí)間可行域?qū)δＰ途饨Y(jié)果的影響，在路段可行域變化時(shí)，分別計(jì)算FTR-RRM模型均衡結(jié)果。與前一個(gè)算例不同，考慮擁擠效應(yīng)時(shí)情況更為復(fù)雜。首先，單個(gè)路段可能同屬不同路徑和OD，如路段7同屬路徑1、2、5、6、9、13、15、16、20，4個(gè)OD均有路徑經(jīng)過路段7。其次，由于不同路段的時(shí)間可行域在同一個(gè)模型中相互影響，為明確路段時(shí)間可行域與均衡結(jié)果的關(guān)系，有必要控制其他路段可行域等參數(shù)。第三，在現(xiàn)實(shí)中，通常自由流時(shí)間即為路段時(shí)間下限，但其上限受流量、天氣、事故等復(fù)雜因素綜合影響，更具不確定性。最后，由于RRM模型假設(shè)路段時(shí)間可行域取(-∞，+∞)，可將其視為FTR-RRM的一種特殊情況。因此，以路段7的通行時(shí)間為主要研究對(duì)象，分析其可行域上限對(duì)均衡時(shí)路徑1(OD1-2)、10(OD1-3)、15(OD4-2)和20(OD4-3)的影響。

(1)路徑1選擇概率迅速下降，路徑15和20選擇概率略有下降，而路徑10選擇概率明顯上升。

(2)路徑1、15、20后悔值逐漸上升，而路徑10后悔值顯著下降。

(3)路徑1、15、20時(shí)間期望值緩慢增加，而路徑10時(shí)間期望值明顯下降。

(4)路段7自身均衡流量迅速下降。

這是由于路徑1、15、20均包含路段7，而路徑10不包含路段7。因此，當(dāng)路段7通行時(shí)間可行域上限增加時(shí)，其時(shí)間期望也隨之增加，這就導(dǎo)致經(jīng)過路段7的路徑時(shí)間期望增加。而路徑10不經(jīng)過路段7，因此不受影響。但在擁擠網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜環(huán)境中，再次均衡時(shí)，路徑10的時(shí)間期望減少了。同時(shí)，各路徑時(shí)間期望的變化導(dǎo)致其后悔值和選擇概率發(fā)生相應(yīng)的變化，最終形成了新的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)均衡狀態(tài)。

圖6 路段7時(shí)間可行域上限值對(duì)FTR-RRM 均衡狀態(tài)的影響Fig.6 Influence of the upper bound of link 7 on the network equilibrium of FTR-RRM

4 結(jié)論

(1)在隨機(jī)路網(wǎng)環(huán)境下，提出FTR-RRM模型與經(jīng)典RRM模型類似，都能夠描述用戶后悔厭惡心理對(duì)隨機(jī)交通網(wǎng)絡(luò)流量均衡的影響。但FTR-RRM模型考慮了路段行程時(shí)間估計(jì)時(shí)可行域?qū)r(shí)間期望的影響，更加切合實(shí)際。

(2)當(dāng)路徑時(shí)間可行域關(guān)于期望對(duì)稱時(shí)，F(xiàn)TR-RRM模型將獲得與RRM模型相同的擇路結(jié)果。由于可將RRM模型視為路段時(shí)間可行域取(-∞，+∞)時(shí)的FTR-RRM模型，因此可以認(rèn)為FTR-RRM模型涵蓋了RRM模型。

(3)FTR-RRM模型在RRM模型基礎(chǔ)上考慮了對(duì)路段時(shí)間可行域?qū)衤方Y(jié)果的影響，因此相比RRM模型，F(xiàn)TR-RRM模型對(duì)隨機(jī)路網(wǎng)和后悔厭惡出行者之間的互動(dòng)刻畫得更加細(xì)致。